MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusring2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusring2 20054
Description: The quotient structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring2.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
qusring2.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
qusring2.p + = (+gโ€˜๐‘…)
qusring2.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
qusring2.o 1 = (1rโ€˜๐‘…)
qusring2.r (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
qusring2.e1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆผ (๐‘ + ๐‘ž)))
qusring2.e2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
qusring2.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
Assertion
Ref Expression
qusring2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ Ring โˆง [ 1 ] โˆผ = (1rโ€˜๐‘ˆ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ž,๐‘, +   1 ,๐‘,๐‘ž   ๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž,๐‘ˆ   ๐‘‰,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   โˆผ ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ยท ,๐‘,๐‘ž   ๐‘…,๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   + (๐‘Ž,๐‘)   ๐‘…(๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)   1 (๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem qusring2
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusring2.u . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
2 qusring2.v . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
3 eqid 2733 . . . 4 (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ ) = (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )
4 qusring2.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
5 fvex 6859 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V
62, 5eqeltrdi 2842 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ V)
7 erex 8678 . . . . 5 ( โˆผ Er ๐‘‰ โ†’ (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆผ โˆˆ V))
84, 6, 7sylc 65 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆผ โˆˆ V)
9 qusring2.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
101, 2, 3, 8, 9qusval 17432 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ ) โ€œs ๐‘…))
11 qusring2.p . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
12 qusring2.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
13 qusring2.o . . 3 1 = (1rโ€˜๐‘…)
141, 2, 3, 8, 9quslem 17433 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ ):๐‘‰โ€“ontoโ†’(๐‘‰ / โˆผ ))
159adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
16 simprl 770 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰)
172adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
1816, 17eleqtrd 2836 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
19 simprr 772 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)
2019, 17eleqtrd 2836 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
21 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
2221, 11ringacl 20007 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2315, 18, 20, 22syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2423, 17eleqtrrd 2837 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
25 qusring2.e1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆผ (๐‘ + ๐‘ž)))
264, 6, 3, 24, 25ercpbl 17439 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘Ž) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘) โˆง ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘ž)) โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜(๐‘Ž + ๐‘)) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜(๐‘ + ๐‘ž))))
2721, 12ringcl 19989 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2815, 18, 20, 27syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2928, 17eleqtrrd 2837 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
30 qusring2.e2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
314, 6, 3, 29, 30ercpbl 17439 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘Ž) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘) โˆง ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘ž)) โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
3210, 2, 11, 12, 13, 14, 26, 31, 9imasring 20053 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ Ring โˆง ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜ 1 ) = (1rโ€˜๐‘ˆ)))
334, 6, 3divsfval 17437 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜ 1 ) = [ 1 ] โˆผ )
3433eqcomd 2739 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ [ 1 ] โˆผ = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜ 1 ))
3534eqeq1d 2735 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ([ 1 ] โˆผ = (1rโ€˜๐‘ˆ) โ†” ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜ 1 ) = (1rโ€˜๐‘ˆ)))
3635anbi2d 630 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ โˆˆ Ring โˆง [ 1 ] โˆผ = (1rโ€˜๐‘ˆ)) โ†” (๐‘ˆ โˆˆ Ring โˆง ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜ 1 ) = (1rโ€˜๐‘ˆ))))
3732, 36mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ Ring โˆง [ 1 ] โˆผ = (1rโ€˜๐‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447   class class class wbr 5109   โ†ฆ cmpt 5192  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   Er wer 8651  [cec 8652   / cqs 8653  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142   /s cqus 17395  1rcur 19921  Ringcrg 19972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-ec 8656  df-qs 8660  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-0g 17331  df-imas 17398  df-qus 17399  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974
This theorem is referenced by:  qus1  20750
  Copyright terms: Public domain W3C validator