Theorem srngadd 21159

Description: The involution function in a star ring distributes over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngcl.i	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
srngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srngadd.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srngadd	⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ∗ ‘𝑋) + ( ∗ ‘𝑌)))

Proof of Theorem srngadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (*rf‘𝑅) = (*rf‘𝑅)
3	1, 2	srngrhm 21153	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)))
4		rhmghm 20765	. . . 4 ⊢ ((*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)) → (*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr‘𝑅)))
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr‘𝑅)))
6		srngcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		srngadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
8	1, 7	oppradd 20625	. . . 4 ⊢ + = (+g‘(oppr‘𝑅))
9	6, 7, 8	ghmlin 19485	. . 3 ⊢ (((*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑋) + ((*rf‘𝑅)‘𝑌)))
10	5, 9	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑋) + ((*rf‘𝑅)‘𝑌)))
11		srngring 21154	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → 𝑅 ∈ Ring)
12	6, 7	ringacl 20558	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13	11, 12	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
14		srngcl.i	. . . 4 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
15	6, 14, 2	stafval 21150	. . 3 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = ( ∗ ‘(𝑋 + 𝑌)))
16	13, 15	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = ( ∗ ‘(𝑋 + 𝑌)))
17	6, 14, 2	stafval 21150	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
18	17	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
19	6, 14, 2	stafval 21150	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘𝑌) = ( ∗ ‘𝑌))
20	19	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘𝑌) = ( ∗ ‘𝑌))
21	18, 20	oveq12d 7469	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((*rf‘𝑅)‘𝑋) + ((*rf‘𝑅)‘𝑌)) = (( ∗ ‘𝑋) + ( ∗ ‘𝑌)))
22	10, 16, 21	3eqtr3d 2806	1 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ∗ ‘𝑋) + ( ∗ ‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  *_𝑟cstv 17474   GrpHom cghm 19477  Ringcrg 20510  opp_rcoppr 20617   RingHom crh 20750  *_rfcstf 21145  *-Ringcsr 21146

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-grp 19197  df-ghm 19478  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-rhm 20753  df-staf 21147  df-srng 21148

This theorem is used by:  ipdi  22001