Theorem mat1ghm 22462

Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1rhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
mat1rhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})

Assertion

Ref	Expression
mat1ghm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝐸   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem mat1ghm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1rhmval.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		mat1rhmval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴)
5		ringgrp 20214	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
7		snfi 8985	. . 3 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
8		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
9		mat1rhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
10	9	matgrp 22409	. . 3 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
11	7, 8, 10	sylancr 588	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Grp)
12		mat1rhmval.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
13		mat1rhmval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
14	1, 9, 2, 12, 13	mat1f 22461	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾⟶𝐵)
15	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝐸 ∈ 𝑉)
18		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑤 ∈ 𝐾)
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑤 ∈ 𝐾)
20	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 22459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) = 𝑤)
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) = 𝑤)
22		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑦 ∈ 𝐾)
23	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐾)
24	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 22459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) = 𝑦)
25	15, 17, 23, 24	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) = 𝑦)
26	21, 25	oveq12d 7380	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(+g‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)) = (𝑤(+g‘𝑅)𝑦))
27	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 22460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
28	15, 17, 19, 27	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
29	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 22460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
30	15, 17, 23, 29	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
31		snidg 4605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ {𝐸})
32	31, 31	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
33	32	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
35	9, 2, 4, 3	matplusgcell 22412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵) ∧ (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸})) → (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(+g‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)))
36	28, 30, 34, 35	syl21anc 838	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(+g‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)))
37	1, 3	ringacl 20254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
38	15, 19, 23, 37	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
39	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 22459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g‘𝑅)𝑦))
40	15, 17, 38, 39	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g‘𝑅)𝑦))
41	26, 36, 40	3eqtr4rd 2783	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸))
42		oveq1 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗))
43		oveq1 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗))
44	42, 43	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → ((𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
45		oveq2 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸))
46		oveq2 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸))
47	45, 46	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
48	44, 47	2ralsng 4623	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
49	16, 16, 48	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
50	49	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
51	41, 50	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗))
52	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 22460	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
53	15, 17, 38, 52	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
54	9	matring 22422	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
55	7, 8, 54	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
56	55	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝐴 ∈ Ring)
57	2, 4	ringacl 20254	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵)
58	56, 28, 30, 57	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵)
59	9, 2	eqmat 22403	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
60	53, 58, 59	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
61	51, 60	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)))
62	1, 2, 3, 4, 6, 11, 14, 61	isghmd 19195	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {csn 4568  ⟨cop 4574   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Fincfn 8888  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  Grpcgrp 18904   GrpHom cghm 19182  Ringcrg 20209   Mat cmat 22386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-dsmm 21726  df-frlm 21741  df-mamu 22370  df-mat 22387

This theorem is referenced by:  mat1rhm  22464