Theorem mdetunilem5 22110

Description: Lemma for mdetuni 22116. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdetuni.1r	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mdetuni.pg	⊢ + = (+g‘𝑅)
mdetuni.tg	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetuni.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
mdetuni.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
mdetuni.li	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
mdetuni.sc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
mdetunilem5.ph	⊢ (𝜓 → 𝜑)
mdetunilem5.e	⊢ (𝜓 → 𝐸 ∈ 𝑁)
mdetunilem5.fgh	⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐾 ∧ 𝐻 ∈ 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
mdetunilem5	⊢ (𝜓 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐻,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝐸,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetunilem5.ph	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝜑)
2		mdetuni.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetuni.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		mdetuni.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5		mdetuni.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜓 → 𝑁 ∈ Fin)
7		mdetuni.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜓 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
10		mdetunilem5.fgh	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐾 ∧ 𝐻 ∈ 𝐾))
11	10	simp1d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝐾)
12	10	simp2d 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐺 ∈ 𝐾)
13		mdetuni.pg	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
14	3, 13	ringacl 20089	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐾) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐾)
15	9, 11, 12, 14	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐾)
16	10	simp3d 1145	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐻 ∈ 𝐾)
17	15, 16	ifcld 4574	. . 3 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) ∈ 𝐾)
18	2, 3, 4, 6, 8, 17	matbas2d 21917	. 2 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ∈ 𝐵)
19	11, 16	ifcld 4574	. . 3 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻) ∈ 𝐾)
20	2, 3, 4, 6, 8, 19	matbas2d 21917	. 2 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∈ 𝐵)
21	12, 16	ifcld 4574	. . 3 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻) ∈ 𝐾)
22	2, 3, 4, 6, 8, 21	matbas2d 21917	. 2 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ∈ 𝐵)
23		mdetunilem5.e	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝐸 ∈ 𝑁)
24		snex 5431	. . . . . . 7 ⊢ {𝐸} ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 → {𝐸} ∈ V)
26	23	snssd 4812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜓 → {𝐸} ⊆ 𝑁)
27	26	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → {𝐸} ⊆ 𝑁)
28		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ {𝐸})
29	27, 28	sseldd 3983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
30	29, 11	syld3an2 1412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝐾)
31	29, 12	syld3an2 1412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐺 ∈ 𝐾)
32		eqidd 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹))
33		eqidd 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺))
34	25, 6, 30, 31, 32, 33	offval22 8071	. . . . 5 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺)))
35	34	eqcomd 2739	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺)))
36		mposnif 7521	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺))
37		mposnif 7521	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹)
38		mposnif 7521	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺)
39	37, 38	oveq12i 7418	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺))
40	35, 36, 39	3eqtr4g 2798	. . 3 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))))
41		ssid 4004	. . . 4 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑁
42		resmpo 7525	. . . 4 ⊢ (({𝐸} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
43	26, 41, 42	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
44		resmpo 7525	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
45	26, 41, 44	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
46		resmpo 7525	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
47	26, 41, 46	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
48	45, 47	oveq12d 7424	. . 3 ⊢ (𝜓 → (((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁))) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))))
49	40, 43, 48	3eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁))))
50		eldifsni 4793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) → 𝑎 ≠ 𝐸)
51	50	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ≠ 𝐸)
52	51	neneqd 2946	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑎 = 𝐸)
53		iffalse 4537	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = 𝐻)
54		iffalse 4537	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻) = 𝐻)
55	53, 54	eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
56	52, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
57	56	mpoeq3dva 7483	. . 3 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
58		difss 4131	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁
59		resmpo 7525	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
60	58, 41, 59	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))
61		resmpo 7525	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
62	58, 41, 61	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
63	57, 60, 62	3eqtr4g 2798	. 2 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))
64		iffalse 4537	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻) = 𝐻)
65	53, 64	eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
66	52, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
67	66	mpoeq3dva 7483	. . 3 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
68		resmpo 7525	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
69	58, 41, 68	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
70	67, 60, 69	3eqtr4g 2798	. 2 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))
71		mdetuni.0g	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
72		mdetuni.1r	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
73		mdetuni.tg	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
74		mdetuni.ff	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
75		mdetuni.al	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
76		mdetuni.li	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
77		mdetuni.sc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
78	2, 4, 3, 71, 72, 13, 73, 5, 7, 74, 75, 76, 77	mdetunilem3 22108	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∈ 𝐵) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝑁 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)))) ∧ (((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))
79	1, 18, 20, 22, 23, 49, 63, 70, 78	syl332anc 1402	1 ⊢ (𝜓 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  Vcvv 3475   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   × cxp 5674   ↾ cres 5678  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408   ∘_f cof 7665  Fincfn 8936  Basecbs 17141  +_gcplusg 17194  ._rcmulr 17195  0_gc0g 17382  1_rcur 19999  Ringcrg 20050   Mat cmat 21899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-prds 17390  df-pws 17392  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-ring 20052  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-dsmm 21279  df-frlm 21294  df-mat 21900

This theorem is referenced by:  mdetunilem6  22111