Theorem ip2subdi 21553

Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
ipsubdir.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
ip2subdi.p	⊢ + = (+g‘𝐹)
ip2subdi.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
ip2subdi.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ip2subdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ip2subdi.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
ip2subdi.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ip2subdi	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem ip2subdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2		ip2subdi.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐹)
3		ipsubdir.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
4		ip2subdi.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
5		phllmod 21539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		phlsrng.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8	7	lmodring 20774	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
10		ringabl 20190	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Abel)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Abel)
12		ip2subdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		ip2subdi.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
14		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
15		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16	7, 14, 15, 1	ipcl 21542	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
17	4, 12, 13, 16	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
18		ip2subdi.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
19	7, 14, 15, 1	ipcl 21542	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
20	4, 12, 18, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
21		ip2subdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
22	7, 14, 15, 1	ipcl 21542	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
23	4, 21, 13, 22	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
24	1, 2, 3, 11, 17, 20, 23	ablsubsub4 19748	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
25	24	oveq1d 7402	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
26		ipsubdir.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
27	15, 26	lmodvsubcl 20813	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐶 − 𝐷) ∈ 𝑉)
28	6, 13, 18, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ 𝑉)
29	7, 14, 15, 26, 3	ipsubdir 21551	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 − 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 − 𝐷))))
30	4, 12, 21, 28, 29	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 − 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 − 𝐷))))
31	7, 14, 15, 26, 3	ipsubdi 21552	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
32	4, 12, 13, 18, 31	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
33	7, 14, 15, 26, 3	ipsubdi 21552	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷)))
34	4, 21, 13, 18, 33	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷)))
35	32, 34	oveq12d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , (𝐶 − 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 − 𝐷))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷))))
36		ringgrp 20147	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
37	9, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
38	1, 3	grpsubcl 18952	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Base‘𝐹))
39	37, 17, 20, 38	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Base‘𝐹))
40	7, 14, 15, 1	ipcl 21542	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
41	4, 21, 18, 40	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
42	1, 2, 3, 11, 39, 23, 41	ablsubsub 19747	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷))) = ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)))
43	30, 35, 42	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)))
44	1, 2	ringacl 20187	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
45	9, 20, 23, 44	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
46	1, 2, 3	abladdsub 19742	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Abel ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
47	11, 17, 41, 45, 46	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
48	25, 43, 47	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Scalarcsca 17223  ·_𝑖cip 17225  Grpcgrp 18865  -_gcsg 18867  Abelcabl 19711  Ringcrg 20142  LModclmod 20766  PreHilcphl 21533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-ghm 19145  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-rhm 20381  df-staf 20748  df-srng 20749  df-lmod 20768  df-lmhm 20929  df-lvec 21010  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-phl 21535

This theorem is referenced by:  cph2subdi  25110  ipcau2  25134  tcphcphlem1  25135