Theorem lmod1lem3 48478

Description: Lemma 3 for lmod1 48481. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmod1.m	⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmod1lem3	⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)(+g‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑟,𝑥,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥,𝑦   𝑉,𝑟,𝑥,𝑦   𝐼,𝑞   𝑅,𝑞   𝑉,𝑞   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑞,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem lmod1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2730	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
2		simprr 772	. . 3 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥 = (𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟) ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
3		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
4		lmod1.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
5	4	lmodsca 17250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
6	5	fveq2d 6830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (+g‘𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑀)))
7	3, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (+g‘𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑀)))
8	7	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (+g‘(Scalar‘𝑀)) = (+g‘𝑅))
9	8	oveqd 7370	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟) = (𝑞(+g‘𝑅)𝑟))
10		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑞 ∈ (Base‘𝑅))
11		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))
12		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
14	12, 13	ringacl 20181	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑞(+g‘𝑅)𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
15	3, 10, 11, 14	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(+g‘𝑅)𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
16	9, 15	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
17		snidg 4614	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ {𝐼})
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
20		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ 𝑉)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
22	1, 2, 16, 19, 21	ovmpod 7505	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟)(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)𝐼) = 𝐼)
23		fvex 6839	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
24		snex 5378	. . . . . . 7 ⊢ {𝐼} ∈ V
25	23, 24	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
26		mpoexga 8019	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
27	25, 26	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
28	4	lmodvsca 17251	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
29	27, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
30	29	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
31	30	oveqd 7370	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟)(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)𝐼))
32		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
33	30, 32, 10, 19, 19	ovmpod 7505	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)
34		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥 = 𝑟 ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
35	30, 34, 11, 19, 19	ovmpod 7505	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)
36	33, 35	oveq12d 7371	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)(+g‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)) = (𝐼(+g‘𝑀)𝐼))
37		snex 5378	. . . . . 6 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
38	4	lmodplusg 17249	. . . . . 6 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
39	37, 38	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
40	39	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (+g‘𝑀) = {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
41	40	oveqd 7370	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝐼(+g‘𝑀)𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
42		df-ov 7356	. . . 4 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
43		opex 5411	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
44	20, 43	jctil 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
45	44	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
46		fvsng 7120	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
47	45, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
48	42, 47	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
49	36, 41, 48	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)(+g‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)) = 𝐼)
50	22, 31, 49	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)(+g‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ∪ cun 3903  {csn 4579  {ctp 4583  ⟨cop 4585  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  ndxcnx 17122  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  Ringcrg 20136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-ring 20138

This theorem is referenced by:  lmod1  48481