Theorem ip2subdi 21863

Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
ipsubdir.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
ip2subdi.p	⊢ + = (+g‘𝐹)
ip2subdi.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
ip2subdi.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ip2subdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ip2subdi.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
ip2subdi.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ip2subdi	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem ip2subdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2		ip2subdi.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐹)
3		ipsubdir.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
4		ip2subdi.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
5		phllmod 21849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		phlsrng.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8	7	lmodring 21058	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
10		ringabl 20428	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Abel)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Abel)
12		ip2subdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		ip2subdi.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
14		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
15		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16	7, 14, 15, 1	ipcl 21852	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
17	4, 12, 13, 16	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
18		ip2subdi.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
19	7, 14, 15, 1	ipcl 21852	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
20	4, 12, 18, 19	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
21		ip2subdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
22	7, 14, 15, 1	ipcl 21852	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
23	4, 21, 13, 22	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
24	1, 2, 3, 11, 17, 20, 23	ablsubsub4 19951	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
25	24	oveq1d 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
26		ipsubdir.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
27	15, 26	lmodvsubcl 21097	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐶 − 𝐷) ∈ 𝑉)
28	6, 13, 18, 27	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ 𝑉)
29	7, 14, 15, 26, 3	ipsubdir 21861	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 − 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 − 𝐷))))
30	4, 12, 21, 28, 29	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 − 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 − 𝐷))))
31	7, 14, 15, 26, 3	ipsubdi 21862	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
32	4, 12, 13, 18, 31	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
33	7, 14, 15, 26, 3	ipsubdi 21862	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷)))
34	4, 21, 13, 18, 33	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷)))
35	32, 34	oveq12d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , (𝐶 − 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 − 𝐷))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷))))
36		ringgrp 20383	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
37	9, 36	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
38	1, 3	grpsubcl 19149	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Base‘𝐹))
39	37, 17, 20, 38	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Base‘𝐹))
40	7, 14, 15, 1	ipcl 21852	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
41	4, 21, 18, 40	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
42	1, 2, 3, 11, 39, 23, 41	ablsubsub 19950	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷))) = ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)))
43	30, 35, 42	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)))
44	1, 2	ringacl 20425	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
45	9, 20, 23, 44	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
46	1, 2, 3	abladdsub 19945	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Abel ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
47	11, 17, 41, 45, 46	syl13anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
48	25, 43, 47	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  Scalarcsca 17351  ·_𝑖cip 17353  Grpcgrp 19063  -_gcsg 19065  Abelcabl 19914  Ringcrg 20378  LModclmod 21050  PreHilcphl 21843

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-ghm 19347  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-ur 20327  df-ring 20380  df-oppr 20484  df-rhm 20619  df-staf 21011  df-srng 21012  df-lmod 21052  df-lmhm 21212  df-lvec 21293  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-phl 21845

This theorem is used by:  cph2subdi  25444  ipcau2  25468  tcphcphlem1  25469