Theorem deg1add 25268

Description: Exact degree of a sum of two polynomials of unequal degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1addle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1addle.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
deg1addle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1addle.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1add.l	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
deg1add	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷‘𝐹))

Proof of Theorem deg1add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1addle.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1addle.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 21419	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
5		deg1addle.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		deg1addle.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
7		deg1addle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8		deg1addle.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑌)
9	7, 8	ringacl 19817	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
11		deg1addle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
12	11, 2, 7	deg1xrcl 25247	. . 3 ⊢ ((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
13	10, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
14	11, 2, 7	deg1xrcl 25247	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
15	5, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
16	2, 11, 1, 7, 8, 5, 6	deg1addle 25266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
17		deg1add.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹))
18	11, 2, 7	deg1xrcl 25247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
19	6, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
20		xrltnle 11042	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹) ↔ ¬ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺)))
21	19, 15, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹) ↔ ¬ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺)))
22	17, 21	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺))
23	22	iffalsed 4470	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) = (𝐷‘𝐹))
24	16, 23	breqtrd 5100	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐹))
25		nltmnf 12865	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* → ¬ (𝐷‘𝐺) < -∞)
26	19, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷‘𝐺) < -∞)
27	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹))
28		fveq2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 = (0g‘𝑌) → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(0g‘𝑌)))
29		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
30	11, 2, 29	deg1z 25252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g‘𝑌)) = -∞)
31	1, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑌)) = -∞)
32	28, 31	sylan9eqr 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐹) = -∞)
33	27, 32	breqtrd 5100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐺) < -∞)
34	33	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (0g‘𝑌) → (𝐷‘𝐺) < -∞))
35	34	necon3bd 2957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐷‘𝐺) < -∞ → 𝐹 ≠ (0g‘𝑌)))
36	26, 35	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑌))
37	11, 2, 29, 7	deg1nn0cl 25253	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
38	1, 5, 36, 37	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
39		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
40	2, 7, 8, 39	coe1addfv 21436	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹))))
41	1, 5, 6, 38, 40	syl31anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹))))
42		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
44	11, 2, 7, 42, 43	deg1lt 25262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹)) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹)) = (0g‘𝑅))
45	6, 38, 17, 44	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹)) = (0g‘𝑅))
46	45	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
47		ringgrp 19788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
48	1, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
49		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
50		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
51	49, 7, 2, 50	coe1f 21382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
52	5, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
53	52, 38	ffvelrnd 6962	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
54	50, 39, 42	grprid 18610	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
55	48, 53, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
56	41, 46, 55	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
57	11, 2, 29, 7, 42, 49	deg1ldg 25257	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑌)) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
58	1, 5, 36, 57	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
59	56, 58	eqnetrd 3011	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
60		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 + 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 + 𝐺))
61	11, 2, 7, 42, 60	deg1ge 25263	. . 3 ⊢ (((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))
62	10, 38, 59, 61	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))
63	13, 15, 24, 62	xrletrid 12889	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ifcif 4459   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  -∞cmnf 11007  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  Ringcrg 19783  Poly₁cpl1 21348  coe₁cco1 21349   deg₁ cdg1 25216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-cnfld 20598  df-psr 21112  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-ply1 21353  df-coe1 21354  df-mdeg 25217  df-deg1 25218

This theorem is referenced by:  deg1sub  25273