Theorem deg1add 26157

Description: Exact degree of a sum of two polynomials of unequal degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1addle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1addle.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
deg1addle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1addle.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1add.l	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
deg1add	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷‘𝐹))

Proof of Theorem deg1add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1addle.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1addle.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22265	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
5		deg1addle.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		deg1addle.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
7		deg1addle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8		deg1addle.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑌)
9	7, 8	ringacl 20292	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
11		deg1addle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
12	11, 2, 7	deg1xrcl 26136	. . 3 ⊢ ((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
13	10, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
14	11, 2, 7	deg1xrcl 26136	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
15	5, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
16	2, 11, 1, 7, 8, 5, 6	deg1addle 26155	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
17		deg1add.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹))
18	11, 2, 7	deg1xrcl 26136	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
19	6, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
20		xrltnle 11326	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹) ↔ ¬ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺)))
21	19, 15, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹) ↔ ¬ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺)))
22	17, 21	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺))
23	22	iffalsed 4542	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) = (𝐷‘𝐹))
24	16, 23	breqtrd 5174	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐹))
25		nltmnf 13169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* → ¬ (𝐷‘𝐺) < -∞)
26	19, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷‘𝐺) < -∞)
27	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹))
28		fveq2 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 = (0g‘𝑌) → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(0g‘𝑌)))
29		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
30	11, 2, 29	deg1z 26141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g‘𝑌)) = -∞)
31	1, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑌)) = -∞)
32	28, 31	sylan9eqr 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐹) = -∞)
33	27, 32	breqtrd 5174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐺) < -∞)
34	33	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (0g‘𝑌) → (𝐷‘𝐺) < -∞))
35	34	necon3bd 2952	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐷‘𝐺) < -∞ → 𝐹 ≠ (0g‘𝑌)))
36	26, 35	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑌))
37	11, 2, 29, 7	deg1nn0cl 26142	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
38	1, 5, 36, 37	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
39		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
40	2, 7, 8, 39	coe1addfv 22284	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹))))
41	1, 5, 6, 38, 40	syl31anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹))))
42		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
44	11, 2, 7, 42, 43	deg1lt 26151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹)) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹)) = (0g‘𝑅))
45	6, 38, 17, 44	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹)) = (0g‘𝑅))
46	45	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
47		ringgrp 20256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
48	1, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
49		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
50		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
51	49, 7, 2, 50	coe1f 22229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
52	5, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
53	52, 38	ffvelcdmd 7105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
54	50, 39, 42	grprid 18999	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
55	48, 53, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
56	41, 46, 55	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
57	11, 2, 29, 7, 42, 49	deg1ldg 26146	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑌)) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
58	1, 5, 36, 57	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
59	56, 58	eqnetrd 3006	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
60		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 + 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 + 𝐺))
61	11, 2, 7, 42, 60	deg1ge 26152	. . 3 ⊢ (((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))
62	10, 38, 59, 61	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))
63	13, 15, 24, 62	xrletrid 13194	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ifcif 4531   class class class wbr 5148  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  -∞cmnf 11291  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964  Ringcrg 20251  Poly₁cpl1 22194  coe₁cco1 22195  deg₁cdg1 26108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-cnfld 21383  df-psr 21947  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-mdeg 26109  df-deg1 26110

This theorem is referenced by:  deg1sub  26162  rtelextdg2lem  33732  aks6d1c5lem3  42119  aks6d1c6lem1  42152