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Theorem lmodprop2d 20809
Description: If two structures have the same components (properties), one is a left module iff the other one is. This version of lmodpropd 20810 also breaks up the components of the scalar ring. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodprop2d.b1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
lmodprop2d.b2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
lmodprop2d.f 𝐹 = (Scalarβ€˜πΎ)
lmodprop2d.g 𝐺 = (Scalarβ€˜πΏ)
lmodprop2d.p1 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ))
lmodprop2d.p2 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ))
lmodprop2d.1 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
lmodprop2d.2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))
lmodprop2d.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦))
lmodprop2d.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
Assertion
Ref Expression
lmodprop2d (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐹,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦

Proof of Theorem lmodprop2d
Dummy variables π‘Ÿ π‘ž 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 20752 . . . 4 (𝐾 ∈ LMod β†’ 𝐾 ∈ Grp)
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LMod β†’ 𝐾 ∈ Grp))
3 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 eqid 2725 . . . . . 6 (+gβ€˜πΎ) = (+gβ€˜πΎ)
5 eqid 2725 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜πΎ) = ( ·𝑠 β€˜πΎ)
6 lmodprop2d.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜πΎ)
7 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
8 eqid 2725 . . . . . 6 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
9 eqid 2725 . . . . . 6 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
10 eqid 2725 . . . . . 6 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10islmod 20749 . . . . 5 (𝐾 ∈ LMod ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀))))
1211simp2bi 1143 . . . 4 (𝐾 ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
1312a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring))
14 simplr 767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ LMod)
15 simprl 769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
16 lmodprop2d.p1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ))
1716ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ))
1815, 17eleqtrd 2827 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ))
19 simprr 771 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
20 lmodprop2d.b1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
2120ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
2219, 21eleqtrd 2827 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
233, 6, 5, 7lmodvscl 20763 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2414, 18, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2524, 21eleqtrrd 2828 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)
2625ralrimivva 3191 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ LMod) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)
2726ex 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LMod β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡))
282, 13, 273jcad 1126 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LMod β†’ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)))
29 lmodgrp 20752 . . . 4 (𝐿 ∈ LMod β†’ 𝐿 ∈ Grp)
30 lmodprop2d.b2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
31 lmodprop2d.1 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
3220, 30, 31grppropd 18910 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))
3329, 32imbitrrid 245 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ LMod β†’ 𝐾 ∈ Grp))
34 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΏ)
35 eqid 2725 . . . . . 6 (+gβ€˜πΏ) = (+gβ€˜πΏ)
36 eqid 2725 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜πΏ) = ( ·𝑠 β€˜πΏ)
37 lmodprop2d.g . . . . . 6 𝐺 = (Scalarβ€˜πΏ)
38 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
39 eqid 2725 . . . . . 6 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
40 eqid 2725 . . . . . 6 (.rβ€˜πΊ) = (.rβ€˜πΊ)
41 eqid 2725 . . . . . 6 (1rβ€˜πΊ) = (1rβ€˜πΊ)
4234, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41islmod 20749 . . . . 5 (𝐿 ∈ LMod ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
4342simp2bi 1143 . . . 4 (𝐿 ∈ LMod β†’ 𝐺 ∈ Ring)
44 lmodprop2d.p2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ))
45 lmodprop2d.2 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))
46 lmodprop2d.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦))
4716, 44, 45, 46ringpropd 20226 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ Ring ↔ 𝐺 ∈ Ring))
4843, 47imbitrrid 245 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring))
49 simplr 767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐿 ∈ LMod)
50 simprl 769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
5144ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ))
5250, 51eleqtrd 2827 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
53 simprr 771 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
5430ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
5553, 54eleqtrd 2827 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΏ))
5634, 37, 36, 38lmodvscl 20763 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΏ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΏ))
5749, 52, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΏ))
58 lmodprop2d.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
5958adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
6057, 59, 543eltr4d 2840 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)
6160ralrimivva 3191 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐿 ∈ LMod) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)
6261ex 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ LMod β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡))
6333, 48, 623jcad 1126 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ LMod β†’ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)))
6432adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))
6547adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (𝐹 ∈ Ring ↔ 𝐺 ∈ Ring))
66 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ πœ‘)
67 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑃)
68 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
6958oveqrspc2v 7442 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
7066, 67, 68, 69syl12anc 835 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
7170eleq1d 2810 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ↔ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡))
72 simplr1 1212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ Grp)
7320ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
7468, 73eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
75 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
7675, 73eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
773, 4grpcl 18900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7872, 74, 76, 77syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7978, 73eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧) ∈ 𝐡)
8058oveqrspc2v 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ (𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧) ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)))
8166, 67, 79, 80syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)))
8231oveqrspc2v 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧) = (𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧))
8366, 68, 75, 82syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧) = (𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧))
8483oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)))
8581, 84eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)))
86 simplr3 1214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)
87 ovrspc2v 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)
8867, 68, 86, 87syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)
89 ovrspc2v 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) ∈ 𝐡)
9067, 75, 86, 89syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) ∈ 𝐡)
9131oveqrspc2v 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)))
9266, 88, 90, 91syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)))
9358oveqrspc2v 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧))
9466, 67, 75, 93syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧))
9570, 94oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)))
9692, 95eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)))
9785, 96eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ↔ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧))))
98 simplr2 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ Ring)
99 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ π‘ž ∈ 𝑃)
10016ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ))
10199, 100eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΉ))
10267, 100eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΉ))
1037, 8ringacl 20216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Ring ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
10498, 101, 102, 103syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
105104, 100eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ) ∈ 𝑃)
10658oveqrspc2v 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ) ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
10766, 105, 68, 106syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
10845oveqrspc2v 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃)) β†’ (π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ) = (π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ))
109108ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ) = (π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ))
110109oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
111107, 110eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
112 ovrspc2v 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)
11399, 68, 86, 112syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)
11431oveqrspc2v 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)))
11566, 113, 88, 114syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)))
11658oveqrspc2v 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
11766, 99, 68, 116syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
118117, 70oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)))
119115, 118eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)))
120111, 119eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ↔ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))))
12171, 97, 1203anbi123d 1432 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ↔ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)))))
1227, 9ringcl 20192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Ring ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
12398, 101, 102, 122syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
124123, 100eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ) ∈ 𝑃)
12558oveqrspc2v 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ) ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
12666, 124, 68, 125syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
12746oveqrspc2v 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃)) β†’ (π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ) = (π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ))
128127ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ) = (π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ))
129128oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
130126, 129eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
13158oveqrspc2v 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)))
13266, 99, 88, 131syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)))
13370oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)))
134132, 133eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)))
135130, 134eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ↔ ((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))))
1367, 10ringidcl 20204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
13798, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
138137, 100eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝑃)
13958oveqrspc2v 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((1rβ€˜πΉ) ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
14066, 138, 68, 139syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
14116, 44, 46rngidpropd 20356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΊ))
142141ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΊ))
143142oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
144140, 143eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))
145144eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀 ↔ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))
146135, 145anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀) ↔ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀)))
147121, 146anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
148147anassrs 466 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ (π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
1491482ralbidva 3207 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) ∧ (π‘ž ∈ 𝑃 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
1501492ralbidva 3207 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
15116adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ))
15220adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
153152eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ↔ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
1541533anbi1d 1436 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ↔ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)))))
155154anbi1d 629 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ ((((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀))))
156152, 155raleqbidv 3330 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀))))
157152, 156raleqbidv 3330 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀))))
158151, 157raleqbidv 3330 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀))))
159151, 158raleqbidv 3330 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀))))
16044adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ))
16130adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
162161eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ↔ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ)))
1631623anbi1d 1436 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ↔ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)))))
164163anbi1d 629 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ ((((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀)) ↔ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
165161, 164raleqbidv 3330 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
166161, 165raleqbidv 3330 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
167160, 166raleqbidv 3330 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
168160, 167raleqbidv 3330 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
169150, 159, 1683bitr3d 308 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀))))
17064, 65, 1693anbi123d 1432 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)(𝑀(+gβ€˜πΎ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)(+gβ€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΉ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΎ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑀) = 𝑀))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘€ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)(𝑀(+gβ€˜πΏ)𝑧)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑧)) ∧ ((π‘ž(+gβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = ((π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)(+gβ€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀))) ∧ (((π‘ž(.rβ€˜πΊ)π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = (π‘ž( ·𝑠 β€˜πΏ)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀)) ∧ ((1rβ€˜πΊ)( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑀) = 𝑀)))))
171170, 11, 423bitr4g 313 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
172171ex 411 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod)))
17328, 63, 172pm5.21ndd 378 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  .rcmulr 17231  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  Grpcgrp 18892  1rcur 20123  Ringcrg 20175  LModclmod 20745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-mgp 20077  df-ur 20124  df-ring 20177  df-lmod 20747
This theorem is referenced by:  lmodpropd  20810  lvecprop2d  21056
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