Theorem deg1add 26151

Description: Exact degree of a sum of two polynomials of unequal degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1addle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1addle.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
deg1addle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1addle.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1add.l	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
deg1add	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷‘𝐹))

Proof of Theorem deg1add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1addle.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1addle.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22297	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
5		deg1addle.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		deg1addle.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
7		deg1addle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8		deg1addle.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑌)
9	7, 8	ringacl 20315	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
11		deg1addle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
12	11, 2, 7	deg1xrcl 26130	. . 3 ⊢ ((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
13	10, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
14	11, 2, 7	deg1xrcl 26130	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
15	5, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
16	2, 11, 1, 7, 8, 5, 6	deg1addle 26149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
17		deg1add.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹))
18	11, 2, 7	deg1xrcl 26130	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
19	6, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
20		xrltnle 11243	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹) ↔ ¬ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺)))
21	19, 15, 20	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹) ↔ ¬ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺)))
22	17, 21	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺))
23	22	iffalsed 4488	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) = (𝐷‘𝐹))
24	16, 23	breqtrd 5123	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐹))
25		nltmnf 13125	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* → ¬ (𝐷‘𝐺) < -∞)
26	19, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷‘𝐺) < -∞)
27	17	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹))
28		fveq2 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 = (0g‘𝑌) → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(0g‘𝑌)))
29		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
30	11, 2, 29	deg1z 26135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g‘𝑌)) = -∞)
31	1, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑌)) = -∞)
32	28, 31	sylan9eqr 2818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐹) = -∞)
33	27, 32	breqtrd 5123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐺) < -∞)
34	33	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (0g‘𝑌) → (𝐷‘𝐺) < -∞))
35	34	necon3bd 2970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐷‘𝐺) < -∞ → 𝐹 ≠ (0g‘𝑌)))
36	26, 35	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑌))
37	11, 2, 29, 7	deg1nn0cl 26136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
38	1, 5, 36, 37	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
39		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
40	2, 7, 8, 39	coe1addfv 22316	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹))))
41	1, 5, 6, 38, 40	syl31anc 1391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹))))
42		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
44	11, 2, 7, 42, 43	deg1lt 26145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹)) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹)) = (0g‘𝑅))
45	6, 38, 17, 44	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹)) = (0g‘𝑅))
46	45	oveq2d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
47		ringgrp 20275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
48	1, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
49		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
50		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
51	49, 7, 2, 50	coe1f 22261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
52	5, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
53	52, 38	ffvelcdmd 7061	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
54	50, 39, 42	grprid 19001	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
55	48, 53, 54	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
56	41, 46, 55	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
57	11, 2, 29, 7, 42, 49	deg1ldg 26140	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑌)) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
58	1, 5, 36, 57	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
59	56, 58	eqnetrd 3023	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
60		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 + 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 + 𝐺))
61	11, 2, 7, 42, 60	deg1ge 26146	. . 3 ⊢ (((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))
62	10, 38, 59, 61	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))
63	13, 15, 24, 62	xrletrid 13151	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ifcif 4477   class class class wbr 5097  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  -∞cmnf 11208  ℝ^*cxr 11209   < clt 11210   ≤ cle 11211  ℕ₀cn0 12475  Basecbs 17236  +_gcplusg 17277  0_gc0g 17459  Grpcgrp 18966  Ringcrg 20270  Poly₁cpl1 22227  coe₁cco1 22228  deg₁cdg1 26102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-sup 9382  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-hash 14338  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-prds 17467  df-pws 17469  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-mulg 19101  df-subg 19156  df-ghm 19245  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-cring 20273  df-subrng 20583  df-subrg 20607  df-cnfld 21413  df-psr 21949  df-mpl 21951  df-opsr 21953  df-psr1 22230  df-ply1 22232  df-coe1 22233  df-mdeg 26103  df-deg1 26104

This theorem is referenced by:  deg1sub  26156  rtelextdg2lem  33984  cos9thpiminply  34046  aks6d1c5lem3  42715  aks6d1c6lem1  42748