Theorem mat1ghm 22368

Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1rhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
mat1rhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})

Assertion

Ref	Expression
mat1ghm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝐸   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem mat1ghm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1rhmval.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		mat1rhmval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		eqid 2729	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2729	. 2 ⊢ (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴)
5		ringgrp 20123	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
7		snfi 8968	. . 3 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
8		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
9		mat1rhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
10	9	matgrp 22315	. . 3 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
11	7, 8, 10	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Grp)
12		mat1rhmval.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
13		mat1rhmval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
14	1, 9, 2, 12, 13	mat1f 22367	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾⟶𝐵)
15	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝐸 ∈ 𝑉)
18		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑤 ∈ 𝐾)
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑤 ∈ 𝐾)
20	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 22365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) = 𝑤)
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) = 𝑤)
22		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑦 ∈ 𝐾)
23	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐾)
24	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 22365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) = 𝑦)
25	15, 17, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) = 𝑦)
26	21, 25	oveq12d 7367	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(+g‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)) = (𝑤(+g‘𝑅)𝑦))
27	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 22366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
28	15, 17, 19, 27	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
29	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 22366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
30	15, 17, 23, 29	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
31		snidg 4612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ {𝐸})
32	31, 31	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
33	32	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
35	9, 2, 4, 3	matplusgcell 22318	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵) ∧ (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸})) → (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(+g‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)))
36	28, 30, 34, 35	syl21anc 837	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(+g‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)))
37	1, 3	ringacl 20163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
38	15, 19, 23, 37	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
39	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 22365	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g‘𝑅)𝑦))
40	15, 17, 38, 39	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g‘𝑅)𝑦))
41	26, 36, 40	3eqtr4rd 2775	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸))
42		oveq1 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗))
43		oveq1 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗))
44	42, 43	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → ((𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
45		oveq2 7357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸))
46		oveq2 7357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸))
47	45, 46	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
48	44, 47	2ralsng 4630	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
49	16, 16, 48	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
50	49	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
51	41, 50	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗))
52	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 22366	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
53	15, 17, 38, 52	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
54	9	matring 22328	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
55	7, 8, 54	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
56	55	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝐴 ∈ Ring)
57	2, 4	ringacl 20163	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵)
58	56, 28, 30, 57	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵)
59	9, 2	eqmat 22309	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
60	53, 58, 59	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
61	51, 60	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)))
62	1, 2, 3, 4, 6, 11, 14, 61	isghmd 19104	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {csn 4577  ⟨cop 4583   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Fincfn 8872  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Grpcgrp 18812   GrpHom cghm 19091  Ringcrg 20118   Mat cmat 22292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-subrg 20455  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-dsmm 21639  df-frlm 21654  df-mamu 22276  df-mat 22293

This theorem is referenced by:  mat1rhm  22370