Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusring2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusring2 19387
 Description: The quotient structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring2.u (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
qusring2.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
qusring2.p + = (+g𝑅)
qusring2.t · = (.r𝑅)
qusring2.o 1 = (1r𝑅)
qusring2.r (𝜑 Er 𝑉)
qusring2.e1 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) (𝑝 + 𝑞)))
qusring2.e2 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) (𝑝 · 𝑞)))
qusring2.x (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
qusring2 (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] = (1r𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝, +   1 ,𝑝,𝑞   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑈   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   1 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qusring2
Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusring2.u . . . 4 (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
2 qusring2.v . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 eqid 2798 . . . 4 (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ) = (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )
4 qusring2.r . . . . 5 (𝜑 Er 𝑉)
5 fvex 6668 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
62, 5eqeltrdi 2898 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ V)
7 erex 8314 . . . . 5 ( Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∈ V))
84, 6, 7sylc 65 . . . 4 (𝜑 ∈ V)
9 qusring2.x . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
101, 2, 3, 8, 9qusval 16827 . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ) “s 𝑅))
11 qusring2.p . . 3 + = (+g𝑅)
12 qusring2.t . . 3 · = (.r𝑅)
13 qusring2.o . . 3 1 = (1r𝑅)
141, 2, 3, 8, 9quslem 16828 . . 3 (𝜑 → (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ):𝑉onto→(𝑉 / ))
159adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simprl 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑥𝑉)
172adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
1816, 17eleqtrd 2892 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑦𝑉)
2019, 17eleqtrd 2892 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2221, 11ringacl 19345 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2315, 18, 20, 22syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2423, 17eleqtrrd 2893 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
25 qusring2.e1 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) (𝑝 + 𝑞)))
264, 6, 3, 24, 25ercpbl 16834 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → ((((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑎) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑝) ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑏) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑞)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑝 + 𝑞))))
2721, 12ringcl 19328 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2815, 18, 20, 27syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2928, 17eleqtrrd 2893 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑉)
30 qusring2.e2 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) (𝑝 · 𝑞)))
314, 6, 3, 29, 30ercpbl 16834 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → ((((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑎) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑝) ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑏) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑞)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑝 · 𝑞))))
3210, 2, 11, 12, 13, 14, 26, 31, 9imasring 19386 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = (1r𝑈)))
334, 6, 3divsfval 16832 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = [ 1 ] )
3433eqcomd 2804 . . . 4 (𝜑 → [ 1 ] = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ))
3534eqeq1d 2800 . . 3 (𝜑 → ([ 1 ] = (1r𝑈) ↔ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = (1r𝑈)))
3635anbi2d 631 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] = (1r𝑈)) ↔ (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = (1r𝑈))))
3732, 36mpbird 260 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] = (1r𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3442   class class class wbr 5034   ↦ cmpt 5114  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   Er wer 8287  [cec 8288   / cqs 8289  Basecbs 16495  +gcplusg 16577  .rcmulr 16578   /s cqus 16790  1rcur 19265  Ringcrg 19311 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-ec 8292  df-qs 8296  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-fz 12906  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-0g 16727  df-imas 16793  df-qus 16794  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-mgp 19254  df-ur 19266  df-ring 19313 This theorem is referenced by:  qus1  20022
 Copyright terms: Public domain W3C validator