MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusring2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusring2 20277
Description: The quotient structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring2.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
qusring2.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
qusring2.p + = (+gโ€˜๐‘…)
qusring2.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
qusring2.o 1 = (1rโ€˜๐‘…)
qusring2.r (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
qusring2.e1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆผ (๐‘ + ๐‘ž)))
qusring2.e2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
qusring2.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
Assertion
Ref Expression
qusring2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ Ring โˆง [ 1 ] โˆผ = (1rโ€˜๐‘ˆ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ž,๐‘, +   1 ,๐‘,๐‘ž   ๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž,๐‘ˆ   ๐‘‰,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   โˆผ ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ยท ,๐‘,๐‘ž   ๐‘…,๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   + (๐‘Ž,๐‘)   ๐‘…(๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)   1 (๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem qusring2
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusring2.u . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
2 qusring2.v . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
3 eqid 2728 . . . 4 (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ ) = (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )
4 qusring2.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
5 fvex 6915 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V
62, 5eqeltrdi 2837 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ V)
7 erex 8755 . . . . 5 ( โˆผ Er ๐‘‰ โ†’ (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆผ โˆˆ V))
84, 6, 7sylc 65 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆผ โˆˆ V)
9 qusring2.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
101, 2, 3, 8, 9qusval 17531 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ ) โ€œs ๐‘…))
11 qusring2.p . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
12 qusring2.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
13 qusring2.o . . 3 1 = (1rโ€˜๐‘…)
141, 2, 3, 8, 9quslem 17532 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ ):๐‘‰โ€“ontoโ†’(๐‘‰ / โˆผ ))
159adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
16 simprl 769 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰)
172adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
1816, 17eleqtrd 2831 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
19 simprr 771 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)
2019, 17eleqtrd 2831 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
21 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
2221, 11ringacl 20221 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2315, 18, 20, 22syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2423, 17eleqtrrd 2832 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
25 qusring2.e1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆผ (๐‘ + ๐‘ž)))
264, 6, 3, 24, 25ercpbl 17538 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘Ž) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘) โˆง ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘ž)) โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜(๐‘Ž + ๐‘)) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜(๐‘ + ๐‘ž))))
2721, 12ringcl 20197 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2815, 18, 20, 27syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2928, 17eleqtrrd 2832 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
30 qusring2.e2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
314, 6, 3, 29, 30ercpbl 17538 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘Ž) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘) โˆง ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘ž)) โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
3210, 2, 11, 12, 13, 14, 26, 31, 9imasring 20273 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ Ring โˆง ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜ 1 ) = (1rโ€˜๐‘ˆ)))
334, 6, 3divsfval 17536 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜ 1 ) = [ 1 ] โˆผ )
3433eqcomd 2734 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ [ 1 ] โˆผ = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜ 1 ))
3534eqeq1d 2730 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ([ 1 ] โˆผ = (1rโ€˜๐‘ˆ) โ†” ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜ 1 ) = (1rโ€˜๐‘ˆ)))
3635anbi2d 628 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ โˆˆ Ring โˆง [ 1 ] โˆผ = (1rโ€˜๐‘ˆ)) โ†” (๐‘ˆ โˆˆ Ring โˆง ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜ 1 ) = (1rโ€˜๐‘ˆ))))
3732, 36mpbird 256 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ Ring โˆง [ 1 ] โˆผ = (1rโ€˜๐‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3473   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   Er wer 8728  [cec 8729   / cqs 8730  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  .rcmulr 17241   /s cqus 17494  1rcur 20128  Ringcrg 20180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-0g 17430  df-imas 17497  df-qus 17498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182
This theorem is referenced by:  qus1  21175
  Copyright terms: Public domain W3C validator