MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem5 21965
Description: Lemma for mdetuni 21971. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g 0 = (0g𝑅)
mdetuni.1r 1 = (1r𝑅)
mdetuni.pg + = (+g𝑅)
mdetuni.tg · = (.r𝑅)
mdetuni.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
mdetuni.al (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
mdetuni.li (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
mdetuni.sc (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
mdetunilem5.ph (𝜓𝜑)
mdetunilem5.e (𝜓𝐸𝑁)
mdetunilem5.fgh ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐹𝐾𝐺𝐾𝐻𝐾))
Assertion
Ref Expression
mdetunilem5 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐻,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝐸,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem5
StepHypRef Expression
1 mdetunilem5.ph . 2 (𝜓𝜑)
2 mdetuni.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mdetuni.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 mdetuni.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
5 mdetuni.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
61, 5syl 17 . . 3 (𝜓𝑁 ∈ Fin)
7 mdetuni.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
81, 7syl 17 . . 3 (𝜓𝑅 ∈ Ring)
983ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
10 mdetunilem5.fgh . . . . . 6 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐹𝐾𝐺𝐾𝐻𝐾))
1110simp1d 1142 . . . . 5 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐹𝐾)
1210simp2d 1143 . . . . 5 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐺𝐾)
13 mdetuni.pg . . . . . 6 + = (+g𝑅)
143, 13ringacl 19999 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐾) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐾)
159, 11, 12, 14syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐾)
1610simp3d 1144 . . . 4 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐻𝐾)
1715, 16ifcld 4532 . . 3 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) ∈ 𝐾)
182, 3, 4, 6, 8, 17matbas2d 21772 . 2 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ∈ 𝐵)
1911, 16ifcld 4532 . . 3 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻) ∈ 𝐾)
202, 3, 4, 6, 8, 19matbas2d 21772 . 2 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∈ 𝐵)
2112, 16ifcld 4532 . . 3 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻) ∈ 𝐾)
222, 3, 4, 6, 8, 21matbas2d 21772 . 2 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ∈ 𝐵)
23 mdetunilem5.e . 2 (𝜓𝐸𝑁)
24 snex 5388 . . . . . . 7 {𝐸} ∈ V
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜓 → {𝐸} ∈ V)
2623snssd 4769 . . . . . . . . 9 (𝜓 → {𝐸} ⊆ 𝑁)
27263ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝜓𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏𝑁) → {𝐸} ⊆ 𝑁)
28 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝜓𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏𝑁) → 𝑎 ∈ {𝐸})
2927, 28sseldd 3945 . . . . . . 7 ((𝜓𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
3029, 11syld3an2 1411 . . . . . 6 ((𝜓𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏𝑁) → 𝐹𝐾)
3129, 12syld3an2 1411 . . . . . 6 ((𝜓𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏𝑁) → 𝐺𝐾)
32 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹))
33 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺))
3425, 6, 30, 31, 32, 33offval22 8020 . . . . 5 (𝜓 → ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺)))
3534eqcomd 2742 . . . 4 (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺)))
36 mposnif 7472 . . . 4 (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺))
37 mposnif 7472 . . . . 5 (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹)
38 mposnif 7472 . . . . 5 (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺)
3937, 38oveq12i 7369 . . . 4 ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺))
4035, 36, 393eqtr4g 2801 . . 3 (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))))
41 ssid 3966 . . . 4 𝑁𝑁
42 resmpo 7476 . . . 4 (({𝐸} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
4326, 41, 42sylancl 586 . . 3 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
44 resmpo 7476 . . . . 5 (({𝐸} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
4526, 41, 44sylancl 586 . . . 4 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
46 resmpo 7476 . . . . 5 (({𝐸} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
4726, 41, 46sylancl 586 . . . 4 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
4845, 47oveq12d 7375 . . 3 (𝜓 → (((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁))) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))))
4940, 43, 483eqtr4d 2786 . 2 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁))))
50 eldifsni 4750 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) → 𝑎𝐸)
51503ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝜓𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑎𝐸)
5251neneqd 2948 . . . . 5 ((𝜓𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏𝑁) → ¬ 𝑎 = 𝐸)
53 iffalse 4495 . . . . . 6 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = 𝐻)
54 iffalse 4495 . . . . . 6 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻) = 𝐻)
5553, 54eqtr4d 2779 . . . . 5 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
5652, 55syl 17 . . . 4 ((𝜓𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
5756mpoeq3dva 7434 . . 3 (𝜓 → (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
58 difss 4091 . . . 4 (𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁
59 resmpo 7476 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
6058, 41, 59mp2an 690 . . 3 ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))
61 resmpo 7476 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
6258, 41, 61mp2an 690 . . 3 ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
6357, 60, 623eqtr4g 2801 . 2 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))
64 iffalse 4495 . . . . . 6 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻) = 𝐻)
6553, 64eqtr4d 2779 . . . . 5 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
6652, 65syl 17 . . . 4 ((𝜓𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
6766mpoeq3dva 7434 . . 3 (𝜓 → (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
68 resmpo 7476 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
6958, 41, 68mp2an 690 . . 3 ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
7067, 60, 693eqtr4g 2801 . 2 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))
71 mdetuni.0g . . 3 0 = (0g𝑅)
72 mdetuni.1r . . 3 1 = (1r𝑅)
73 mdetuni.tg . . 3 · = (.r𝑅)
74 mdetuni.ff . . 3 (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
75 mdetuni.al . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
76 mdetuni.li . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
77 mdetuni.sc . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
782, 4, 3, 71, 72, 13, 73, 5, 7, 74, 75, 76, 77mdetunilem3 21963 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∈ 𝐵) ∧ ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ∈ 𝐵𝐸𝑁 ∧ ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)))) ∧ (((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) ∧ ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))
791, 18, 20, 22, 23, 49, 63, 70, 78syl332anc 1401 1 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586   × cxp 5631  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  f cof 7615  Fincfn 8883  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  1rcur 19913  Ringcrg 19964   Mat cmat 21754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-ring 19966  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mat 21755
This theorem is referenced by:  mdetunilem6  21966
  Copyright terms: Public domain W3C validator