Theorem lmod1lem3 48735

Description: Lemma 3 for lmod1 48738. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmod1.m	⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmod1lem3	⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)(+g‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑟,𝑥,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥,𝑦   𝑉,𝑟,𝑥,𝑦   𝐼,𝑞   𝑅,𝑞   𝑉,𝑞   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑞,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem lmod1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
2		simprr 772	. . 3 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥 = (𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟) ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
3		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
4		lmod1.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
5	4	lmodsca 17248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
6	5	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (+g‘𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑀)))
7	3, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (+g‘𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑀)))
8	7	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (+g‘(Scalar‘𝑀)) = (+g‘𝑅))
9	8	oveqd 7375	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟) = (𝑞(+g‘𝑅)𝑟))
10		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑞 ∈ (Base‘𝑅))
11		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
14	12, 13	ringacl 20213	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑞(+g‘𝑅)𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
15	3, 10, 11, 14	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(+g‘𝑅)𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
16	9, 15	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
17		snidg 4617	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ {𝐼})
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
20		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ 𝑉)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
22	1, 2, 16, 19, 21	ovmpod 7510	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟)(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)𝐼) = 𝐼)
23		fvex 6847	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
24		snex 5381	. . . . . . 7 ⊢ {𝐼} ∈ V
25	23, 24	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
26		mpoexga 8021	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
27	25, 26	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
28	4	lmodvsca 17249	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
29	27, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
30	29	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
31	30	oveqd 7375	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟)(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)𝐼))
32		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
33	30, 32, 10, 19, 19	ovmpod 7510	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)
34		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥 = 𝑟 ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
35	30, 34, 11, 19, 19	ovmpod 7510	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)
36	33, 35	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)(+g‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)) = (𝐼(+g‘𝑀)𝐼))
37		snex 5381	. . . . . 6 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
38	4	lmodplusg 17247	. . . . . 6 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
39	37, 38	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
40	39	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (+g‘𝑀) = {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
41	40	oveqd 7375	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝐼(+g‘𝑀)𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
42		df-ov 7361	. . . 4 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
43		opex 5412	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
44	20, 43	jctil 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
45	44	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
46		fvsng 7126	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
47	45, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
48	42, 47	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
49	36, 41, 48	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)(+g‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)) = 𝐼)
50	22, 31, 49	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)(+g‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∪ cun 3899  {csn 4580  {ctp 4584  ⟨cop 4586  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  ndxcnx 17120  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  Ringcrg 20168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-ring 20170

This theorem is referenced by:  lmod1  48738