MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srngadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srngadd 20117
Description: The involution function in a star ring distributes over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngcl.i = (*𝑟𝑅)
srngcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srngadd.p + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
srngadd ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( 𝑋) + ( 𝑌)))

Proof of Theorem srngadd
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . . 5 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
2 eqid 2738 . . . . 5 (*rf𝑅) = (*rf𝑅)
31, 2srngrhm 20111 . . . 4 (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr𝑅)))
4 rhmghm 19969 . . . 4 ((*rf𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr𝑅)) → (*rf𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr𝑅)))
53, 4syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr𝑅)))
6 srngcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 srngadd.p . . . 4 + = (+g𝑅)
81, 7oppradd 19871 . . . 4 + = (+g‘(oppr𝑅))
96, 7, 8ghmlin 18839 . . 3 (((*rf𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr𝑅)) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = (((*rf𝑅)‘𝑋) + ((*rf𝑅)‘𝑌)))
105, 9syl3an1 1162 . 2 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = (((*rf𝑅)‘𝑋) + ((*rf𝑅)‘𝑌)))
11 srngring 20112 . . . 4 (𝑅 ∈ *-Ring → 𝑅 ∈ Ring)
126, 7ringacl 19817 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
1311, 12syl3an1 1162 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
14 srngcl.i . . . 4 = (*𝑟𝑅)
156, 14, 2stafval 20108 . . 3 ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 → ((*rf𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = ( ‘(𝑋 + 𝑌)))
1613, 15syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = ( ‘(𝑋 + 𝑌)))
176, 14, 2stafval 20108 . . . 4 (𝑋𝐵 → ((*rf𝑅)‘𝑋) = ( 𝑋))
18173ad2ant2 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘𝑋) = ( 𝑋))
196, 14, 2stafval 20108 . . . 4 (𝑌𝐵 → ((*rf𝑅)‘𝑌) = ( 𝑌))
20193ad2ant3 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘𝑌) = ( 𝑌))
2118, 20oveq12d 7293 . 2 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((*rf𝑅)‘𝑋) + ((*rf𝑅)‘𝑌)) = (( 𝑋) + ( 𝑌)))
2210, 16, 213eqtr3d 2786 1 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( 𝑋) + ( 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +gcplusg 16962  *𝑟cstv 16964   GrpHom cghm 18831  Ringcrg 19783  opprcoppr 19861   RingHom crh 19956  *rfcstf 20103  *-Ringcsr 20104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-ghm 18832  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-rnghom 19959  df-staf 20105  df-srng 20106
This theorem is referenced by:  ipdi  20845
  Copyright terms: Public domain W3C validator