Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod1lem3 48335
Description: Lemma 3 for lmod1 48338. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lmod1.m 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
Assertion
Ref Expression
lmod1lem3 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟)( ·𝑠𝑀)𝐼) = ((𝑞( ·𝑠𝑀)𝐼)(+g𝑀)(𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑟,𝑥,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥,𝑦   𝑉,𝑟,𝑥,𝑦   𝐼,𝑞   𝑅,𝑞   𝑉,𝑞   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑞,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem lmod1lem3
StepHypRef Expression
1 eqidd 2736 . . 3 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
2 simprr 773 . . 3 ((((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥 = (𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟) ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
3 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
4 lmod1.m . . . . . . . . 9 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
54lmodsca 17374 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
65fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑀)))
73, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑀)))
87eqcomd 2741 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (+g‘(Scalar‘𝑀)) = (+g𝑅))
98oveqd 7448 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟) = (𝑞(+g𝑅)𝑟))
10 simprl 771 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑞 ∈ (Base‘𝑅))
11 simprr 773 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))
12 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 eqid 2735 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
1412, 13ringacl 20292 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑞(+g𝑅)𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
153, 10, 11, 14syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(+g𝑅)𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
169, 15eqeltrd 2839 . . 3 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
17 snidg 4665 . . . . 5 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
1817adantr 480 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ {𝐼})
1918adantr 480 . . 3 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
20 simpl 482 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝐼𝑉)
2120adantr 480 . . 3 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝐼𝑉)
221, 2, 16, 19, 21ovmpod 7585 . 2 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟)(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)𝐼) = 𝐼)
23 fvex 6920 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
24 snex 5442 . . . . . . 7 {𝐼} ∈ V
2523, 24pm3.2i 470 . . . . . 6 ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
26 mpoexga 8101 . . . . . 6 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
2725, 26mp1i 13 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
284lmodvsca 17375 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
2927, 28syl 17 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
3029eqcomd 2741 . . 3 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ( ·𝑠𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
3130oveqd 7448 . 2 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟)( ·𝑠𝑀)𝐼) = ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟)(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)𝐼))
32 simprr 773 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥 = 𝑞𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
3330, 32, 10, 19, 19ovmpod 7585 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞( ·𝑠𝑀)𝐼) = 𝐼)
34 simprr 773 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥 = 𝑟𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
3530, 34, 11, 19, 19ovmpod 7585 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼) = 𝐼)
3633, 35oveq12d 7449 . . 3 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞( ·𝑠𝑀)𝐼)(+g𝑀)(𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)) = (𝐼(+g𝑀)𝐼))
37 snex 5442 . . . . . 6 {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
384lmodplusg 17373 . . . . . 6 ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g𝑀))
3937, 38mp1i 13 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g𝑀))
4039eqcomd 2741 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (+g𝑀) = {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
4140oveqd 7448 . . 3 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝐼(+g𝑀)𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
42 df-ov 7434 . . . 4 (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
43 opex 5475 . . . . . . 7 𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
4420, 43jctil 519 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼𝑉))
4544adantr 480 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼𝑉))
46 fvsng 7200 . . . . 5 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
4745, 46syl 17 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
4842, 47eqtrid 2787 . . 3 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
4936, 41, 483eqtrd 2779 . 2 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞( ·𝑠𝑀)𝐼)(+g𝑀)(𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)) = 𝐼)
5022, 31, 493eqtr4d 2785 1 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟)( ·𝑠𝑀)𝐼) = ((𝑞( ·𝑠𝑀)𝐼)(+g𝑀)(𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cun 3961  {csn 4631  {ctp 4635  cop 4637  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  Ringcrg 20251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-ring 20253
This theorem is referenced by:  lmod1  48338
  Copyright terms: Public domain W3C validator