Theorem srngadd 20811

Description: The involution function in a star ring distributes over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngcl.i	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
srngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srngadd.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srngadd	⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ∗ ‘𝑋) + ( ∗ ‘𝑌)))

Proof of Theorem srngadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (*rf‘𝑅) = (*rf‘𝑅)
3	1, 2	srngrhm 20805	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)))
4		rhmghm 20444	. . . 4 ⊢ ((*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)) → (*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr‘𝑅)))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr‘𝑅)))
6		srngcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		srngadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
8	1, 7	oppradd 20304	. . . 4 ⊢ + = (+g‘(oppr‘𝑅))
9	6, 7, 8	ghmlin 19204	. . 3 ⊢ (((*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑋) + ((*rf‘𝑅)‘𝑌)))
10	5, 9	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑋) + ((*rf‘𝑅)‘𝑌)))
11		srngring 20806	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → 𝑅 ∈ Ring)
12	6, 7	ringacl 20238	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13	11, 12	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
14		srngcl.i	. . . 4 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
15	6, 14, 2	stafval 20802	. . 3 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = ( ∗ ‘(𝑋 + 𝑌)))
16	13, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 + 𝑌)) = ( ∗ ‘(𝑋 + 𝑌)))
17	6, 14, 2	stafval 20802	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
18	17	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
19	6, 14, 2	stafval 20802	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘𝑌) = ( ∗ ‘𝑌))
20	19	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘𝑌) = ( ∗ ‘𝑌))
21	18, 20	oveq12d 7423	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((*rf‘𝑅)‘𝑋) + ((*rf‘𝑅)‘𝑌)) = (( ∗ ‘𝑋) + ( ∗ ‘𝑌)))
22	10, 16, 21	3eqtr3d 2778	1 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ∗ ‘𝑋) + ( ∗ ‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  *_𝑟cstv 17273   GrpHom cghm 19195  Ringcrg 20193  opp_rcoppr 20296   RingHom crh 20429  *_rfcstf 20797  *-Ringcsr 20798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-grp 18919  df-ghm 19196  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-rhm 20432  df-staf 20799  df-srng 20800

This theorem is referenced by:  ipdi  21600