Theorem qusring2 20229

Description: The quotient structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusring2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
qusring2.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
qusring2.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
qusring2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
qusring2.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
qusring2.r	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑉)
qusring2.e1	⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) ∼ (𝑝 + 𝑞)))
qusring2.e2	⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) ∼ (𝑝 · 𝑞)))
qusring2.x	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
qusring2	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] ∼ = (1r‘𝑈)))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝, +   1 ,𝑝,𝑞   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑈   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   ∼ ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   1 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qusring2

Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusring2.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
2		qusring2.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ ) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )
4		qusring2.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑉)
5		fvex 6904	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
6	2, 5	eqeltrdi 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
7		erex 8733	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∼ ∈ V))
8	4, 6, 7	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
9		qusring2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	1, 2, 3, 8, 9	qusval 17495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ ) “s 𝑅))
11		qusring2.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12		qusring2.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13		qusring2.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14	1, 2, 3, 8, 9	quslem 17496	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ ):𝑉–onto→(𝑉 / ∼ ))
15	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
17	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
18	16, 17	eleqtrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
20	19, 17	eleqtrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22	21, 11	ringacl 20173	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
23	15, 18, 20, 22	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
24	23, 17	eleqtrrd 2835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
25		qusring2.e1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) ∼ (𝑝 + 𝑞)))
26	4, 6, 3, 24, 25	ercpbl 17502	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑎) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑝) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑏) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑞)) → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑝 + 𝑞))))
27	21, 12	ringcl 20151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
28	15, 18, 20, 27	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
29	28, 17	eleqtrrd 2835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑉)
30		qusring2.e2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) ∼ (𝑝 · 𝑞)))
31	4, 6, 3, 29, 30	ercpbl 17502	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑎) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑝) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑏) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑞)) → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑝 · 𝑞))))
32	10, 2, 11, 12, 13, 14, 26, 31, 9	imasring 20225	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ) = (1r‘𝑈)))
33	4, 6, 3	divsfval 17500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ) = [ 1 ] ∼ )
34	33	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [ 1 ] ∼ = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ))
35	34	eqeq1d 2733	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([ 1 ] ∼ = (1r‘𝑈) ↔ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ) = (1r‘𝑈)))
36	35	anbi2d 628	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] ∼ = (1r‘𝑈)) ↔ (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ) = (1r‘𝑈))))
37	32, 36	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] ∼ = (1r‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   Er wer 8706  [cec 8707   / cqs 8708  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  ._rcmulr 17205   /_s cqus 17458  1_rcur 20082  Ringcrg 20134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-0g 17394  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136

This theorem is referenced by:  qus1  21111