Theorem deg1addlt 33997

Description: If both factors have degree bounded by 𝐿, then the sum of the polynomials also has degree bounded by 𝐿. See also deg1addle 26328. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addlt.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addlt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1addlt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1addlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1addlt.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
deg1addlt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1addlt.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1addlt.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
deg1addlt.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) < 𝐿)
deg1addlt.2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) < 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
deg1addlt	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) < 𝐿)

Proof of Theorem deg1addlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1addlt.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1addlt.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22473	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
5		deg1addlt.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		deg1addlt.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
7		deg1addlt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8		deg1addlt.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑌)
9	7, 8	ringacl 20420	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
11		deg1addlt.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
12	11, 2, 7	deg1xrcl 26309	. . 3 ⊢ ((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
13	10, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
14	11, 2, 7	deg1xrcl 26309	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
15	6, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
16	11, 2, 7	deg1xrcl 26309	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
17	5, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
18	15, 17	ifcld 4532	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ*)
19		deg1addlt.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
20	2, 11, 1, 7, 8, 5, 6	deg1addle 26328	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
21		deg1addlt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) < 𝐿)
22		deg1addlt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) < 𝐿)
23		xrmaxlt 13235	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ 𝐿 ∈ ℝ*) → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < 𝐿 ↔ ((𝐷‘𝐹) < 𝐿 ∧ (𝐷‘𝐺) < 𝐿)))
24	17, 15, 19, 23	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < 𝐿 ↔ ((𝐷‘𝐹) < 𝐿 ∧ (𝐷‘𝐺) < 𝐿)))
25	21, 22, 24	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < 𝐿)
26	13, 18, 19, 20, 25	xrlelttrd 13213	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) < 𝐿)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4485   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  Ringcrg 20373  Poly₁cpl1 22403  deg₁cdg1 26281

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-cnfld 21587  df-psr 22125  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-ply1 22408  df-mdeg 26282  df-deg1 26283

This theorem is used by:  q1pdir  34000  rtelextdg2lem  34223