Theorem mat1ghm 22798

Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1rhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
mat1rhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})

Assertion

Ref	Expression
mat1ghm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝐸   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem mat1ghm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1rhmval.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		mat1rhmval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2760	. 2 ⊢ (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴)
5		ringgrp 20464	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6	5	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
7		snfi 9071	. . 3 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
8		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
9		mat1rhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
10	9	matgrp 22745	. . 3 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
11	7, 8, 10	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Grp)
12		mat1rhmval.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
13		mat1rhmval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
14	1, 9, 2, 12, 13	mat1f 22797	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾⟶𝐵)
15	8	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝐸 ∈ 𝑉)
18		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑤 ∈ 𝐾)
19	18	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑤 ∈ 𝐾)
20	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 22795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) = 𝑤)
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) = 𝑤)
22		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑦 ∈ 𝐾)
23	22	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐾)
24	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 22795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) = 𝑦)
25	15, 17, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) = 𝑦)
26	21, 25	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(+g‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)) = (𝑤(+g‘𝑅)𝑦))
27	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 22796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
28	15, 17, 19, 27	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
29	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 22796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
30	15, 17, 23, 29	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
31		snidg 4620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ {𝐸})
32	31, 31	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
33	32	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
34	33	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
35	9, 2, 4, 3	matplusgcell 22748	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵) ∧ (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸})) → (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(+g‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)))
36	28, 30, 34, 35	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(+g‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)))
37	1, 3	ringacl 20507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
38	15, 19, 23, 37	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
39	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 22795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g‘𝑅)𝑦))
40	15, 17, 38, 39	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g‘𝑅)𝑦))
41	26, 36, 40	3eqtr4rd 2806	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸))
42		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗))
43		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗))
44	42, 43	eqeq12d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → ((𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
45		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸))
46		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸))
47	45, 46	eqeq12d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
48	44, 47	2ralsng 4638	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
49	16, 16, 48	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
50	49	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
51	41, 50	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗))
52	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 22796	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
53	15, 17, 38, 52	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
54	9	matring 22758	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
55	7, 8, 54	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
56	55	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝐴 ∈ Ring)
57	2, 4	ringacl 20507	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵)
58	56, 28, 30, 57	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵)
59	9, 2	eqmat 22739	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
60	53, 58, 59	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
61	51, 60	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)))
62	1, 2, 3, 4, 6, 11, 14, 61	isghmd 19439	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {csn 4583  ⟨cop 4589   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Grpcgrp 19144   GrpHom cghm 19427  Ringcrg 20459   Mat cmat 22722

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-dsmm 22038  df-frlm 22053  df-mamu 22706  df-mat 22723

This theorem is used by:  mat1rhm  22800