Theorem srngadd 21115

Description: The involution function in a star ring distributes over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngcl.i	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
srngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srngadd.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srngadd	⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ∗ ‘𝑋) + ( ∗ ‘𝑌)))

Proof of Theorem srngadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (*rf‘𝑅) = (*rf‘𝑅)
3	1, 2	srngrhm 21109	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)))
4		rhmghm 20721	. . . 4 ⊢ ((*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)) → (*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr‘𝑅)))
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr‘𝑅)))
6		srngcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		srngadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
8	1, 7	oppradd 20581	. . . 4 ⊢ + = (+g‘(oppr‘𝑅))
9	6, 7, 8	ghmlin 19442	. . 3 ⊢ (((*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑋) + ((*rf‘𝑅)‘𝑌)))
10	5, 9	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑋) + ((*rf‘𝑅)‘𝑌)))
11		srngring 21110	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → 𝑅 ∈ Ring)
12	6, 7	ringacl 20514	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13	11, 12	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
14		srngcl.i	. . . 4 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
15	6, 14, 2	stafval 21106	. . 3 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = ( ∗ ‘(𝑋 + 𝑌)))
16	13, 15	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = ( ∗ ‘(𝑋 + 𝑌)))
17	6, 14, 2	stafval 21106	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
18	17	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
19	6, 14, 2	stafval 21106	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘𝑌) = ( ∗ ‘𝑌))
20	19	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘𝑌) = ( ∗ ‘𝑌))
21	18, 20	oveq12d 7440	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((*rf‘𝑅)‘𝑋) + ((*rf‘𝑅)‘𝑌)) = (( ∗ ‘𝑋) + ( ∗ ‘𝑌)))
22	10, 16, 21	3eqtr3d 2803	1 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ∗ ‘𝑋) + ( ∗ ‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  +_gcplusg 17435  *_𝑟cstv 17437   GrpHom cghm 19434  Ringcrg 20466  opp_rcoppr 20573   RingHom crh 20706  *_rfcstf 21101  *-Ringcsr 21102

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8248  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-0g 17619  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-mhm 18985  df-grp 19154  df-ghm 19435  df-mgp 20368  df-ur 20415  df-ring 20468  df-oppr 20574  df-rhm 20709  df-staf 21103  df-srng 21104

This theorem is used by:  ipdi  21953