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Theorem lmodprop2d 20526
Description: If two structures have the same components (properties), one is a left module iff the other one is. This version of lmodpropd 20527 also breaks up the components of the scalar ring. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodprop2d.b1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
lmodprop2d.b2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
lmodprop2d.f 𝐹 = (Scalarβ€˜πΎ)
lmodprop2d.g 𝐺 = (Scalarβ€˜πΏ)
lmodprop2d.p1 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ))
lmodprop2d.p2 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ))
lmodprop2d.1 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
lmodprop2d.2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))
lmodprop2d.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦))
lmodprop2d.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
Assertion
Ref Expression
lmodprop2d (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐹,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦

Proof of Theorem lmodprop2d
Dummy variables π‘Ÿ π‘ž 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 20470 . . . 4 (𝐾 ∈ LMod β†’ 𝐾 ∈ Grp)
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LMod β†’ 𝐾 ∈ Grp))
3 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜πΎ) = (+gβ€˜πΎ)
5 eqid 2732 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜πΎ) = ( ·𝑠 β€˜πΎ)
6 lmodprop2d.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜πΎ)
7 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
8 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
9 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
10 eqid 2732 . . . . . 6 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10islmod 20467 . . . . 5 (𝐾 ∈ LMod ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀))))
1211simp2bi 1146 . . . 4 (𝐾 ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
1312a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring))
14 simplr 767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ LMod)
15 simprl 769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
16 lmodprop2d.p1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ))
1716ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ))
1815, 17eleqtrd 2835 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ))
19 simprr 771 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
20 lmodprop2d.b1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
2120ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
2219, 21eleqtrd 2835 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
233, 6, 5, 7lmodvscl 20481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2414, 18, 22, 23syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2524, 21eleqtrrd 2836 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)
2625ralrimivva 3200 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)
2726ex 413 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LMod β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡))
282, 13, 273jcad 1129 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LMod β†’ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)))
29 lmodgrp 20470 . . . 4 (𝐿 ∈ LMod β†’ 𝐿 ∈ Grp)
30 lmodprop2d.b2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
31 lmodprop2d.1 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
3220, 30, 31grppropd 18833 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))
3329, 32imbitrrid 245 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ LMod β†’ 𝐾 ∈ Grp))
34 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΏ)
35 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜πΏ) = (+gβ€˜πΏ)
36 eqid 2732 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜πΏ) = ( ·𝑠 β€˜πΏ)
37 lmodprop2d.g . . . . . 6 𝐺 = (Scalarβ€˜πΏ)
38 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
39 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
40 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜πΊ) = (.rβ€˜πΊ)
41 eqid 2732 . . . . . 6 (1rβ€˜πΊ) = (1rβ€˜πΊ)
4234, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41islmod 20467 . . . . 5 (𝐿 ∈ LMod ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
4342simp2bi 1146 . . . 4 (𝐿 ∈ LMod β†’ 𝐺 ∈ Ring)
44 lmodprop2d.p2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ))
45 lmodprop2d.2 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))
46 lmodprop2d.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦))
4716, 44, 45, 46ringpropd 20095 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ Ring ↔ 𝐺 ∈ Ring))
4843, 47imbitrrid 245 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring))
49 simplr 767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐿 ∈ LMod)
50 simprl 769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
5144ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ))
5250, 51eleqtrd 2835 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
53 simprr 771 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
5430ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
5553, 54eleqtrd 2835 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΏ))
5634, 37, 36, 38lmodvscl 20481 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΏ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΏ))
5749, 52, 55, 56syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΏ))
58 lmodprop2d.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
5958adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
6057, 59, 543eltr4d 2848 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)
6160ralrimivva 3200 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)
6261ex 413 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ LMod β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡))
6333, 48, 623jcad 1129 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ LMod β†’ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)))
6432adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))
6547adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (𝐹 ∈ Ring ↔ 𝐺 ∈ Ring))
66 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ πœ‘)
67 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑃)
68 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
6958oveqrspc2v 7432 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
7066, 67, 68, 69syl12anc 835 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
7170eleq1d 2818 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ↔ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡))
72 simplr1 1215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ Grp)
7320ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
7468, 73eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
75 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
7675, 73eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
773, 4grpcl 18823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7872, 74, 76, 77syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7978, 73eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧) ∈ 𝐡)
8058oveqrspc2v 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧) ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)))
8166, 67, 79, 80syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)))
8231oveqrspc2v 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧) = (𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧))
8366, 68, 75, 82syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧) = (𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧))
8483oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)))
8581, 84eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)))
86 simplr3 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)
87 ovrspc2v 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)
8867, 68, 86, 87syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)
89 ovrspc2v 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) ∈ 𝐡)
9067, 75, 86, 89syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) ∈ 𝐡)
9131oveqrspc2v 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)))
9266, 88, 90, 91syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)))
9358oveqrspc2v 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧))
9466, 67, 75, 93syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧))
9570, 94oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)))
9692, 95eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)))
9785, 96eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ↔ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧))))
98 simplr2 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ Ring)
99 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ π‘ž ∈ 𝑃)
10016ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ))
10199, 100eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΉ))
10267, 100eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΉ))
1037, 8ringacl 20088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Ring ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
10498, 101, 102, 103syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
105104, 100eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ) ∈ 𝑃)
10658oveqrspc2v 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ) ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
10766, 105, 68, 106syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
10845oveqrspc2v 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃)) β†’ (π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ) = (π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ))
109108ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ) = (π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ))
110109oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
111107, 110eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
112 ovrspc2v 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)
11399, 68, 86, 112syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)
11431oveqrspc2v 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)))
11566, 113, 88, 114syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)))
11658oveqrspc2v 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
11766, 99, 68, 116syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
118117, 70oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)))
119115, 118eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)))
120111, 119eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ↔ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))))
12171, 97, 1203anbi123d 1436 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ↔ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)))))
1227, 9ringcl 20066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Ring ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
12398, 101, 102, 122syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
124123, 100eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ) ∈ 𝑃)
12558oveqrspc2v 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ) ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
12666, 124, 68, 125syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
12746oveqrspc2v 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃)) β†’ (π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ) = (π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ))
128127ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ) = (π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ))
129128oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
130126, 129eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
13158oveqrspc2v 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)))
13266, 99, 88, 131syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)))
13370oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)))
134132, 133eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)))
135130, 134eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ↔ ((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))))
1367, 10ringidcl 20076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
13798, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
138137, 100eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝑃)
13958oveqrspc2v 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((1rβ€˜πΉ) ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
14066, 138, 68, 139syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
14116, 44, 46rngidpropd 20221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΊ))
142141ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΊ))
143142oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
144140, 143eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
145144eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀 ↔ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))
146135, 145anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀) ↔ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀)))
147121, 146anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
148147anassrs 468 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ (π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
1491482ralbidva 3216 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ (π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
1501492ralbidva 3216 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
15116adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ))
15220adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
153152eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ↔ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
1541533anbi1d 1440 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ↔ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)))))
155154anbi1d 630 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ ((((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀))))
156152, 155raleqbidv 3342 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀))))
157152, 156raleqbidv 3342 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀))))
158151, 157raleqbidv 3342 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀))))
159151, 158raleqbidv 3342 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀))))
16044adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ))
16130adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
162161eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ↔ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ)))
1631623anbi1d 1440 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ↔ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)))))
164163anbi1d 630 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ ((((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀)) ↔ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
165161, 164raleqbidv 3342 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
166161, 165raleqbidv 3342 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
167160, 166raleqbidv 3342 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
168160, 167raleqbidv 3342 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
169150, 159, 1683bitr3d 308 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
17064, 65, 1693anbi123d 1436 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀)))))
171170, 11, 423bitr4g 313 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
172171ex 413 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod)))
17328, 63, 172pm5.21ndd 380 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  Grpcgrp 18815  1rcur 19998  Ringcrg 20049  LModclmod 20463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465
This theorem is referenced by:  lmodpropd  20527  lvecprop2d  20771
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