Theorem qusring2 20412

Description: The quotient structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusring2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
qusring2.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
qusring2.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
qusring2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
qusring2.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
qusring2.r	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑉)
qusring2.e1	⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) ∼ (𝑝 + 𝑞)))
qusring2.e2	⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) ∼ (𝑝 · 𝑞)))
qusring2.x	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
qusring2	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] ∼ = (1r‘𝑈)))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝, +   1 ,𝑝,𝑞   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑈   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   ∼ ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   1 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qusring2

Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusring2.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
2		qusring2.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ ) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )
4		qusring2.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑉)
5		fvex 6892	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
6	2, 5	eqeltrdi 2877	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
7		erex 8715	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∼ ∈ V))
8	4, 6, 7	sylc 66	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
9		qusring2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	1, 2, 3, 8, 9	qusval 17592	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ ) “s 𝑅))
11		qusring2.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12		qusring2.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13		qusring2.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14	1, 2, 3, 8, 9	quslem 17593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ ):𝑉–onto→(𝑉 / ∼ ))
15	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
17	2	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
18	16, 17	eleqtrd 2871	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
20	19, 17	eleqtrd 2871	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22	21, 11	ringacl 20357	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
23	15, 18, 20, 22	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
24	23, 17	eleqtrrd 2872	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
25		qusring2.e1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) ∼ (𝑝 + 𝑞)))
26	4, 6, 3, 24, 25	ercpbl 17599	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑎) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑝) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑏) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑞)) → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑝 + 𝑞))))
27	21, 12	ringcl 20328	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
28	15, 18, 20, 27	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
29	28, 17	eleqtrrd 2872	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑉)
30		qusring2.e2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) ∼ (𝑝 · 𝑞)))
31	4, 6, 3, 29, 30	ercpbl 17599	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑎) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑝) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑏) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑞)) → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑝 · 𝑞))))
32	10, 2, 11, 12, 13, 14, 26, 31, 9	imasring 20408	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ) = (1r‘𝑈)))
33	4, 6, 3	divsfval 17597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ) = [ 1 ] ∼ )
34	33	eqcomd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [ 1 ] ∼ = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ))
35	34	eqeq1d 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([ 1 ] ∼ = (1r‘𝑈) ↔ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ) = (1r‘𝑈)))
36	35	anbi2d 641	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] ∼ = (1r‘𝑈)) ↔ (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ) = (1r‘𝑈))))
37	32, 36	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] ∼ = (1r‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   Er wer 8687  [cec 8688   / cqs 8689  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  ._rcmulr 17307   /_s cqus 17555  1_rcur 20259  Ringcrg 20311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-0g 17490  df-imas 17558  df-qus 17559  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313

This theorem is referenced by:  qus1  21380