Theorem ringidss 20512

Description: A subset of the multiplicative group has the multiplicative identity as its identity if the identity is in the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidss.g	⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
ringidss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidss.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidss	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 1 = (0g‘𝑀))

Proof of Theorem ringidss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
4		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 1 ∈ 𝐴)
5		ringidss.g	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7		ringidss.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	6, 7	mgpbas 20371	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
9	5, 8	ressbas2 17422	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑀))
10	9	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 𝐴 = (Base‘𝑀))
11	4, 10	eleqtrd 2862	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 1 ∈ (Base‘𝑀))
12		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
13	10, 12	eqsstrrd 3943	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → (Base‘𝑀) ⊆ 𝐵)
14	13	sselda 3908	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15		fvex 6899	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
16	10, 15	eqeltrdi 2868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
17		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	6, 17	mgpplusg 20370	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
19	5, 18	ressplusg 17468	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀))
20	16, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀))
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀))
22	21	oveqd 7438	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑦) = ( 1 (+g‘𝑀)𝑦))
23		ringidss.u	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
24	7, 17, 23	ringlidm 20504	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
25	24	3ad2antl1 1204	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
26	22, 25	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ( 1 (+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
27	14, 26	syldan 603	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → ( 1 (+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
28	21	oveqd 7438	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑦(+g‘𝑀) 1 ))
29	7, 17, 23	ringridm 20505	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑦)
30	29	3ad2antl1 1204	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑦)
31	28, 30	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑀) 1 ) = 𝑦)
32	14, 31	syldan 603	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑦(+g‘𝑀) 1 ) = 𝑦)
33	1, 2, 3, 11, 27, 32	ismgmid2 18855	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐴) → 1 = (0g‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  +_gcplusg 17434  ._rcmulr 17435  0_gc0g 17616  mulGrpcmgp 20366  1_rcur 20413  Ringcrg 20465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mgp 20367  df-ur 20414  df-ring 20467

This theorem is used by:  unitgrpid  20621  cnmgpid  21741  xrge0iifmhm  34618