MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1ghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1ghm 21613
Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1rhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
mat1rhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
Assertion
Ref Expression
mat1ghm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝐸   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem mat1ghm
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1rhmval.k . 2 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 mat1rhmval.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 eqid 2739 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2739 . 2 (+g𝐴) = (+g𝐴)
5 ringgrp 19769 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
65adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
7 snfi 8804 . . 3 {𝐸} ∈ Fin
8 simpl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
9 mat1rhmval.a . . . 4 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
109matgrp 21560 . . 3 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
117, 8, 10sylancr 586 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ Grp)
12 mat1rhmval.o . . 3 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
13 mat1rhmval.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
141, 9, 2, 12, 13mat1f 21612 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹:𝐾𝐵)
158adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸𝑉)
1716adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝐸𝑉)
18 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑤𝐾𝑦𝐾) → 𝑤𝐾)
1918adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑤𝐾)
201, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 21610 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑤𝐾) → (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) = 𝑤)
2115, 17, 19, 20syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) = 𝑤)
22 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑤𝐾𝑦𝐾) → 𝑦𝐾)
2322adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑦𝐾)
241, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 21610 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑦𝐾) → (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) = 𝑦)
2515, 17, 23, 24syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) = 𝑦)
2621, 25oveq12d 7286 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(+g𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)) = (𝑤(+g𝑅)𝑦))
271, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 21611 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
2815, 17, 19, 27syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
291, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 21611 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
3015, 17, 23, 29syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
31 snidg 4600 . . . . . . . . 9 (𝐸𝑉𝐸 ∈ {𝐸})
3231, 31jca 511 . . . . . . . 8 (𝐸𝑉 → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
3332adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
3433adantr 480 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
359, 2, 4, 3matplusgcell 21563 . . . . . 6 ((((𝐹𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) ∧ (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸})) → (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(+g𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)))
3628, 30, 34, 35syl21anc 834 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸) = ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(+g𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)))
371, 3ringacl 19798 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤𝐾𝑦𝐾) → (𝑤(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
3815, 19, 23, 37syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝑤(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
391, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 21610 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉 ∧ (𝑤(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g𝑅)𝑦))
4015, 17, 38, 39syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(+g𝑅)𝑦))
4126, 36, 403eqtr4rd 2790 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸))
42 oveq1 7275 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗))
43 oveq1 7275 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗))
4442, 43eqeq12d 2755 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐸 → ((𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
45 oveq2 7276 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐸 → (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸))
46 oveq2 7276 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐸 → (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸))
4745, 46eqeq12d 2755 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
4844, 472ralsng 4617 . . . . . 6 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
4916, 16, 48syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
5049adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
5141, 50mpbird 256 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗))
521, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 21611 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉 ∧ (𝑤(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
5315, 17, 38, 52syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
549matring 21573 . . . . . . 7 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
557, 8, 54sylancr 586 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
5655adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝐴 ∈ Ring)
572, 4ringacl 19798 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
5856, 28, 30, 57syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
599, 2eqmat 21554 . . . 4 (((𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
6053, 58, 59syl2anc 583 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
6151, 60mpbird 256 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(+g𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(+g𝐴)(𝐹𝑦)))
621, 2, 3, 4, 6, 11, 14, 61isghmd 18824 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1541  wcel 2109  wral 3065  {csn 4566  cop 4572  cmpt 5161  cfv 6430  (class class class)co 7268  Fincfn 8707  Basecbs 16893  +gcplusg 16943  Grpcgrp 18558   GrpHom cghm 18812  Ringcrg 19764   Mat cmat 21535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-sup 9162  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-hash 14026  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-hom 16967  df-cco 16968  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-prds 17139  df-pws 17141  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-submnd 18412  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-mulg 18682  df-subg 18733  df-ghm 18813  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-subrg 20003  df-lmod 20106  df-lss 20175  df-sra 20415  df-rgmod 20416  df-dsmm 20920  df-frlm 20935  df-mamu 21514  df-mat 21536
This theorem is referenced by:  mat1rhm  21615
  Copyright terms: Public domain W3C validator