MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2subdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2subdi 20313
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipsubdir.m = (-g𝑊)
ipsubdir.s 𝑆 = (-g𝐹)
ip2subdi.p + = (+g𝐹)
ip2subdi.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
ip2subdi.2 (𝜑𝐴𝑉)
ip2subdi.3 (𝜑𝐵𝑉)
ip2subdi.4 (𝜑𝐶𝑉)
ip2subdi.5 (𝜑𝐷𝑉)
Assertion
Ref Expression
ip2subdi (𝜑 → ((𝐴 𝐵) , (𝐶 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem ip2subdi
StepHypRef Expression
1 eqid 2799 . . . 4 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2 ip2subdi.p . . . 4 + = (+g𝐹)
3 ipsubdir.s . . . 4 𝑆 = (-g𝐹)
4 ip2subdi.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
5 phllmod 20299 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 phlsrng.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
87lmodring 19189 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
10 ringabl 18896 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Abel)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ Abel)
12 ip2subdi.2 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
13 ip2subdi.4 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑉)
14 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
15 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
167, 14, 15, 1ipcl 20302 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
174, 12, 13, 16syl3anc 1491 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
18 ip2subdi.5 . . . . 5 (𝜑𝐷𝑉)
197, 14, 15, 1ipcl 20302 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐷𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
204, 12, 18, 19syl3anc 1491 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
21 ip2subdi.3 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
227, 14, 15, 1ipcl 20302 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
234, 21, 13, 22syl3anc 1491 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
241, 2, 3, 11, 17, 20, 23ablsubsub4 18539 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
2524oveq1d 6893 . 2 (𝜑 → ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
26 ipsubdir.m . . . . . 6 = (-g𝑊)
2715, 26lmodvsubcl 19226 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶𝑉𝐷𝑉) → (𝐶 𝐷) ∈ 𝑉)
286, 13, 18, 27syl3anc 1491 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 𝐷) ∈ 𝑉)
297, 14, 15, 26, 3ipsubdir 20311 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉 ∧ (𝐶 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 𝐵) , (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 𝐷))))
304, 12, 21, 28, 29syl13anc 1492 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) , (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 𝐷))))
317, 14, 15, 26, 3ipsubdi 20312 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐴 , (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
324, 12, 13, 18, 31syl13anc 1492 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 , (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
337, 14, 15, 26, 3ipsubdi 20312 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐵 , (𝐶 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷)))
344, 21, 13, 18, 33syl13anc 1492 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷)))
3532, 34oveq12d 6896 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 , (𝐶 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 𝐷))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷))))
36 ringgrp 18868 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
379, 36syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
381, 3grpsubcl 17811 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Base‘𝐹))
3937, 17, 20, 38syl3anc 1491 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Base‘𝐹))
407, 14, 15, 1ipcl 20302 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐷𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
414, 21, 18, 40syl3anc 1491 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
421, 2, 3, 11, 39, 23, 41ablsubsub 18538 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷))) = ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)))
4330, 35, 423eqtrd 2837 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) , (𝐶 𝐷)) = ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)))
441, 2ringacl 18894 . . . 4 ((𝐹 ∈ Ring ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
459, 20, 23, 44syl3anc 1491 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
461, 2, 3abladdsub 18535 . . 3 ((𝐹 ∈ Abel ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
4711, 17, 41, 45, 46syl13anc 1492 . 2 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
4825, 43, 473eqtr4d 2843 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) , (𝐶 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  Scalarcsca 16270  ·𝑖cip 16272  Grpcgrp 17738  -gcsg 17740  Abelcabl 18509  Ringcrg 18863  LModclmod 19181  PreHilcphl 20293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-ghm 17971  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-oppr 18939  df-rnghom 19033  df-staf 19163  df-srng 19164  df-lmod 19183  df-lmhm 19343  df-lvec 19424  df-sra 19495  df-rgmod 19496  df-phl 20295
This theorem is referenced by:  cph2subdi  23337  ipcau2  23360  tcphcphlem1  23361
  Copyright terms: Public domain W3C validator