MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srngadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srngadd 20127
Description: The involution function in a star ring distributes over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngcl.i = (*𝑟𝑅)
srngcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srngadd.p + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
srngadd ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( 𝑋) + ( 𝑌)))

Proof of Theorem srngadd
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . . 5 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
2 eqid 2738 . . . . 5 (*rf𝑅) = (*rf𝑅)
31, 2srngrhm 20121 . . . 4 (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr𝑅)))
4 rhmghm 19979 . . . 4 ((*rf𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr𝑅)) → (*rf𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr𝑅)))
53, 4syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr𝑅)))
6 srngcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 srngadd.p . . . 4 + = (+g𝑅)
81, 7oppradd 19881 . . . 4 + = (+g‘(oppr𝑅))
96, 7, 8ghmlin 18849 . . 3 (((*rf𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr𝑅)) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = (((*rf𝑅)‘𝑋) + ((*rf𝑅)‘𝑌)))
105, 9syl3an1 1162 . 2 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = (((*rf𝑅)‘𝑋) + ((*rf𝑅)‘𝑌)))
11 srngring 20122 . . . 4 (𝑅 ∈ *-Ring → 𝑅 ∈ Ring)
126, 7ringacl 19827 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
1311, 12syl3an1 1162 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
14 srngcl.i . . . 4 = (*𝑟𝑅)
156, 14, 2stafval 20118 . . 3 ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 → ((*rf𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = ( ‘(𝑋 + 𝑌)))
1613, 15syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = ( ‘(𝑋 + 𝑌)))
176, 14, 2stafval 20118 . . . 4 (𝑋𝐵 → ((*rf𝑅)‘𝑋) = ( 𝑋))
18173ad2ant2 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘𝑋) = ( 𝑋))
196, 14, 2stafval 20118 . . . 4 (𝑌𝐵 → ((*rf𝑅)‘𝑌) = ( 𝑌))
20193ad2ant3 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘𝑌) = ( 𝑌))
2118, 20oveq12d 7285 . 2 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((*rf𝑅)‘𝑋) + ((*rf𝑅)‘𝑌)) = (( 𝑋) + ( 𝑌)))
2210, 16, 213eqtr3d 2786 1 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( 𝑋) + ( 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  cfv 6426  (class class class)co 7267  Basecbs 16922  +gcplusg 16972  *𝑟cstv 16974   GrpHom cghm 18841  Ringcrg 19793  opprcoppr 19871   RingHom crh 19966  *rfcstf 20113  *-Ringcsr 20114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-2nd 7821  df-tpos 8029  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-0g 17162  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-mhm 18440  df-grp 18590  df-ghm 18842  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-oppr 19872  df-rnghom 19969  df-staf 20115  df-srng 20116
This theorem is referenced by:  ipdi  20855
  Copyright terms: Public domain W3C validator