MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringidss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringidss 19326
Description: A subset of the multiplicative group has the multiplicative identity as its identity if the identity is in the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringidss.g 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
ringidss.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidss.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringidss ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1 = (0g𝑀))

Proof of Theorem ringidss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . 2 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2 eqid 2801 . 2 (0g𝑀) = (0g𝑀)
3 eqid 2801 . 2 (+g𝑀) = (+g𝑀)
4 simp3 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1𝐴)
5 ringidss.g . . . . 5 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
6 eqid 2801 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7 ringidss.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
86, 7mgpbas 19241 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
95, 8ressbas2 16550 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘𝑀))
1093ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐴 = (Base‘𝑀))
114, 10eleqtrd 2895 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1 ∈ (Base‘𝑀))
12 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐴𝐵)
1310, 12eqsstrrd 3957 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → (Base‘𝑀) ⊆ 𝐵)
1413sselda 3918 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑦𝐵)
15 fvex 6662 . . . . . . . 8 (Base‘𝑀) ∈ V
1610, 15eqeltrdi 2901 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐴 ∈ V)
17 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
186, 17mgpplusg 19239 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
195, 18ressplusg 16607 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (.r𝑅) = (+g𝑀))
2016, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → (.r𝑅) = (+g𝑀))
2120adantr 484 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (.r𝑅) = (+g𝑀))
2221oveqd 7156 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑦) = ( 1 (+g𝑀)𝑦))
23 ringidss.u . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
247, 17, 23ringlidm 19320 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
25243ad2antl1 1182 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
2622, 25eqtr3d 2838 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
2714, 26syldan 594 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → ( 1 (+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
2821oveqd 7156 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(.r𝑅) 1 ) = (𝑦(+g𝑀) 1 ))
297, 17, 23ringridm 19321 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(.r𝑅) 1 ) = 𝑦)
30293ad2antl1 1182 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(.r𝑅) 1 ) = 𝑦)
3128, 30eqtr3d 2838 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(+g𝑀) 1 ) = 𝑦)
3214, 31syldan 594 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑦(+g𝑀) 1 ) = 𝑦)
331, 2, 3, 11, 27, 32ismgmid2 17873 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1 = (0g𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  Vcvv 3444  wss 3884  cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  s cress 16479  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  0gc0g 16708  mulGrpcmgp 19235  1rcur 19247  Ringcrg 19293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295
This theorem is referenced by:  unitgrpid  19418  cnmgpid  20156  xrge0iifmhm  31290
  Copyright terms: Public domain W3C validator