MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusring2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusring2 20229
Description: The quotient structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring2.u (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
qusring2.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
qusring2.p + = (+g𝑅)
qusring2.t · = (.r𝑅)
qusring2.o 1 = (1r𝑅)
qusring2.r (𝜑 Er 𝑉)
qusring2.e1 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) (𝑝 + 𝑞)))
qusring2.e2 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) (𝑝 · 𝑞)))
qusring2.x (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
qusring2 (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] = (1r𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝, +   1 ,𝑝,𝑞   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑈   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   1 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qusring2
Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusring2.u . . . 4 (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
2 qusring2.v . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 eqid 2731 . . . 4 (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ) = (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )
4 qusring2.r . . . . 5 (𝜑 Er 𝑉)
5 fvex 6904 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
62, 5eqeltrdi 2840 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ V)
7 erex 8733 . . . . 5 ( Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∈ V))
84, 6, 7sylc 65 . . . 4 (𝜑 ∈ V)
9 qusring2.x . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
101, 2, 3, 8, 9qusval 17495 . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ) “s 𝑅))
11 qusring2.p . . 3 + = (+g𝑅)
12 qusring2.t . . 3 · = (.r𝑅)
13 qusring2.o . . 3 1 = (1r𝑅)
141, 2, 3, 8, 9quslem 17496 . . 3 (𝜑 → (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ):𝑉onto→(𝑉 / ))
159adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simprl 768 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑥𝑉)
172adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
1816, 17eleqtrd 2834 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19 simprr 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑦𝑉)
2019, 17eleqtrd 2834 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21 eqid 2731 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2221, 11ringacl 20173 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2315, 18, 20, 22syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2423, 17eleqtrrd 2835 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
25 qusring2.e1 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) (𝑝 + 𝑞)))
264, 6, 3, 24, 25ercpbl 17502 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → ((((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑎) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑝) ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑏) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑞)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑝 + 𝑞))))
2721, 12ringcl 20151 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2815, 18, 20, 27syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2928, 17eleqtrrd 2835 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑉)
30 qusring2.e2 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) (𝑝 · 𝑞)))
314, 6, 3, 29, 30ercpbl 17502 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → ((((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑎) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑝) ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑏) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑞)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑝 · 𝑞))))
3210, 2, 11, 12, 13, 14, 26, 31, 9imasring 20225 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = (1r𝑈)))
334, 6, 3divsfval 17500 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = [ 1 ] )
3433eqcomd 2737 . . . 4 (𝜑 → [ 1 ] = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ))
3534eqeq1d 2733 . . 3 (𝜑 → ([ 1 ] = (1r𝑈) ↔ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = (1r𝑈)))
3635anbi2d 628 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] = (1r𝑈)) ↔ (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = (1r𝑈))))
3732, 36mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] = (1r𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7412   Er wer 8706  [cec 8707   / cqs 8708  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205   /s cqus 17458  1rcur 20082  Ringcrg 20134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-0g 17394  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136
This theorem is referenced by:  qus1  21111
  Copyright terms: Public domain W3C validator