MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1ghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1ghm 21068
Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1rhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
mat1rhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
Assertion
Ref Expression
mat1ghm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝐸   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem mat1ghm
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1rhmval.k . 2 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 mat1rhmval.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 eqid 2821 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2821 . 2 (+g𝐴) = (+g𝐴)
5 ringgrp 19281 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
65adantr 484 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
7 snfi 8569 . . 3 {𝐸} ∈ Fin
8 simpl 486 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
9 mat1rhmval.a . . . 4 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
109matgrp 21015 . . 3 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
117, 8, 10sylancr 590 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ Grp)
12 mat1rhmval.o . . 3 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
13 mat1rhmval.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
141, 9, 2, 12, 13mat1f 21067 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹:𝐾𝐵)
158adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸𝑉)
1716adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝐸𝑉)
18 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝑤𝐾𝑦𝐾) → 𝑤𝐾)
1918adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑤𝐾)
201, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 21065 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑤𝐾) → (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) = 𝑤)
2115, 17, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) = 𝑤)
22 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑤𝐾𝑦𝐾) → 𝑦𝐾)
2322adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑦𝐾)
241, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 21065 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑦𝐾) → (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) = 𝑦)
2515, 17, 23, 24syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) = 𝑦)
2621, 25oveq12d 7148 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(+g𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)) = (𝑤(+g𝑅)𝑦))
271, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 21066 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
2815, 17, 19, 27syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
291, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 21066 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
3015, 17, 23, 29syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
31 snidg 4572 . . . . . . . . 9 (𝐸𝑉𝐸 ∈ {𝐸})
3231, 31jca 515 . . . . . . . 8 (𝐸𝑉 → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
3332adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
3433adantr 484 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
359, 2, 4, 3matplusgcell 21018 . . . . . 6 ((((𝐹𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) ∧ (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸})) → (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(+g𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)))
3628, 30, 34, 35syl21anc 836 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(+g𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)))
371, 3ringacl 19307 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤𝐾𝑦𝐾) → (𝑤(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
3815, 19, 23, 37syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝑤(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
391, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 21065 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉 ∧ (𝑤(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g𝑅)𝑦))
4015, 17, 38, 39syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g𝑅)𝑦))
4126, 36, 403eqtr4rd 2867 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸))
42 oveq1 7137 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗))
43 oveq1 7137 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗))
4442, 43eqeq12d 2837 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐸 → ((𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
45 oveq2 7138 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐸 → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸))
46 oveq2 7138 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐸 → (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸))
4745, 46eqeq12d 2837 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
4844, 472ralsng 4589 . . . . . 6 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
4916, 16, 48syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
5049adantr 484 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
5141, 50mpbird 260 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗))
521, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 21066 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉 ∧ (𝑤(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
5315, 17, 38, 52syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
549matring 21028 . . . . . . 7 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
557, 8, 54sylancr 590 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
5655adantr 484 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝐴 ∈ Ring)
572, 4ringacl 19307 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
5856, 28, 30, 57syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
599, 2eqmat 21009 . . . 4 (((𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
6053, 58, 59syl2anc 587 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
6151, 60mpbird 260 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)))
621, 2, 3, 4, 6, 11, 14, 61isghmd 18346 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3126  {csn 4540  cop 4546  cmpt 5119  cfv 6328  (class class class)co 7130  Fincfn 8484  Basecbs 16462  +gcplusg 16544  Grpcgrp 18082   GrpHom cghm 18334  Ringcrg 19276   Mat cmat 20992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-ot 4549  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-sup 8882  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-hash 13675  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-hom 16568  df-cco 16569  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-prds 16700  df-pws 16702  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-mhm 17935  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-mulg 18204  df-subg 18255  df-ghm 18335  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-sra 19920  df-rgmod 19921  df-dsmm 20852  df-frlm 20867  df-mamu 20971  df-mat 20993
This theorem is referenced by:  mat1rhm  21070
  Copyright terms: Public domain W3C validator