MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusring2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusring2 20348
Description: The quotient structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring2.u (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
qusring2.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
qusring2.p + = (+g𝑅)
qusring2.t · = (.r𝑅)
qusring2.o 1 = (1r𝑅)
qusring2.r (𝜑 Er 𝑉)
qusring2.e1 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) (𝑝 + 𝑞)))
qusring2.e2 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) (𝑝 · 𝑞)))
qusring2.x (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
qusring2 (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] = (1r𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝, +   1 ,𝑝,𝑞   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑈   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   1 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qusring2
Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusring2.u . . . 4 (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
2 qusring2.v . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 eqid 2735 . . . 4 (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ) = (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )
4 qusring2.r . . . . 5 (𝜑 Er 𝑉)
5 fvex 6920 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
62, 5eqeltrdi 2847 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ V)
7 erex 8768 . . . . 5 ( Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∈ V))
84, 6, 7sylc 65 . . . 4 (𝜑 ∈ V)
9 qusring2.x . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
101, 2, 3, 8, 9qusval 17589 . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ) “s 𝑅))
11 qusring2.p . . 3 + = (+g𝑅)
12 qusring2.t . . 3 · = (.r𝑅)
13 qusring2.o . . 3 1 = (1r𝑅)
141, 2, 3, 8, 9quslem 17590 . . 3 (𝜑 → (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ):𝑉onto→(𝑉 / ))
159adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simprl 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑥𝑉)
172adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
1816, 17eleqtrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑦𝑉)
2019, 17eleqtrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2221, 11ringacl 20292 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2315, 18, 20, 22syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2423, 17eleqtrrd 2842 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
25 qusring2.e1 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) (𝑝 + 𝑞)))
264, 6, 3, 24, 25ercpbl 17596 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → ((((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑎) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑝) ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑏) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑞)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑝 + 𝑞))))
2721, 12ringcl 20268 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2815, 18, 20, 27syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2928, 17eleqtrrd 2842 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑉)
30 qusring2.e2 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) (𝑝 · 𝑞)))
314, 6, 3, 29, 30ercpbl 17596 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → ((((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑎) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑝) ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑏) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑞)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑝 · 𝑞))))
3210, 2, 11, 12, 13, 14, 26, 31, 9imasring 20344 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = (1r𝑈)))
334, 6, 3divsfval 17594 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = [ 1 ] )
3433eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑 → [ 1 ] = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ))
3534eqeq1d 2737 . . 3 (𝜑 → ([ 1 ] = (1r𝑈) ↔ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = (1r𝑈)))
3635anbi2d 630 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] = (1r𝑈)) ↔ (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = (1r𝑈))))
3732, 36mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] = (1r𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431   Er wer 8741  [cec 8742   / cqs 8743  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299   /s cqus 17552  1rcur 20199  Ringcrg 20251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253
This theorem is referenced by:  qus1  21302
  Copyright terms: Public domain W3C validator