MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2subdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2subdi 21071
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipsubdir.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
ipsubdir.s 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
ip2subdi.p + = (+gβ€˜πΉ)
ip2subdi.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
ip2subdi.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
ip2subdi.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
ip2subdi.4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
ip2subdi.5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ip2subdi (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))))

Proof of Theorem ip2subdi
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
2 ip2subdi.p . . . 4 + = (+gβ€˜πΉ)
3 ipsubdir.s . . . 4 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
4 ip2subdi.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
5 phllmod 21057 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 phlsrng.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
87lmodring 20373 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
96, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
10 ringabl 20010 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Abel)
119, 10syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Abel)
12 ip2subdi.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
13 ip2subdi.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
14 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
15 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
167, 14, 15, 1ipcl 21060 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
174, 12, 13, 16syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
18 ip2subdi.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
197, 14, 15, 1ipcl 21060 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
204, 12, 18, 19syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
21 ip2subdi.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
227, 14, 15, 1ipcl 21060 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
234, 21, 13, 22syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
241, 2, 3, 11, 17, 20, 23ablsubsub4 19605 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐡 , 𝐢)) = ((𝐴 , 𝐢)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))))
2524oveq1d 7376 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐡 , 𝐢)) + (𝐡 , 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐢)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) + (𝐡 , 𝐷)))
26 ipsubdir.m . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
2715, 26lmodvsubcl 20411 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∈ 𝑉)
286, 13, 18, 27syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∈ 𝑉)
297, 14, 15, 26, 3ipsubdir 21069 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))𝑆(𝐡 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))))
304, 12, 21, 28, 29syl13anc 1373 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))𝑆(𝐡 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))))
317, 14, 15, 26, 3ipsubdi 21070 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
324, 12, 13, 18, 31syl13anc 1373 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
337, 14, 15, 26, 3ipsubdi 21070 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐡 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐷)))
344, 21, 13, 18, 33syl13anc 1373 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐡 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐷)))
3532, 34oveq12d 7379 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))𝑆(𝐡 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))) = (((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐡 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐷))))
36 ringgrp 19977 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
379, 36syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
381, 3grpsubcl 18835 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
3937, 17, 20, 38syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
407, 14, 15, 1ipcl 21060 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
414, 21, 18, 40syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
421, 2, 3, 11, 39, 23, 41ablsubsub 19604 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐡 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐷))) = ((((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐡 , 𝐢)) + (𝐡 , 𝐷)))
4330, 35, 423eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐡 , 𝐢)) + (𝐡 , 𝐷)))
441, 2ringacl 20007 . . . 4 ((𝐹 ∈ Ring ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
459, 20, 23, 44syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
461, 2, 3abladdsub 19601 . . 3 ((𝐹 ∈ Abel ∧ ((𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) = (((𝐴 , 𝐢)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) + (𝐡 , 𝐷)))
4711, 17, 41, 45, 46syl13anc 1373 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) = (((𝐴 , 𝐢)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) + (𝐡 , 𝐷)))
4825, 43, 473eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  Scalarcsca 17144  Β·π‘–cip 17146  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  Abelcabl 19571  Ringcrg 19972  LModclmod 20365  PreHilcphl 21051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-rnghom 20156  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lmhm 20527  df-lvec 20608  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-phl 21053
This theorem is referenced by:  cph2subdi  24597  ipcau2  24621  tcphcphlem1  24622
  Copyright terms: Public domain W3C validator