MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusring2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusring2 19083
Description: The quotient structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring2.u (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
qusring2.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
qusring2.p + = (+g𝑅)
qusring2.t · = (.r𝑅)
qusring2.o 1 = (1r𝑅)
qusring2.r (𝜑 Er 𝑉)
qusring2.e1 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) (𝑝 + 𝑞)))
qusring2.e2 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) (𝑝 · 𝑞)))
qusring2.x (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
qusring2 (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] = (1r𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝, +   1 ,𝑝,𝑞   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑈   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   1 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qusring2
Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusring2.u . . . 4 (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
2 qusring2.v . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 eqid 2772 . . . 4 (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ) = (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )
4 qusring2.r . . . . 5 (𝜑 Er 𝑉)
5 fvex 6506 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
62, 5syl6eqel 2868 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ V)
7 erex 8105 . . . . 5 ( Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∈ V))
84, 6, 7sylc 65 . . . 4 (𝜑 ∈ V)
9 qusring2.x . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
101, 2, 3, 8, 9qusval 16661 . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ) “s 𝑅))
11 qusring2.p . . 3 + = (+g𝑅)
12 qusring2.t . . 3 · = (.r𝑅)
13 qusring2.o . . 3 1 = (1r𝑅)
141, 2, 3, 8, 9quslem 16662 . . 3 (𝜑 → (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ):𝑉onto→(𝑉 / ))
159adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simprl 758 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑥𝑉)
172adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
1816, 17eleqtrd 2862 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19 simprr 760 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑦𝑉)
2019, 17eleqtrd 2862 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21 eqid 2772 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2221, 11ringacl 19041 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2315, 18, 20, 22syl3anc 1351 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2423, 17eleqtrrd 2863 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
25 qusring2.e1 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) (𝑝 + 𝑞)))
264, 6, 3, 24, 25ercpbl 16668 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → ((((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑎) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑝) ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑏) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑞)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑝 + 𝑞))))
2721, 12ringcl 19024 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2815, 18, 20, 27syl3anc 1351 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2928, 17eleqtrrd 2863 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑉)
30 qusring2.e2 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) (𝑝 · 𝑞)))
314, 6, 3, 29, 30ercpbl 16668 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → ((((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑎) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑝) ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑏) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑞)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑝 · 𝑞))))
3210, 2, 11, 12, 13, 14, 26, 31, 9imasring 19082 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = (1r𝑈)))
334, 6, 3divsfval 16666 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = [ 1 ] )
3433eqcomd 2778 . . . 4 (𝜑 → [ 1 ] = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ))
3534eqeq1d 2774 . . 3 (𝜑 → ([ 1 ] = (1r𝑈) ↔ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = (1r𝑈)))
3635anbi2d 619 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] = (1r𝑈)) ↔ (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = (1r𝑈))))
3732, 36mpbird 249 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] = (1r𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  Vcvv 3409   class class class wbr 4923  cmpt 5002  cfv 6182  (class class class)co 6970   Er wer 8078  [cec 8079   / cqs 8080  Basecbs 16329  +gcplusg 16411  .rcmulr 16412   /s cqus 16624  1rcur 18964  Ringcrg 19010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-ec 8083  df-qs 8087  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-inf 8694  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-fz 12702  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-0g 16561  df-imas 16627  df-qus 16628  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012
This theorem is referenced by:  qus1  19719
  Copyright terms: Public domain W3C validator