MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusring2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusring2 20230
Description: The quotient structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring2.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
qusring2.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
qusring2.p + = (+gโ€˜๐‘…)
qusring2.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
qusring2.o 1 = (1rโ€˜๐‘…)
qusring2.r (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
qusring2.e1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆผ (๐‘ + ๐‘ž)))
qusring2.e2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
qusring2.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
Assertion
Ref Expression
qusring2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ Ring โˆง [ 1 ] โˆผ = (1rโ€˜๐‘ˆ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ž,๐‘, +   1 ,๐‘,๐‘ž   ๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž,๐‘ˆ   ๐‘‰,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   โˆผ ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ยท ,๐‘,๐‘ž   ๐‘…,๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   + (๐‘Ž,๐‘)   ๐‘…(๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)   1 (๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem qusring2
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusring2.u . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
2 qusring2.v . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
3 eqid 2726 . . . 4 (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ ) = (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )
4 qusring2.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
5 fvex 6897 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V
62, 5eqeltrdi 2835 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ V)
7 erex 8726 . . . . 5 ( โˆผ Er ๐‘‰ โ†’ (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆผ โˆˆ V))
84, 6, 7sylc 65 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆผ โˆˆ V)
9 qusring2.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
101, 2, 3, 8, 9qusval 17494 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ ) โ€œs ๐‘…))
11 qusring2.p . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
12 qusring2.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
13 qusring2.o . . 3 1 = (1rโ€˜๐‘…)
141, 2, 3, 8, 9quslem 17495 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ ):๐‘‰โ€“ontoโ†’(๐‘‰ / โˆผ ))
159adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
16 simprl 768 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰)
172adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
1816, 17eleqtrd 2829 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
19 simprr 770 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)
2019, 17eleqtrd 2829 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
21 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
2221, 11ringacl 20174 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2315, 18, 20, 22syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2423, 17eleqtrrd 2830 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
25 qusring2.e1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆผ (๐‘ + ๐‘ž)))
264, 6, 3, 24, 25ercpbl 17501 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘Ž) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘) โˆง ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘ž)) โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜(๐‘Ž + ๐‘)) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜(๐‘ + ๐‘ž))))
2721, 12ringcl 20152 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2815, 18, 20, 27syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2928, 17eleqtrrd 2830 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
30 qusring2.e2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
314, 6, 3, 29, 30ercpbl 17501 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘Ž) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘) โˆง ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘ž)) โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
3210, 2, 11, 12, 13, 14, 26, 31, 9imasring 20226 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ Ring โˆง ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜ 1 ) = (1rโ€˜๐‘ˆ)))
334, 6, 3divsfval 17499 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜ 1 ) = [ 1 ] โˆผ )
3433eqcomd 2732 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ [ 1 ] โˆผ = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜ 1 ))
3534eqeq1d 2728 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ([ 1 ] โˆผ = (1rโ€˜๐‘ˆ) โ†” ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜ 1 ) = (1rโ€˜๐‘ˆ)))
3635anbi2d 628 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ โˆˆ Ring โˆง [ 1 ] โˆผ = (1rโ€˜๐‘ˆ)) โ†” (๐‘ˆ โˆˆ Ring โˆง ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜ 1 ) = (1rโ€˜๐‘ˆ))))
3732, 36mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ Ring โˆง [ 1 ] โˆผ = (1rโ€˜๐‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   Er wer 8699  [cec 8700   / cqs 8701  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  .rcmulr 17204   /s cqus 17457  1rcur 20083  Ringcrg 20135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-0g 17393  df-imas 17460  df-qus 17461  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137
This theorem is referenced by:  qus1  21128
  Copyright terms: Public domain W3C validator