Theorem ringidss 20392

Description: A subset of the multiplicative group has the multiplicative identity as its identity if the identity is in the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidss.g	⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
ringidss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidss.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidss	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 1 = (0g‘𝑀))

Proof of Theorem ringidss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. 2 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		eqid 2766	. 2 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
3		eqid 2766	. 2 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
4		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 1 ∈ 𝐴)
5		ringidss.g	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
6		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7		ringidss.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	6, 7	mgpbas 20252	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
9	5, 8	ressbas2 17323	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑀))
10	9	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 𝐴 = (Base‘𝑀))
11	4, 10	eleqtrd 2868	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 1 ∈ (Base‘𝑀))
12		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
13	10, 12	eqsstrrd 3975	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → (Base‘𝑀) ⊆ 𝐵)
14	13	sselda 3940	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15		fvex 6901	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
16	10, 15	eqeltrdi 2874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
17		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	6, 17	mgpplusg 20251	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
19	5, 18	ressplusg 17369	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀))
20	16, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀))
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀))
22	21	oveqd 7440	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑦) = ( 1 (+g‘𝑀)𝑦))
23		ringidss.u	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
24	7, 17, 23	ringlidm 20384	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
25	24	3ad2antl1 1204	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
26	22, 25	eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ( 1 (+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
27	14, 26	syldan 603	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → ( 1 (+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
28	21	oveqd 7440	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑦(+g‘𝑀) 1 ))
29	7, 17, 23	ringridm 20385	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑦)
30	29	3ad2antl1 1204	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑦)
31	28, 30	eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑀) 1 ) = 𝑦)
32	14, 31	syldan 603	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑦(+g‘𝑀) 1 ) = 𝑦)
33	1, 2, 3, 11, 27, 32	ismgmid2 18752	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 1 = (0g‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  +_gcplusg 17335  ._rcmulr 17336  0_gc0g 17517  mulGrpcmgp 20247  1_rcur 20294  Ringcrg 20346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mgp 20248  df-ur 20295  df-ring 20348

This theorem is used by:  unitgrpid  20500  cnmgpid  21616  xrge0iifmhm  34360