MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2subdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2subdi 21590
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipsubdir.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
ipsubdir.s 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
ip2subdi.p + = (+gβ€˜πΉ)
ip2subdi.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
ip2subdi.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
ip2subdi.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
ip2subdi.4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
ip2subdi.5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ip2subdi (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))))

Proof of Theorem ip2subdi
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
2 ip2subdi.p . . . 4 + = (+gβ€˜πΉ)
3 ipsubdir.s . . . 4 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
4 ip2subdi.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
5 phllmod 21576 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 phlsrng.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
87lmodring 20765 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
96, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
10 ringabl 20231 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Abel)
119, 10syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Abel)
12 ip2subdi.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
13 ip2subdi.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
14 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
15 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
167, 14, 15, 1ipcl 21579 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
174, 12, 13, 16syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
18 ip2subdi.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
197, 14, 15, 1ipcl 21579 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
204, 12, 18, 19syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
21 ip2subdi.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
227, 14, 15, 1ipcl 21579 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
234, 21, 13, 22syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
241, 2, 3, 11, 17, 20, 23ablsubsub4 19787 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐡 , 𝐢)) = ((𝐴 , 𝐢)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))))
2524oveq1d 7441 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐡 , 𝐢)) + (𝐡 , 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐢)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) + (𝐡 , 𝐷)))
26 ipsubdir.m . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
2715, 26lmodvsubcl 20804 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∈ 𝑉)
286, 13, 18, 27syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∈ 𝑉)
297, 14, 15, 26, 3ipsubdir 21588 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))𝑆(𝐡 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))))
304, 12, 21, 28, 29syl13anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))𝑆(𝐡 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))))
317, 14, 15, 26, 3ipsubdi 21589 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
324, 12, 13, 18, 31syl13anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
337, 14, 15, 26, 3ipsubdi 21589 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐡 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐷)))
344, 21, 13, 18, 33syl13anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐡 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐷)))
3532, 34oveq12d 7444 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))𝑆(𝐡 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))) = (((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐡 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐷))))
36 ringgrp 20192 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
379, 36syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
381, 3grpsubcl 18990 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
3937, 17, 20, 38syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
407, 14, 15, 1ipcl 21579 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
414, 21, 18, 40syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
421, 2, 3, 11, 39, 23, 41ablsubsub 19786 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐡 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐷))) = ((((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐡 , 𝐢)) + (𝐡 , 𝐷)))
4330, 35, 423eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐡 , 𝐢)) + (𝐡 , 𝐷)))
441, 2ringacl 20228 . . . 4 ((𝐹 ∈ Ring ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
459, 20, 23, 44syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
461, 2, 3abladdsub 19781 . . 3 ((𝐹 ∈ Abel ∧ ((𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) = (((𝐴 , 𝐢)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) + (𝐡 , 𝐷)))
4711, 17, 41, 45, 46syl13anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) = (((𝐴 , 𝐢)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) + (𝐡 , 𝐷)))
4825, 43, 473eqtr4d 2778 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  Scalarcsca 17245  Β·π‘–cip 17247  Grpcgrp 18904  -gcsg 18906  Abelcabl 19750  Ringcrg 20187  LModclmod 20757  PreHilcphl 21570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-ghm 19182  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-rhm 20425  df-staf 20739  df-srng 20740  df-lmod 20759  df-lmhm 20921  df-lvec 21002  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-phl 21572
This theorem is referenced by:  cph2subdi  25166  ipcau2  25190  tcphcphlem1  25191
  Copyright terms: Public domain W3C validator