Theorem ringidss 20291

Description: A subset of the multiplicative group has the multiplicative identity as its identity if the identity is in the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidss.g	⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
ringidss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidss.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidss	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 1 = (0g‘𝑀))

Proof of Theorem ringidss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		eqid 2735	. 2 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
3		eqid 2735	. 2 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
4		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 1 ∈ 𝐴)
5		ringidss.g	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
6		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7		ringidss.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	6, 7	mgpbas 20158	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
9	5, 8	ressbas2 17283	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑀))
10	9	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 𝐴 = (Base‘𝑀))
11	4, 10	eleqtrd 2841	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 1 ∈ (Base‘𝑀))
12		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
13	10, 12	eqsstrrd 4035	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → (Base‘𝑀) ⊆ 𝐵)
14	13	sselda 3995	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15		fvex 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
16	10, 15	eqeltrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
17		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	6, 17	mgpplusg 20156	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
19	5, 18	ressplusg 17336	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀))
20	16, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀))
22	21	oveqd 7448	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑦) = ( 1 (+g‘𝑀)𝑦))
23		ringidss.u	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
24	7, 17, 23	ringlidm 20283	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
25	24	3ad2antl1 1184	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
26	22, 25	eqtr3d 2777	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ( 1 (+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
27	14, 26	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → ( 1 (+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
28	21	oveqd 7448	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑦(+g‘𝑀) 1 ))
29	7, 17, 23	ringridm 20284	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑦)
30	29	3ad2antl1 1184	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑦)
31	28, 30	eqtr3d 2777	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑀) 1 ) = 𝑦)
32	14, 31	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑦(+g‘𝑀) 1 ) = 𝑦)
33	1, 2, 3, 11, 27, 32	ismgmid2 18694	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 1 = (0g‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17486  mulGrpcmgp 20152  1_rcur 20199  Ringcrg 20251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253

This theorem is referenced by:  unitgrpid  20402  cnmgpid  21465  xrge0iifmhm  33900