Theorem deg1add 25612

Description: Exact degree of a sum of two polynomials of unequal degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1addle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1addle.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
deg1addle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1addle.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1add.l	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
deg1add	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷‘𝐹))

Proof of Theorem deg1add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1addle.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1addle.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 21761	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
5		deg1addle.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		deg1addle.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
7		deg1addle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8		deg1addle.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑌)
9	7, 8	ringacl 20088	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
11		deg1addle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
12	11, 2, 7	deg1xrcl 25591	. . 3 ⊢ ((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
13	10, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
14	11, 2, 7	deg1xrcl 25591	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
15	5, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
16	2, 11, 1, 7, 8, 5, 6	deg1addle 25610	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
17		deg1add.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹))
18	11, 2, 7	deg1xrcl 25591	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
19	6, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
20		xrltnle 11277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹) ↔ ¬ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺)))
21	19, 15, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹) ↔ ¬ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺)))
22	17, 21	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺))
23	22	iffalsed 4538	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) = (𝐷‘𝐹))
24	16, 23	breqtrd 5173	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐹))
25		nltmnf 13105	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* → ¬ (𝐷‘𝐺) < -∞)
26	19, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷‘𝐺) < -∞)
27	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹))
28		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 = (0g‘𝑌) → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(0g‘𝑌)))
29		eqid 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
30	11, 2, 29	deg1z 25596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g‘𝑌)) = -∞)
31	1, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑌)) = -∞)
32	28, 31	sylan9eqr 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐹) = -∞)
33	27, 32	breqtrd 5173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐺) < -∞)
34	33	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (0g‘𝑌) → (𝐷‘𝐺) < -∞))
35	34	necon3bd 2954	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐷‘𝐺) < -∞ → 𝐹 ≠ (0g‘𝑌)))
36	26, 35	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑌))
37	11, 2, 29, 7	deg1nn0cl 25597	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
38	1, 5, 36, 37	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
39		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
40	2, 7, 8, 39	coe1addfv 21778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹))))
41	1, 5, 6, 38, 40	syl31anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹))))
42		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
44	11, 2, 7, 42, 43	deg1lt 25606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹)) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹)) = (0g‘𝑅))
45	6, 38, 17, 44	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹)) = (0g‘𝑅))
46	45	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
47		ringgrp 20054	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
48	1, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
49		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
50		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
51	49, 7, 2, 50	coe1f 21726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
52	5, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
53	52, 38	ffvelcdmd 7084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
54	50, 39, 42	grprid 18849	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
55	48, 53, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
56	41, 46, 55	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
57	11, 2, 29, 7, 42, 49	deg1ldg 25601	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑌)) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
58	1, 5, 36, 57	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
59	56, 58	eqnetrd 3008	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
60		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 + 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 + 𝐺))
61	11, 2, 7, 42, 60	deg1ge 25607	. . 3 ⊢ (((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))
62	10, 38, 59, 61	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))
63	13, 15, 24, 62	xrletrid 13130	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ifcif 4527   class class class wbr 5147  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381  Grpcgrp 18815  Ringcrg 20049  Poly₁cpl1 21692  coe₁cco1 21693   deg₁ cdg1 25560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-cnfld 20937  df-psr 21453  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-mdeg 25561  df-deg1 25562

This theorem is referenced by:  deg1sub  25617