Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1add Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Exact degree of a sum of two polynomials of unequal degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
deg1addle.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1addle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1addle.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1addle.p + = (+g𝑌)
deg1add.l (𝜑 → (𝐷𝐺) < (𝐷𝐹))
Assertion
Ref Expression
deg1add (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷𝐹))

Proof of Theorem deg1add
StepHypRef Expression
1 deg1addle.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 deg1addle.y . . . . . 6 𝑌 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 20977 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
5 deg1addle.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
6 deg1addle.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
7 deg1addle.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
8 deg1addle.p . . . . 5 + = (+g𝑌)
97, 8ringacl 19404 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
104, 5, 6, 9syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
11 deg1addle.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
1211, 2, 7deg1xrcl 24787 . . 3 ((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
1310, 12syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
1411, 2, 7deg1xrcl 24787 . . 3 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
155, 14syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
162, 11, 1, 7, 8, 5, 6deg1addle 24806 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
17 deg1add.l . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) < (𝐷𝐹))
1811, 2, 7deg1xrcl 24787 . . . . . . 7 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
196, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
20 xrltnle 10751 . . . . . 6 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐺) < (𝐷𝐹) ↔ ¬ (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺)))
2119, 15, 20syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷𝐺) < (𝐷𝐹) ↔ ¬ (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺)))
2217, 21mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺))
2322iffalsed 4434 . . 3 (𝜑 → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) = (𝐷𝐹))
2416, 23breqtrd 5061 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ (𝐷𝐹))
25 nltmnf 12570 . . . . . 6 ((𝐷𝐺) ∈ ℝ* → ¬ (𝐷𝐺) < -∞)
2619, 25syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐷𝐺) < -∞)
2717adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹 = (0g𝑌)) → (𝐷𝐺) < (𝐷𝐹))
28 fveq2 6662 . . . . . . . . 9 (𝐹 = (0g𝑌) → (𝐷𝐹) = (𝐷‘(0g𝑌)))
29 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑌) = (0g𝑌)
3011, 2, 29deg1z 24792 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g𝑌)) = -∞)
311, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷‘(0g𝑌)) = -∞)
3228, 31sylan9eqr 2815 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹 = (0g𝑌)) → (𝐷𝐹) = -∞)
3327, 32breqtrd 5061 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹 = (0g𝑌)) → (𝐷𝐺) < -∞)
3433ex 416 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 = (0g𝑌) → (𝐷𝐺) < -∞))
3534necon3bd 2965 . . . . 5 (𝜑 → (¬ (𝐷𝐺) < -∞ → 𝐹 ≠ (0g𝑌)))
3626, 35mpd 15 . . . 4 (𝜑𝐹 ≠ (0g𝑌))
3711, 2, 29, 7deg1nn0cl 24793 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹 ≠ (0g𝑌)) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
381, 5, 36, 37syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
39 eqid 2758 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
402, 7, 8, 39coe1addfv 20994 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷𝐹)) = (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐹))))
411, 5, 6, 38, 40syl31anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷𝐹)) = (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐹))))
42 eqid 2758 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
43 eqid 2758 . . . . . . . 8 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
4411, 2, 7, 42, 43deg1lt 24802 . . . . . . 7 ((𝐺𝐵 ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐺) < (𝐷𝐹)) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐹)) = (0g𝑅))
456, 38, 17, 44syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐹)) = (0g𝑅))
4645oveq2d 7171 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐹))) = (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)(0g𝑅)))
47 ringgrp 19375 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
481, 47syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
49 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
50 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5149, 7, 2, 50coe1f 20940 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
525, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
5352, 38ffvelrnd 6848 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
5450, 39, 42grprid 18206 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)(0g𝑅)) = ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)))
5548, 53, 54syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)(0g𝑅)) = ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)))
5641, 46, 553eqtrd 2797 . . . 4 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷𝐹)) = ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)))
5711, 2, 29, 7, 42, 49deg1ldg 24797 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹 ≠ (0g𝑌)) → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅))
581, 5, 36, 57syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅))
5956, 58eqnetrd 3018 . . 3 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅))
60 eqid 2758 . . . 4 (coe1‘(𝐹 + 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 + 𝐺))
6111, 2, 7, 42, 60deg1ge 24803 . . 3 (((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))
6210, 38, 59, 61syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))
6313, 15, 24, 62xrletrid 12594 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ifcif 4423   class class class wbr 5035  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  -∞cmnf 10716  ℝ*cxr 10717   < clt 10718   ≤ cle 10719  ℕ0cn0 11939  Basecbs 16546  +gcplusg 16628  0gc0g 16776  Grpcgrp 18174  Ringcrg 19370  Poly1cpl1 20906  coe1cco1 20907   deg1 cdg1 24756 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-ofr 7411  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-sup 8944  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-seq 13424  df-hash 13746  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-mhm 18027  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-mulg 18297  df-subg 18348  df-ghm 18428  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-cring 19373  df-subrg 19606  df-cnfld 20172  df-psr 20676  df-mpl 20678  df-opsr 20680  df-psr1 20909  df-ply1 20911  df-coe1 20912  df-mdeg 24757  df-deg1 24758 This theorem is referenced by:  deg1sub  24813
 Copyright terms: Public domain W3C validator