Theorem deg1addlt 33681

Description: If both factors have degree bounded by 𝐿, then the sum of the polynomials also has degree bounded by 𝐿. See also deg1addle 26082. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addlt.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addlt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1addlt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1addlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1addlt.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
deg1addlt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1addlt.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1addlt.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
deg1addlt.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) < 𝐿)
deg1addlt.2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) < 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
deg1addlt	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) < 𝐿)

Proof of Theorem deg1addlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1addlt.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1addlt.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22227	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
5		deg1addlt.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		deg1addlt.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
7		deg1addlt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8		deg1addlt.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑌)
9	7, 8	ringacl 20256	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
11		deg1addlt.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
12	11, 2, 7	deg1xrcl 26063	. . 3 ⊢ ((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
13	10, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
14	11, 2, 7	deg1xrcl 26063	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
15	6, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
16	11, 2, 7	deg1xrcl 26063	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
17	5, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
18	15, 17	ifcld 4514	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ*)
19		deg1addlt.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
20	2, 11, 1, 7, 8, 5, 6	deg1addle 26082	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
21		deg1addlt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) < 𝐿)
22		deg1addlt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) < 𝐿)
23		xrmaxlt 13130	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ 𝐿 ∈ ℝ*) → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < 𝐿 ↔ ((𝐷‘𝐹) < 𝐿 ∧ (𝐷‘𝐺) < 𝐿)))
24	17, 15, 19, 23	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < 𝐿 ↔ ((𝐷‘𝐹) < 𝐿 ∧ (𝐷‘𝐺) < 𝐿)))
25	21, 22, 24	mpbir2and 714	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < 𝐿)
26	13, 18, 19, 20, 25	xrlelttrd 13108	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) < 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   class class class wbr 5086  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  ℝ^*cxr 11175   < clt 11176   ≤ cle 11177  Basecbs 17176  +_gcplusg 17217  Ringcrg 20211  Poly₁cpl1 22156  deg₁cdg1 26035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-pre-sup 11113  ax-addf 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-of 7628  df-ofr 7629  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9860  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-z 12522  df-dec 12642  df-uz 12786  df-fz 13459  df-fzo 13606  df-seq 13961  df-hash 14290  df-struct 17114  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-mulr 17231  df-starv 17232  df-sca 17233  df-vsca 17234  df-ip 17235  df-tset 17236  df-ple 17237  df-ds 17239  df-unif 17240  df-hom 17241  df-cco 17242  df-0g 17401  df-gsum 17402  df-prds 17407  df-pws 17409  df-mre 17545  df-mrc 17546  df-acs 17548  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18748  df-submnd 18749  df-grp 18909  df-minusg 18910  df-mulg 19041  df-subg 19096  df-ghm 19185  df-cntz 19289  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20119  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-cring 20214  df-subrng 20520  df-subrg 20544  df-cnfld 21351  df-psr 21905  df-mpl 21907  df-opsr 21909  df-psr1 22159  df-ply1 22161  df-mdeg 26036  df-deg1 26037

This theorem is referenced by:  q1pdir  33684  rtelextdg2lem  33892