Theorem mat1ghm 22505

Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1rhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
mat1rhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})

Assertion

Ref	Expression
mat1ghm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝐸   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem mat1ghm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1rhmval.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		mat1rhmval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		eqid 2735	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2735	. 2 ⊢ (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴)
5		ringgrp 20256	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
7		snfi 9082	. . 3 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
8		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
9		mat1rhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
10	9	matgrp 22452	. . 3 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
11	7, 8, 10	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Grp)
12		mat1rhmval.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
13		mat1rhmval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
14	1, 9, 2, 12, 13	mat1f 22504	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾⟶𝐵)
15	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝐸 ∈ 𝑉)
18		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑤 ∈ 𝐾)
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑤 ∈ 𝐾)
20	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 22502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) = 𝑤)
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) = 𝑤)
22		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑦 ∈ 𝐾)
23	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐾)
24	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 22502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) = 𝑦)
25	15, 17, 23, 24	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) = 𝑦)
26	21, 25	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(+g‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)) = (𝑤(+g‘𝑅)𝑦))
27	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 22503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
28	15, 17, 19, 27	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
29	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 22503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
30	15, 17, 23, 29	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
31		snidg 4665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ {𝐸})
32	31, 31	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
33	32	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
35	9, 2, 4, 3	matplusgcell 22455	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵) ∧ (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸})) → (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(+g‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)))
36	28, 30, 34, 35	syl21anc 838	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(+g‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)))
37	1, 3	ringacl 20292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
38	15, 19, 23, 37	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
39	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 22502	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g‘𝑅)𝑦))
40	15, 17, 38, 39	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g‘𝑅)𝑦))
41	26, 36, 40	3eqtr4rd 2786	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸))
42		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗))
43		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗))
44	42, 43	eqeq12d 2751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → ((𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
45		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸))
46		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸))
47	45, 46	eqeq12d 2751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
48	44, 47	2ralsng 4683	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
49	16, 16, 48	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
50	49	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
51	41, 50	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗))
52	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 22503	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
53	15, 17, 38, 52	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
54	9	matring 22465	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
55	7, 8, 54	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
56	55	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝐴 ∈ Ring)
57	2, 4	ringacl 20292	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵)
58	56, 28, 30, 57	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵)
59	9, 2	eqmat 22446	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
60	53, 58, 59	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
61	51, 60	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)))
62	1, 2, 3, 4, 6, 11, 14, 61	isghmd 19256	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {csn 4631  ⟨cop 4637   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Grpcgrp 18964   GrpHom cghm 19243  Ringcrg 20251   Mat cmat 22427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mamu 22411  df-mat 22428

This theorem is referenced by:  mat1rhm  22507