Theorem qusring2 20277

Description: The quotient structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusring2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
qusring2.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
qusring2.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
qusring2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
qusring2.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
qusring2.r	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑉)
qusring2.e1	⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) ∼ (𝑝 + 𝑞)))
qusring2.e2	⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) ∼ (𝑝 · 𝑞)))
qusring2.x	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
qusring2	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] ∼ = (1r‘𝑈)))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝, +   1 ,𝑝,𝑞   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑈   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   ∼ ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   1 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qusring2

Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusring2.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
2		qusring2.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ ) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )
4		qusring2.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑉)
5		fvex 6915	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
6	2, 5	eqeltrdi 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
7		erex 8755	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∼ ∈ V))
8	4, 6, 7	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
9		qusring2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	1, 2, 3, 8, 9	qusval 17531	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ ) “s 𝑅))
11		qusring2.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12		qusring2.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13		qusring2.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14	1, 2, 3, 8, 9	quslem 17532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ ):𝑉–onto→(𝑉 / ∼ ))
15	9	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
17	2	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
18	16, 17	eleqtrd 2831	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
20	19, 17	eleqtrd 2831	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22	21, 11	ringacl 20221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
23	15, 18, 20, 22	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
24	23, 17	eleqtrrd 2832	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
25		qusring2.e1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) ∼ (𝑝 + 𝑞)))
26	4, 6, 3, 24, 25	ercpbl 17538	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑎) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑝) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑏) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑞)) → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑝 + 𝑞))))
27	21, 12	ringcl 20197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
28	15, 18, 20, 27	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
29	28, 17	eleqtrrd 2832	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑉)
30		qusring2.e2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) ∼ (𝑝 · 𝑞)))
31	4, 6, 3, 29, 30	ercpbl 17538	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑎) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑝) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑏) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑞)) → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑝 · 𝑞))))
32	10, 2, 11, 12, 13, 14, 26, 31, 9	imasring 20273	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ) = (1r‘𝑈)))
33	4, 6, 3	divsfval 17536	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ) = [ 1 ] ∼ )
34	33	eqcomd 2734	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [ 1 ] ∼ = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ))
35	34	eqeq1d 2730	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([ 1 ] ∼ = (1r‘𝑈) ↔ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ) = (1r‘𝑈)))
36	35	anbi2d 628	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] ∼ = (1r‘𝑈)) ↔ (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 1 ) = (1r‘𝑈))))
37	32, 36	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] ∼ = (1r‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   Er wer 8728  [cec 8729   / cqs 8730  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  ._rcmulr 17241   /_s cqus 17494  1_rcur 20128  Ringcrg 20180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-0g 17430  df-imas 17497  df-qus 17498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182

This theorem is referenced by:  qus1  21175