Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod1lem3 47669
Description: Lemma 3 for lmod1 47672. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lmod1.m 𝑀 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
Assertion
Ref Expression
lmod1lem3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)))
Distinct variable groups:   𝐼,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑅,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑉,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝐼,π‘ž   𝑅,π‘ž   𝑉,π‘ž   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,π‘ž,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘Ÿ,π‘ž)

Proof of Theorem lmod1lem3
StepHypRef Expression
1 eqidd 2726 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
2 simprr 771 . . 3 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ = (π‘ž(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))π‘Ÿ) ∧ 𝑦 = 𝐼)) β†’ 𝑦 = 𝐼)
3 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 lmod1.m . . . . . . . . 9 𝑀 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
54lmodsca 17308 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€))
65fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
73, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
87eqcomd 2731 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (+gβ€˜π‘…))
98oveqd 7433 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘ž(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))π‘Ÿ) = (π‘ž(+gβ€˜π‘…)π‘Ÿ))
10 simprl 769 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…))
11 simprr 771 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
12 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
13 eqid 2725 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
1412, 13ringacl 20218 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘ž(+gβ€˜π‘…)π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
153, 10, 11, 14syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘ž(+gβ€˜π‘…)π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
169, 15eqeltrd 2825 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘ž(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
17 snidg 4658 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
1817adantr 479 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
1918adantr 479 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
20 simpl 481 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2120adantr 479 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
221, 2, 16, 19, 21ovmpod 7570 . 2 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))π‘Ÿ)(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)𝐼) = 𝐼)
23 fvex 6905 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
24 snex 5427 . . . . . . 7 {𝐼} ∈ V
2523, 24pm3.2i 469 . . . . . 6 ((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
26 mpoexga 8080 . . . . . 6 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
2725, 26mp1i 13 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
284lmodvsca 17309 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 β€˜π‘€))
2927, 28syl 17 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 β€˜π‘€))
3029eqcomd 2731 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘€) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
3130oveqd 7433 . 2 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼) = ((π‘ž(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))π‘Ÿ)(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)𝐼))
32 simprr 771 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ = π‘ž ∧ 𝑦 = 𝐼)) β†’ 𝑦 = 𝐼)
3330, 32, 10, 19, 19ovmpod 7570 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼) = 𝐼)
34 simprr 771 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ = π‘Ÿ ∧ 𝑦 = 𝐼)) β†’ 𝑦 = 𝐼)
3530, 34, 11, 19, 19ovmpod 7570 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼) = 𝐼)
3633, 35oveq12d 7434 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘ž( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)) = (𝐼(+gβ€˜π‘€)𝐼))
37 snex 5427 . . . . . 6 {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
384lmodplusg 17307 . . . . . 6 ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V β†’ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+gβ€˜π‘€))
3937, 38mp1i 13 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+gβ€˜π‘€))
4039eqcomd 2731 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (+gβ€˜π‘€) = {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
4140oveqd 7433 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (𝐼(+gβ€˜π‘€)𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
42 df-ov 7419 . . . 4 (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩)
43 opex 5460 . . . . . . 7 ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
4420, 43jctil 518 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
4544adantr 479 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
46 fvsng 7185 . . . . 5 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩) = 𝐼)
4745, 46syl 17 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩) = 𝐼)
4842, 47eqtrid 2777 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
4936, 41, 483eqtrd 2769 . 2 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘ž( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)) = 𝐼)
5022, 31, 493eqtr4d 2775 1 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βˆͺ cun 3937  {csn 4624  {ctp 4628  βŸ¨cop 4630  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  ndxcnx 17161  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  Ringcrg 20177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-ring 20179
This theorem is referenced by:  lmod1  47672
  Copyright terms: Public domain W3C validator