MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1ghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1ghm 22398
Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1rhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
mat1rhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
Assertion
Ref Expression
mat1ghm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝐸   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem mat1ghm
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1rhmval.k . 2 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 mat1rhmval.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 eqid 2728 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2728 . 2 (+g𝐴) = (+g𝐴)
5 ringgrp 20178 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
65adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
7 snfi 9069 . . 3 {𝐸} ∈ Fin
8 simpl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
9 mat1rhmval.a . . . 4 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
109matgrp 22345 . . 3 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
117, 8, 10sylancr 586 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ Grp)
12 mat1rhmval.o . . 3 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
13 mat1rhmval.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
141, 9, 2, 12, 13mat1f 22397 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹:𝐾𝐵)
158adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸𝑉)
1716adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝐸𝑉)
18 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑤𝐾𝑦𝐾) → 𝑤𝐾)
1918adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑤𝐾)
201, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 22395 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑤𝐾) → (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) = 𝑤)
2115, 17, 19, 20syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) = 𝑤)
22 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑤𝐾𝑦𝐾) → 𝑦𝐾)
2322adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑦𝐾)
241, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 22395 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑦𝐾) → (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) = 𝑦)
2515, 17, 23, 24syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) = 𝑦)
2621, 25oveq12d 7438 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(+g𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)) = (𝑤(+g𝑅)𝑦))
271, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 22396 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
2815, 17, 19, 27syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
291, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 22396 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
3015, 17, 23, 29syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
31 snidg 4663 . . . . . . . . 9 (𝐸𝑉𝐸 ∈ {𝐸})
3231, 31jca 511 . . . . . . . 8 (𝐸𝑉 → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
3332adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
3433adantr 480 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
359, 2, 4, 3matplusgcell 22348 . . . . . 6 ((((𝐹𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) ∧ (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸})) → (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(+g𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)))
3628, 30, 34, 35syl21anc 837 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(+g𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)))
371, 3ringacl 20214 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤𝐾𝑦𝐾) → (𝑤(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
3815, 19, 23, 37syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝑤(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
391, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 22395 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉 ∧ (𝑤(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g𝑅)𝑦))
4015, 17, 38, 39syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g𝑅)𝑦))
4126, 36, 403eqtr4rd 2779 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸))
42 oveq1 7427 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗))
43 oveq1 7427 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗))
4442, 43eqeq12d 2744 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐸 → ((𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
45 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐸 → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸))
46 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐸 → (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸))
4745, 46eqeq12d 2744 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
4844, 472ralsng 4681 . . . . . 6 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
4916, 16, 48syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
5049adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
5141, 50mpbird 257 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗))
521, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 22396 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉 ∧ (𝑤(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
5315, 17, 38, 52syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
549matring 22358 . . . . . . 7 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
557, 8, 54sylancr 586 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
5655adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝐴 ∈ Ring)
572, 4ringacl 20214 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
5856, 28, 30, 57syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
599, 2eqmat 22339 . . . 4 (((𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
6053, 58, 59syl2anc 583 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
6151, 60mpbird 257 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)))
621, 2, 3, 4, 6, 11, 14, 61isghmd 19179 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  {csn 4629  cop 4635  cmpt 5231  cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  Grpcgrp 18890   GrpHom cghm 19167  Ringcrg 20173   Mat cmat 22320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-dsmm 21666  df-frlm 21681  df-mamu 22299  df-mat 22321
This theorem is referenced by:  mat1rhm  22400
  Copyright terms: Public domain W3C validator