MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem5 21765
Description: Lemma for mdetuni 21771. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g 0 = (0g𝑅)
mdetuni.1r 1 = (1r𝑅)
mdetuni.pg + = (+g𝑅)
mdetuni.tg · = (.r𝑅)
mdetuni.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
mdetuni.al (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
mdetuni.li (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
mdetuni.sc (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
mdetunilem5.ph (𝜓𝜑)
mdetunilem5.e (𝜓𝐸𝑁)
mdetunilem5.fgh ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐹𝐾𝐺𝐾𝐻𝐾))
Assertion
Ref Expression
mdetunilem5 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐻,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝐸,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem5
StepHypRef Expression
1 mdetunilem5.ph . 2 (𝜓𝜑)
2 mdetuni.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mdetuni.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 mdetuni.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
5 mdetuni.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
61, 5syl 17 . . 3 (𝜓𝑁 ∈ Fin)
7 mdetuni.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
81, 7syl 17 . . 3 (𝜓𝑅 ∈ Ring)
983ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
10 mdetunilem5.fgh . . . . . 6 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐹𝐾𝐺𝐾𝐻𝐾))
1110simp1d 1141 . . . . 5 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐹𝐾)
1210simp2d 1142 . . . . 5 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐺𝐾)
13 mdetuni.pg . . . . . 6 + = (+g𝑅)
143, 13ringacl 19817 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐾) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐾)
159, 11, 12, 14syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐾)
1610simp3d 1143 . . . 4 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐻𝐾)
1715, 16ifcld 4505 . . 3 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) ∈ 𝐾)
182, 3, 4, 6, 8, 17matbas2d 21572 . 2 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ∈ 𝐵)
1911, 16ifcld 4505 . . 3 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻) ∈ 𝐾)
202, 3, 4, 6, 8, 19matbas2d 21572 . 2 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∈ 𝐵)
2112, 16ifcld 4505 . . 3 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻) ∈ 𝐾)
222, 3, 4, 6, 8, 21matbas2d 21572 . 2 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ∈ 𝐵)
23 mdetunilem5.e . 2 (𝜓𝐸𝑁)
24 snex 5354 . . . . . . 7 {𝐸} ∈ V
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜓 → {𝐸} ∈ V)
2623snssd 4742 . . . . . . . . 9 (𝜓 → {𝐸} ⊆ 𝑁)
27263ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝜓𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏𝑁) → {𝐸} ⊆ 𝑁)
28 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝜓𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏𝑁) → 𝑎 ∈ {𝐸})
2927, 28sseldd 3922 . . . . . . 7 ((𝜓𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
3029, 11syld3an2 1410 . . . . . 6 ((𝜓𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏𝑁) → 𝐹𝐾)
3129, 12syld3an2 1410 . . . . . 6 ((𝜓𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏𝑁) → 𝐺𝐾)
32 eqidd 2739 . . . . . 6 (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹))
33 eqidd 2739 . . . . . 6 (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺))
3425, 6, 30, 31, 32, 33offval22 7928 . . . . 5 (𝜓 → ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺)))
3534eqcomd 2744 . . . 4 (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺)))
36 mposnif 7390 . . . 4 (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺))
37 mposnif 7390 . . . . 5 (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹)
38 mposnif 7390 . . . . 5 (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺)
3937, 38oveq12i 7287 . . . 4 ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺))
4035, 36, 393eqtr4g 2803 . . 3 (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))))
41 ssid 3943 . . . 4 𝑁𝑁
42 resmpo 7394 . . . 4 (({𝐸} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
4326, 41, 42sylancl 586 . . 3 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
44 resmpo 7394 . . . . 5 (({𝐸} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
4526, 41, 44sylancl 586 . . . 4 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
46 resmpo 7394 . . . . 5 (({𝐸} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
4726, 41, 46sylancl 586 . . . 4 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
4845, 47oveq12d 7293 . . 3 (𝜓 → (((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁))) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))))
4940, 43, 483eqtr4d 2788 . 2 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁))))
50 eldifsni 4723 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) → 𝑎𝐸)
51503ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝜓𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑎𝐸)
5251neneqd 2948 . . . . 5 ((𝜓𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏𝑁) → ¬ 𝑎 = 𝐸)
53 iffalse 4468 . . . . . 6 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = 𝐻)
54 iffalse 4468 . . . . . 6 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻) = 𝐻)
5553, 54eqtr4d 2781 . . . . 5 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
5652, 55syl 17 . . . 4 ((𝜓𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
5756mpoeq3dva 7352 . . 3 (𝜓 → (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
58 difss 4066 . . . 4 (𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁
59 resmpo 7394 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
6058, 41, 59mp2an 689 . . 3 ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))
61 resmpo 7394 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
6258, 41, 61mp2an 689 . . 3 ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
6357, 60, 623eqtr4g 2803 . 2 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))
64 iffalse 4468 . . . . . 6 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻) = 𝐻)
6553, 64eqtr4d 2781 . . . . 5 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
6652, 65syl 17 . . . 4 ((𝜓𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
6766mpoeq3dva 7352 . . 3 (𝜓 → (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
68 resmpo 7394 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
6958, 41, 68mp2an 689 . . 3 ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
7067, 60, 693eqtr4g 2803 . 2 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))
71 mdetuni.0g . . 3 0 = (0g𝑅)
72 mdetuni.1r . . 3 1 = (1r𝑅)
73 mdetuni.tg . . 3 · = (.r𝑅)
74 mdetuni.ff . . 3 (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
75 mdetuni.al . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
76 mdetuni.li . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
77 mdetuni.sc . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
782, 4, 3, 71, 72, 13, 73, 5, 7, 74, 75, 76, 77mdetunilem3 21763 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∈ 𝐵) ∧ ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ∈ 𝐵𝐸𝑁 ∧ ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)))) ∧ (((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) ∧ ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))
791, 18, 20, 22, 23, 49, 63, 70, 78syl332anc 1400 1 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3432  cdif 3884  wss 3887  ifcif 4459  {csn 4561   × cxp 5587  cres 5591  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  cmpo 7277  f cof 7531  Fincfn 8733  Basecbs 16912  +gcplusg 16962  .rcmulr 16963  0gc0g 17150  1rcur 19737  Ringcrg 19783   Mat cmat 21554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-ring 19785  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-mat 21555
This theorem is referenced by:  mdetunilem6  21766
  Copyright terms: Public domain W3C validator