MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issrngd 20363
Description: Properties that determine a star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issrngd.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…))
issrngd.p (๐œ‘ โ†’ + = (+gโ€˜๐‘…))
issrngd.t (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
issrngd.c (๐œ‘ โ†’ โˆ— = (*๐‘Ÿโ€˜๐‘…))
issrngd.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
issrngd.cl ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐พ) โ†’ ( โˆ— โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐พ)
issrngd.dp ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ) โ†’ ( โˆ— โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = (( โˆ— โ€˜๐‘ฅ) + ( โˆ— โ€˜๐‘ฆ)))
issrngd.dt ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ) โ†’ ( โˆ— โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = (( โˆ— โ€˜๐‘ฆ) ยท ( โˆ— โ€˜๐‘ฅ)))
issrngd.id ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐พ) โ†’ ( โˆ— โ€˜( โˆ— โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ)
Assertion
Ref Expression
issrngd (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ *-Ring)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐พ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   + (๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ)   โˆ— (๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem issrngd
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
2 eqid 2733 . . 3 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
3 eqid 2733 . . . 4 (opprโ€˜๐‘…) = (opprโ€˜๐‘…)
43, 2oppr1 20071 . . 3 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
5 eqid 2733 . . 3 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
6 eqid 2733 . . 3 (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
7 issrngd.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
83opprring 20068 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
97, 8syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
10 id 22 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (1rโ€˜๐‘…) โ†’ ๐‘ฅ = (1rโ€˜๐‘…))
11 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (1rโ€˜๐‘…) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))
1211fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (1rโ€˜๐‘…) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))))
1310, 12eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (1rโ€˜๐‘…) โ†’ (๐‘ฅ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (1rโ€˜๐‘…) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))))
14 issrngd.id . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐พ) โ†’ ( โˆ— โ€˜( โˆ— โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ)
1514ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†’ ( โˆ— โ€˜( โˆ— โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ))
16 issrngd.k . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…))
1716eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
18 issrngd.c . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ โˆ— = (*๐‘Ÿโ€˜๐‘…))
1918fveq1d 6848 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ( โˆ— โ€˜๐‘ฅ) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ))
2018, 19fveq12d 6853 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ( โˆ— โ€˜( โˆ— โ€˜๐‘ฅ)) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)))
2120eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (( โˆ— โ€˜( โˆ— โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ โ†” ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ))
2215, 17, 213imtr3d 293 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ))
2322imp 408 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ)
2423eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ๐‘ฅ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)))
2524ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘ฅ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)))
261, 2ringidcl 19997 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
277, 26syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2813, 25, 27rspcdva 3584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐‘…) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))))
2928oveq1d 7376 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))))
3011eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (1rโ€˜๐‘…) โ†’ (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†” ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
31 issrngd.cl . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐พ) โ†’ ( โˆ— โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐พ)
3231ex 414 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†’ ( โˆ— โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐พ))
3319, 16eleq12d 2828 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (( โˆ— โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐พ โ†” ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
3432, 17, 333imtr3d 293 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
3534ralrimiv 3139 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
3630, 35, 27rspcdva 3584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
37 issrngd.dt . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ) โ†’ ( โˆ— โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = (( โˆ— โ€˜๐‘ฆ) ยท ( โˆ— โ€˜๐‘ฅ)))
38373expib 1123 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ) โ†’ ( โˆ— โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = (( โˆ— โ€˜๐‘ฆ) ยท ( โˆ— โ€˜๐‘ฅ))))
3916eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
4017, 39anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))))
41 issrngd.t . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
4241oveqd 7378 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ))
4318, 42fveq12d 6853 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ( โˆ— โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)))
4418fveq1d 6848 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ( โˆ— โ€˜๐‘ฆ) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ))
4541, 44, 19oveq123d 7382 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (( โˆ— โ€˜๐‘ฆ) ยท ( โˆ— โ€˜๐‘ฅ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)))
4643, 45eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (( โˆ— โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = (( โˆ— โ€˜๐‘ฆ) ยท ( โˆ— โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ))))
4738, 40, 463imtr3d 293 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ))))
4847ralrimivv 3192 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)))
49 fvoveq1 7384 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (1rโ€˜๐‘…) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)))
5011oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (1rโ€˜๐‘…) โ†’ (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))))
5149, 50eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (1rโ€˜๐‘…) โ†’ (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))))
52 oveq2 7369 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))))
5352fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))))
54 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))))
5554oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) โ†’ (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))))
5653, 55eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) โ†’ (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))) โ†” ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))))
5751, 56rspc2va 3593 . . . . . . 7 ((((1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))))
5827, 36, 48, 57syl21anc 837 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))))
5929, 58eqtr4d 2776 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))))
601, 5, 2ringlidm 20000 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))
617, 36, 60syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))
6261fveq2d 6850 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))))
6359, 61, 623eqtr3d 2781 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))))
64 eqid 2733 . . . . . 6 (*๐‘Ÿโ€˜๐‘…) = (*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)
65 eqid 2733 . . . . . 6 (*rfโ€˜๐‘…) = (*rfโ€˜๐‘…)
661, 64, 65stafval 20350 . . . . 5 ((1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))
6727, 66syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))
6863, 67, 283eqtr4d 2783 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) = (1rโ€˜๐‘…))
6947imp 408 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)))
701, 5, 3, 6opprmul 20060 . . . . 5 (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ))
7169, 70eqtr4di 2791 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)))
721, 5ringcl 19989 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
73723expb 1121 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
747, 73sylan 581 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
751, 64, 65stafval 20350 . . . . 5 ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)))
7674, 75syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)))
771, 64, 65stafval 20350 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ))
781, 64, 65stafval 20350 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ))
7977, 78oveqan12d 7380 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)))
8079adantl 483 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)))
8171, 76, 803eqtr4d 2783 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)))
823, 1opprbas 20064 . . 3 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
83 eqid 2733 . . 3 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
843, 83oppradd 20066 . . 3 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
8534imp 408 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
861, 64, 65staffval 20349 . . . 4 (*rfโ€˜๐‘…) = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†ฆ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ))
8785, 86fmptd 7066 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (*rfโ€˜๐‘…):(Baseโ€˜๐‘…)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
88 issrngd.dp . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ) โ†’ ( โˆ— โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = (( โˆ— โ€˜๐‘ฅ) + ( โˆ— โ€˜๐‘ฆ)))
89883expib 1123 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ) โ†’ ( โˆ— โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = (( โˆ— โ€˜๐‘ฅ) + ( โˆ— โ€˜๐‘ฆ))))
90 issrngd.p . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ + = (+gโ€˜๐‘…))
9190oveqd 7378 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ))
9218, 91fveq12d 6853 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ( โˆ— โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)))
9390, 19, 44oveq123d 7382 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (( โˆ— โ€˜๐‘ฅ) + ( โˆ— โ€˜๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)))
9492, 93eqeq12d 2749 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (( โˆ— โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = (( โˆ— โ€˜๐‘ฅ) + ( โˆ— โ€˜๐‘ฆ)) โ†” ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ))))
9589, 40, 943imtr3d 293 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ))))
9695imp 408 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)))
971, 83ringacl 20007 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
98973expb 1121 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
997, 98sylan 581 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1001, 64, 65stafval 20350 . . . . 5 ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)))
10199, 100syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)))
10277, 78oveqan12d 7380 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)))
103102adantl 483 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)) = (((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)))
10496, 101, 1033eqtr4d 2783 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)))
1051, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 68, 81, 82, 83, 84, 87, 104isrhmd 20171 . 2 (๐œ‘ โ†’ (*rfโ€˜๐‘…) โˆˆ (๐‘… RingHom (opprโ€˜๐‘…)))
1061, 64, 65staffval 20349 . . 3 (*rfโ€˜๐‘…) = (๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†ฆ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ))
107106fmpt 7062 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†” (*rfโ€˜๐‘…):(Baseโ€˜๐‘…)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
10887, 107sylibr 233 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
109108r19.21bi 3233 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
110 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
111 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ))
112111fveq2d 6850 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)))
113110, 112eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ๐‘ฆ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ))))
114113rspccva 3582 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘ฅ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ๐‘ฆ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)))
11525, 114sylan 581 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ๐‘ฆ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)))
116115adantrl 715 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ๐‘ฆ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)))
117 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)))
118117eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘ฆ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ))))
119116, 118syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ฅ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฆ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)))
12024adantrr 716 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ๐‘ฅ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)))
121 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ) = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)))
122121eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ))))
123120, 122syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ฆ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)))
124119, 123impbid 211 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ฅ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฆ = ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)))
12586, 85, 109, 124f1ocnv2d 7610 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…):(Baseโ€˜๐‘…)โ€“1-1-ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘…) โˆง โ—ก(*rfโ€˜๐‘…) = (๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†ฆ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ))))
126125simprd 497 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โ—ก(*rfโ€˜๐‘…) = (๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†ฆ ((*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฆ)))
127106, 126eqtr4id 2792 . 2 (๐œ‘ โ†’ (*rfโ€˜๐‘…) = โ—ก(*rfโ€˜๐‘…))
1283, 65issrng 20352 . 2 (๐‘… โˆˆ *-Ring โ†” ((*rfโ€˜๐‘…) โˆˆ (๐‘… RingHom (opprโ€˜๐‘…)) โˆง (*rfโ€˜๐‘…) = โ—ก(*rfโ€˜๐‘…)))
129105, 127, 128sylanbrc 584 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ *-Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061   โ†ฆ cmpt 5192  โ—กccnv 5636  โŸถwf 6496  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6499  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  *๐‘Ÿcstv 17143  1rcur 19921  Ringcrg 19972  opprcoppr 20056   RingHom crh 20153  *rfcstf 20345  *-Ringcsr 20346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-ghm 19014  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-rnghom 20156  df-staf 20347  df-srng 20348
This theorem is referenced by:  idsrngd  20364  cnsrng  20854  hlhilsrnglem  40470
  Copyright terms: Public domain W3C validator