Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod1lem3 47445
Description: Lemma 3 for lmod1 47448. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lmod1.m 𝑀 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
Assertion
Ref Expression
lmod1lem3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)))
Distinct variable groups:   𝐼,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑅,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑉,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝐼,π‘ž   𝑅,π‘ž   𝑉,π‘ž   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,π‘ž,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘Ÿ,π‘ž)

Proof of Theorem lmod1lem3
StepHypRef Expression
1 eqidd 2727 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
2 simprr 770 . . 3 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ = (π‘ž(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))π‘Ÿ) ∧ 𝑦 = 𝐼)) β†’ 𝑦 = 𝐼)
3 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 lmod1.m . . . . . . . . 9 𝑀 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
54lmodsca 17282 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€))
65fveq2d 6889 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
73, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
87eqcomd 2732 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (+gβ€˜π‘…))
98oveqd 7422 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘ž(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))π‘Ÿ) = (π‘ž(+gβ€˜π‘…)π‘Ÿ))
10 simprl 768 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…))
11 simprr 770 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
12 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
13 eqid 2726 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
1412, 13ringacl 20177 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘ž(+gβ€˜π‘…)π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
153, 10, 11, 14syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘ž(+gβ€˜π‘…)π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
169, 15eqeltrd 2827 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘ž(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
17 snidg 4657 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
1817adantr 480 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
1918adantr 480 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
20 simpl 482 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2120adantr 480 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
221, 2, 16, 19, 21ovmpod 7556 . 2 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))π‘Ÿ)(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)𝐼) = 𝐼)
23 fvex 6898 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
24 snex 5424 . . . . . . 7 {𝐼} ∈ V
2523, 24pm3.2i 470 . . . . . 6 ((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
26 mpoexga 8063 . . . . . 6 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
2725, 26mp1i 13 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
284lmodvsca 17283 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 β€˜π‘€))
2927, 28syl 17 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 β€˜π‘€))
3029eqcomd 2732 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘€) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
3130oveqd 7422 . 2 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼) = ((π‘ž(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))π‘Ÿ)(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)𝐼))
32 simprr 770 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ = π‘ž ∧ 𝑦 = 𝐼)) β†’ 𝑦 = 𝐼)
3330, 32, 10, 19, 19ovmpod 7556 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼) = 𝐼)
34 simprr 770 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ = π‘Ÿ ∧ 𝑦 = 𝐼)) β†’ 𝑦 = 𝐼)
3530, 34, 11, 19, 19ovmpod 7556 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼) = 𝐼)
3633, 35oveq12d 7423 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘ž( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)) = (𝐼(+gβ€˜π‘€)𝐼))
37 snex 5424 . . . . . 6 {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
384lmodplusg 17281 . . . . . 6 ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V β†’ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+gβ€˜π‘€))
3937, 38mp1i 13 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+gβ€˜π‘€))
4039eqcomd 2732 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (+gβ€˜π‘€) = {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
4140oveqd 7422 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (𝐼(+gβ€˜π‘€)𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
42 df-ov 7408 . . . 4 (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩)
43 opex 5457 . . . . . . 7 ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
4420, 43jctil 519 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
4544adantr 480 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
46 fvsng 7174 . . . . 5 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩) = 𝐼)
4745, 46syl 17 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩) = 𝐼)
4842, 47eqtrid 2778 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
4936, 41, 483eqtrd 2770 . 2 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘ž( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)) = 𝐼)
5022, 31, 493eqtr4d 2776 1 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βˆͺ cun 3941  {csn 4623  {ctp 4627  βŸ¨cop 4629  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  ndxcnx 17135  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  Ringcrg 20138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-ring 20140
This theorem is referenced by:  lmod1  47448
  Copyright terms: Public domain W3C validator