Theorem mdetunilem5 21765

Description: Lemma for mdetuni 21771. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdetuni.1r	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mdetuni.pg	⊢ + = (+g‘𝑅)
mdetuni.tg	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetuni.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
mdetuni.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
mdetuni.li	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
mdetuni.sc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
mdetunilem5.ph	⊢ (𝜓 → 𝜑)
mdetunilem5.e	⊢ (𝜓 → 𝐸 ∈ 𝑁)
mdetunilem5.fgh	⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐾 ∧ 𝐻 ∈ 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
mdetunilem5	⊢ (𝜓 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐻,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝐸,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetunilem5.ph	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝜑)
2		mdetuni.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetuni.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		mdetuni.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5		mdetuni.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜓 → 𝑁 ∈ Fin)
7		mdetuni.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜓 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
10		mdetunilem5.fgh	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐾 ∧ 𝐻 ∈ 𝐾))
11	10	simp1d 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝐾)
12	10	simp2d 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐺 ∈ 𝐾)
13		mdetuni.pg	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
14	3, 13	ringacl 19817	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐾) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐾)
15	9, 11, 12, 14	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐾)
16	10	simp3d 1143	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐻 ∈ 𝐾)
17	15, 16	ifcld 4505	. . 3 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) ∈ 𝐾)
18	2, 3, 4, 6, 8, 17	matbas2d 21572	. 2 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ∈ 𝐵)
19	11, 16	ifcld 4505	. . 3 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻) ∈ 𝐾)
20	2, 3, 4, 6, 8, 19	matbas2d 21572	. 2 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∈ 𝐵)
21	12, 16	ifcld 4505	. . 3 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻) ∈ 𝐾)
22	2, 3, 4, 6, 8, 21	matbas2d 21572	. 2 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ∈ 𝐵)
23		mdetunilem5.e	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝐸 ∈ 𝑁)
24		snex 5354	. . . . . . 7 ⊢ {𝐸} ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 → {𝐸} ∈ V)
26	23	snssd 4742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜓 → {𝐸} ⊆ 𝑁)
27	26	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → {𝐸} ⊆ 𝑁)
28		simp2 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ {𝐸})
29	27, 28	sseldd 3922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
30	29, 11	syld3an2 1410	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝐾)
31	29, 12	syld3an2 1410	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐺 ∈ 𝐾)
32		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹))
33		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺))
34	25, 6, 30, 31, 32, 33	offval22 7928	. . . . 5 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺)))
35	34	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺)))
36		mposnif 7390	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺))
37		mposnif 7390	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹)
38		mposnif 7390	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺)
39	37, 38	oveq12i 7287	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺))
40	35, 36, 39	3eqtr4g 2803	. . 3 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))))
41		ssid 3943	. . . 4 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑁
42		resmpo 7394	. . . 4 ⊢ (({𝐸} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
43	26, 41, 42	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
44		resmpo 7394	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
45	26, 41, 44	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
46		resmpo 7394	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
47	26, 41, 46	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
48	45, 47	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (𝜓 → (((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁))) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))))
49	40, 43, 48	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁))))
50		eldifsni 4723	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) → 𝑎 ≠ 𝐸)
51	50	3ad2ant2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ≠ 𝐸)
52	51	neneqd 2948	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑎 = 𝐸)
53		iffalse 4468	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = 𝐻)
54		iffalse 4468	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻) = 𝐻)
55	53, 54	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
56	52, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
57	56	mpoeq3dva 7352	. . 3 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
58		difss 4066	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁
59		resmpo 7394	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
60	58, 41, 59	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))
61		resmpo 7394	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
62	58, 41, 61	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
63	57, 60, 62	3eqtr4g 2803	. 2 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))
64		iffalse 4468	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻) = 𝐻)
65	53, 64	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
66	52, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
67	66	mpoeq3dva 7352	. . 3 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
68		resmpo 7394	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
69	58, 41, 68	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
70	67, 60, 69	3eqtr4g 2803	. 2 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))
71		mdetuni.0g	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
72		mdetuni.1r	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
73		mdetuni.tg	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
74		mdetuni.ff	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
75		mdetuni.al	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
76		mdetuni.li	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
77		mdetuni.sc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
78	2, 4, 3, 71, 72, 13, 73, 5, 7, 74, 75, 76, 77	mdetunilem3 21763	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∈ 𝐵) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝑁 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)))) ∧ (((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))
79	1, 18, 20, 22, 23, 49, 63, 70, 78	syl332anc 1400	1 ⊢ (𝜓 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ifcif 4459  {csn 4561   × cxp 5587   ↾ cres 5591  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277   ∘_f cof 7531  Fincfn 8733  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  1_rcur 19737  Ringcrg 19783   Mat cmat 21554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-ring 19785  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-mat 21555

This theorem is referenced by:  mdetunilem6  21766