MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1ghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1ghm 20705
Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1rhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
mat1rhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
Assertion
Ref Expression
mat1ghm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝐸   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem mat1ghm
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1rhmval.k . 2 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 mat1rhmval.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 eqid 2778 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2778 . 2 (+g𝐴) = (+g𝐴)
5 ringgrp 18950 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
65adantr 474 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
7 snfi 8328 . . 3 {𝐸} ∈ Fin
8 simpl 476 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
9 mat1rhmval.a . . . 4 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
109matgrp 20651 . . 3 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
117, 8, 10sylancr 581 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ Grp)
12 mat1rhmval.o . . 3 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
13 mat1rhmval.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
141, 9, 2, 12, 13mat1f 20704 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹:𝐾𝐵)
158adantr 474 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸𝑉)
1716adantr 474 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝐸𝑉)
18 simpl 476 . . . . . . . 8 ((𝑤𝐾𝑦𝐾) → 𝑤𝐾)
1918adantl 475 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑤𝐾)
201, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 20702 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑤𝐾) → (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) = 𝑤)
2115, 17, 19, 20syl3anc 1439 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) = 𝑤)
22 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝑤𝐾𝑦𝐾) → 𝑦𝐾)
2322adantl 475 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑦𝐾)
241, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 20702 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑦𝐾) → (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) = 𝑦)
2515, 17, 23, 24syl3anc 1439 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) = 𝑦)
2621, 25oveq12d 6942 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(+g𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)) = (𝑤(+g𝑅)𝑦))
271, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 20703 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
2815, 17, 19, 27syl3anc 1439 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
291, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 20703 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
3015, 17, 23, 29syl3anc 1439 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
31 snidg 4428 . . . . . . . . 9 (𝐸𝑉𝐸 ∈ {𝐸})
3231, 31jca 507 . . . . . . . 8 (𝐸𝑉 → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
3332adantl 475 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
3433adantr 474 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
359, 2, 4, 3matplusgcell 20654 . . . . . 6 ((((𝐹𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) ∧ (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸})) → (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(+g𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)))
3628, 30, 34, 35syl21anc 828 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(+g𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)))
371, 3ringacl 18976 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤𝐾𝑦𝐾) → (𝑤(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
3815, 19, 23, 37syl3anc 1439 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝑤(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
391, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 20702 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉 ∧ (𝑤(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g𝑅)𝑦))
4015, 17, 38, 39syl3anc 1439 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g𝑅)𝑦))
4126, 36, 403eqtr4rd 2825 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸))
42 oveq1 6931 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗))
43 oveq1 6931 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗))
4442, 43eqeq12d 2793 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐸 → ((𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
45 oveq2 6932 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐸 → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸))
46 oveq2 6932 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐸 → (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸))
4745, 46eqeq12d 2793 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
4844, 472ralsng 4447 . . . . . 6 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
4916, 16, 48syl2anc 579 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
5049adantr 474 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
5141, 50mpbird 249 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗))
521, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 20703 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉 ∧ (𝑤(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
5315, 17, 38, 52syl3anc 1439 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
549matring 20664 . . . . . . 7 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
557, 8, 54sylancr 581 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
5655adantr 474 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝐴 ∈ Ring)
572, 4ringacl 18976 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
5856, 28, 30, 57syl3anc 1439 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
599, 2eqmat 20645 . . . 4 (((𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
6053, 58, 59syl2anc 579 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
6151, 60mpbird 249 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)))
621, 2, 3, 4, 6, 11, 14, 61isghmd 18064 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  {csn 4398  cop 4404  cmpt 4967  cfv 6137  (class class class)co 6924  Fincfn 8243  Basecbs 16266  +gcplusg 16349  Grpcgrp 17820   GrpHom cghm 18052  Ringcrg 18945   Mat cmat 20628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-sup 8638  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-seq 13125  df-hash 13442  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-hom 16373  df-cco 16374  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-prds 16505  df-pws 16507  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-mhm 17732  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-mulg 17939  df-subg 17986  df-ghm 18053  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-abl 18593  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-subrg 19181  df-lmod 19268  df-lss 19336  df-sra 19580  df-rgmod 19581  df-dsmm 20486  df-frlm 20501  df-mamu 20605  df-mat 20629
This theorem is referenced by:  mat1rhm  20707
  Copyright terms: Public domain W3C validator