Theorem mat1ghm 21976

Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1rhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
mat1rhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})

Assertion

Ref	Expression
mat1ghm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝐸   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem mat1ghm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1rhmval.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		mat1rhmval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		eqid 2732	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2732	. 2 ⊢ (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴)
5		ringgrp 20054	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6	5	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
7		snfi 9040	. . 3 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
8		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
9		mat1rhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
10	9	matgrp 21923	. . 3 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
11	7, 8, 10	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Grp)
12		mat1rhmval.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
13		mat1rhmval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
14	1, 9, 2, 12, 13	mat1f 21975	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾⟶𝐵)
15	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝐸 ∈ 𝑉)
18		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑤 ∈ 𝐾)
19	18	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑤 ∈ 𝐾)
20	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 21973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) = 𝑤)
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) = 𝑤)
22		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑦 ∈ 𝐾)
23	22	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐾)
24	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 21973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) = 𝑦)
25	15, 17, 23, 24	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) = 𝑦)
26	21, 25	oveq12d 7423	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(+g‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)) = (𝑤(+g‘𝑅)𝑦))
27	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 21974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
28	15, 17, 19, 27	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
29	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 21974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
30	15, 17, 23, 29	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
31		snidg 4661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ {𝐸})
32	31, 31	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
33	32	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
34	33	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
35	9, 2, 4, 3	matplusgcell 21926	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵) ∧ (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸})) → (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(+g‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)))
36	28, 30, 34, 35	syl21anc 836	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(+g‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)))
37	1, 3	ringacl 20088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
38	15, 19, 23, 37	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
39	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 21973	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g‘𝑅)𝑦))
40	15, 17, 38, 39	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g‘𝑅)𝑦))
41	26, 36, 40	3eqtr4rd 2783	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸))
42		oveq1 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗))
43		oveq1 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗))
44	42, 43	eqeq12d 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → ((𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
45		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸))
46		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸))
47	45, 46	eqeq12d 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
48	44, 47	2ralsng 4679	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
49	16, 16, 48	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
50	49	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
51	41, 50	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗))
52	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 21974	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑤(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
53	15, 17, 38, 52	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
54	9	matring 21936	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
55	7, 8, 54	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
56	55	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝐴 ∈ Ring)
57	2, 4	ringacl 20088	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵)
58	56, 28, 30, 57	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵)
59	9, 2	eqmat 21917	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
60	53, 58, 59	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
61	51, 60	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(+g‘𝐴)(𝐹‘𝑦)))
62	1, 2, 3, 4, 6, 11, 14, 61	isghmd 19095	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  {csn 4627  ⟨cop 4633   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  Grpcgrp 18815   GrpHom cghm 19083  Ringcrg 20049   Mat cmat 21898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-mamu 21877  df-mat 21899

This theorem is referenced by:  mat1rhm  21978