Theorem ip2subdi 21604

Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
ipsubdir.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
ip2subdi.p	⊢ + = (+g‘𝐹)
ip2subdi.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
ip2subdi.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ip2subdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ip2subdi.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
ip2subdi.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ip2subdi	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem ip2subdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2		ip2subdi.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐹)
3		ipsubdir.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
4		ip2subdi.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
5		phllmod 21590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		phlsrng.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8	7	lmodring 20825	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
10		ringabl 20241	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Abel)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Abel)
12		ip2subdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		ip2subdi.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
14		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
15		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16	7, 14, 15, 1	ipcl 21593	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
17	4, 12, 13, 16	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
18		ip2subdi.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
19	7, 14, 15, 1	ipcl 21593	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
20	4, 12, 18, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
21		ip2subdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
22	7, 14, 15, 1	ipcl 21593	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
23	4, 21, 13, 22	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
24	1, 2, 3, 11, 17, 20, 23	ablsubsub4 19799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
25	24	oveq1d 7420	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
26		ipsubdir.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
27	15, 26	lmodvsubcl 20864	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐶 − 𝐷) ∈ 𝑉)
28	6, 13, 18, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ 𝑉)
29	7, 14, 15, 26, 3	ipsubdir 21602	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 − 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 − 𝐷))))
30	4, 12, 21, 28, 29	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 − 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 − 𝐷))))
31	7, 14, 15, 26, 3	ipsubdi 21603	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
32	4, 12, 13, 18, 31	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
33	7, 14, 15, 26, 3	ipsubdi 21603	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷)))
34	4, 21, 13, 18, 33	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷)))
35	32, 34	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , (𝐶 − 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 − 𝐷))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷))))
36		ringgrp 20198	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
37	9, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
38	1, 3	grpsubcl 19003	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Base‘𝐹))
39	37, 17, 20, 38	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Base‘𝐹))
40	7, 14, 15, 1	ipcl 21593	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
41	4, 21, 18, 40	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
42	1, 2, 3, 11, 39, 23, 41	ablsubsub 19798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷))) = ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)))
43	30, 35, 42	3eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)))
44	1, 2	ringacl 20238	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
45	9, 20, 23, 44	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
46	1, 2, 3	abladdsub 19793	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Abel ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
47	11, 17, 41, 45, 46	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
48	25, 43, 47	3eqtr4d 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  Scalarcsca 17274  ·_𝑖cip 17276  Grpcgrp 18916  -_gcsg 18918  Abelcabl 19762  Ringcrg 20193  LModclmod 20817  PreHilcphl 21584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-ghm 19196  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-rhm 20432  df-staf 20799  df-srng 20800  df-lmod 20819  df-lmhm 20980  df-lvec 21061  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-phl 21586

This theorem is referenced by:  cph2subdi  25162  ipcau2  25186  tcphcphlem1  25187