Theorem mdetunilem5 21673

Description: Lemma for mdetuni 21679. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdetuni.1r	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mdetuni.pg	⊢ + = (+g‘𝑅)
mdetuni.tg	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetuni.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
mdetuni.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
mdetuni.li	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
mdetuni.sc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
mdetunilem5.ph	⊢ (𝜓 → 𝜑)
mdetunilem5.e	⊢ (𝜓 → 𝐸 ∈ 𝑁)
mdetunilem5.fgh	⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐾 ∧ 𝐻 ∈ 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
mdetunilem5	⊢ (𝜓 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐻,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝐸,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetunilem5.ph	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝜑)
2		mdetuni.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetuni.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		mdetuni.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5		mdetuni.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜓 → 𝑁 ∈ Fin)
7		mdetuni.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜓 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
10		mdetunilem5.fgh	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐾 ∧ 𝐻 ∈ 𝐾))
11	10	simp1d 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝐾)
12	10	simp2d 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐺 ∈ 𝐾)
13		mdetuni.pg	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
14	3, 13	ringacl 19732	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐾) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐾)
15	9, 11, 12, 14	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐾)
16	10	simp3d 1142	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐻 ∈ 𝐾)
17	15, 16	ifcld 4502	. . 3 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) ∈ 𝐾)
18	2, 3, 4, 6, 8, 17	matbas2d 21480	. 2 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ∈ 𝐵)
19	11, 16	ifcld 4502	. . 3 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻) ∈ 𝐾)
20	2, 3, 4, 6, 8, 19	matbas2d 21480	. 2 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∈ 𝐵)
21	12, 16	ifcld 4502	. . 3 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻) ∈ 𝐾)
22	2, 3, 4, 6, 8, 21	matbas2d 21480	. 2 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ∈ 𝐵)
23		mdetunilem5.e	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝐸 ∈ 𝑁)
24		snex 5349	. . . . . . 7 ⊢ {𝐸} ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 → {𝐸} ∈ V)
26	23	snssd 4739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜓 → {𝐸} ⊆ 𝑁)
27	26	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → {𝐸} ⊆ 𝑁)
28		simp2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ {𝐸})
29	27, 28	sseldd 3918	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
30	29, 11	syld3an2 1409	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝐾)
31	29, 12	syld3an2 1409	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐺 ∈ 𝐾)
32		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹))
33		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺))
34	25, 6, 30, 31, 32, 33	offval22 7899	. . . . 5 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺)))
35	34	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺)))
36		mposnif 7368	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺))
37		mposnif 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹)
38		mposnif 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺)
39	37, 38	oveq12i 7267	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺))
40	35, 36, 39	3eqtr4g 2804	. . 3 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))))
41		ssid 3939	. . . 4 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑁
42		resmpo 7372	. . . 4 ⊢ (({𝐸} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
43	26, 41, 42	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
44		resmpo 7372	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
45	26, 41, 44	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
46		resmpo 7372	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
47	26, 41, 46	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
48	45, 47	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ (𝜓 → (((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁))) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))))
49	40, 43, 48	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁))))
50		eldifsni 4720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) → 𝑎 ≠ 𝐸)
51	50	3ad2ant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ≠ 𝐸)
52	51	neneqd 2947	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑎 = 𝐸)
53		iffalse 4465	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = 𝐻)
54		iffalse 4465	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻) = 𝐻)
55	53, 54	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
56	52, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
57	56	mpoeq3dva 7330	. . 3 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
58		difss 4062	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁
59		resmpo 7372	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
60	58, 41, 59	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))
61		resmpo 7372	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
62	58, 41, 61	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
63	57, 60, 62	3eqtr4g 2804	. 2 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))
64		iffalse 4465	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻) = 𝐻)
65	53, 64	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
66	52, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
67	66	mpoeq3dva 7330	. . 3 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
68		resmpo 7372	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
69	58, 41, 68	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
70	67, 60, 69	3eqtr4g 2804	. 2 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))
71		mdetuni.0g	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
72		mdetuni.1r	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
73		mdetuni.tg	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
74		mdetuni.ff	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
75		mdetuni.al	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
76		mdetuni.li	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
77		mdetuni.sc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
78	2, 4, 3, 71, 72, 13, 73, 5, 7, 74, 75, 76, 77	mdetunilem3 21671	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∈ 𝐵) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝑁 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)))) ∧ (((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))
79	1, 18, 20, 22, 23, 49, 63, 70, 78	syl332anc 1399	1 ⊢ (𝜓 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ifcif 4456  {csn 4558   × cxp 5578   ↾ cres 5582  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257   ∘_f cof 7509  Fincfn 8691  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  Ringcrg 19698   Mat cmat 21464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-ring 19700  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-mat 21465

This theorem is referenced by:  mdetunilem6  21674