Theorem qusring2 20370

Description: The quotient structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusring2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
qusring2.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
qusring2.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
qusring2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
qusring2.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
qusring2.r	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑉)
qusring2.e1	⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) ∼ (𝑝 + 𝑞)))
qusring2.e2	⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) ∼ (𝑝 · 𝑞)))
qusring2.x	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
qusring2	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] ∼ = (1r‘𝑈)))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝, +   1 ,𝑝,𝑞   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑈   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   ∼ ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   1 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qusring2

Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusring2.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
2		qusring2.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ ) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )
4		qusring2.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑉)
5		fvex 6875	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
6	2, 5	eqeltrdi 2869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
7		erex 8697	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∼ ∈ V))
8	4, 6, 7	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
9		qusring2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	1, 2, 3, 8, 9	qusval 17563	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ ) “s 𝑅))
11		qusring2.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12		qusring2.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13		qusring2.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14	1, 2, 3, 8, 9	quslem 17564	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ ):𝑉–onto→(𝑉 / ∼ ))
15	9	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simprl 780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
17	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
18	16, 17	eleqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19		simprr 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
20	19, 17	eleqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22	21, 11	ringacl 20315	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
23	15, 18, 20, 22	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
24	23, 17	eleqtrrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
25		qusring2.e1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) ∼ (𝑝 + 𝑞)))
26	4, 6, 3, 24, 25	ercpbl 17570	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑎) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑝) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑏) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑞)) → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑝 + 𝑞))))
27	21, 12	ringcl 20287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
28	15, 18, 20, 27	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
29	28, 17	eleqtrrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑉)
30		qusring2.e2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) ∼ (𝑝 · 𝑞)))
31	4, 6, 3, 29, 30	ercpbl 17570	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑎) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑝) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑏) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑞)) → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑝 · 𝑞))))
32	10, 2, 11, 12, 13, 14, 26, 31, 9	imasring 20366	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ) = (1r‘𝑈)))
33	4, 6, 3	divsfval 17568	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ) = [ 1 ] ∼ )
34	33	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [ 1 ] ∼ = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ))
35	34	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([ 1 ] ∼ = (1r‘𝑈) ↔ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ) = (1r‘𝑈)))
36	35	anbi2d 639	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] ∼ = (1r‘𝑈)) ↔ (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ) = (1r‘𝑈))))
37	32, 36	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] ∼ = (1r‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   Er wer 8669  [cec 8670   / cqs 8671  Basecbs 17236  +_gcplusg 17277  ._rcmulr 17278   /_s cqus 17526  1_rcur 20218  Ringcrg 20270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-ec 8674  df-qs 8678  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-0g 17461  df-imas 17529  df-qus 17530  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-mgp 20178  df-ur 20219  df-ring 20272

This theorem is referenced by:  qus1  21332