Theorem ip2subdi 21579

Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
ipsubdir.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
ip2subdi.p	⊢ + = (+g‘𝐹)
ip2subdi.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
ip2subdi.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ip2subdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ip2subdi.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
ip2subdi.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ip2subdi	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem ip2subdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2		ip2subdi.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐹)
3		ipsubdir.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
4		ip2subdi.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
5		phllmod 21565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		phlsrng.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8	7	lmodring 20799	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
10		ringabl 20197	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Abel)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Abel)
12		ip2subdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		ip2subdi.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
14		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
15		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16	7, 14, 15, 1	ipcl 21568	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
17	4, 12, 13, 16	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
18		ip2subdi.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
19	7, 14, 15, 1	ipcl 21568	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
20	4, 12, 18, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
21		ip2subdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
22	7, 14, 15, 1	ipcl 21568	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
23	4, 21, 13, 22	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
24	1, 2, 3, 11, 17, 20, 23	ablsubsub4 19728	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
25	24	oveq1d 7361	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
26		ipsubdir.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
27	15, 26	lmodvsubcl 20838	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐶 − 𝐷) ∈ 𝑉)
28	6, 13, 18, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ 𝑉)
29	7, 14, 15, 26, 3	ipsubdir 21577	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 − 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 − 𝐷))))
30	4, 12, 21, 28, 29	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 − 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 − 𝐷))))
31	7, 14, 15, 26, 3	ipsubdi 21578	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
32	4, 12, 13, 18, 31	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
33	7, 14, 15, 26, 3	ipsubdi 21578	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷)))
34	4, 21, 13, 18, 33	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷)))
35	32, 34	oveq12d 7364	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , (𝐶 − 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 − 𝐷))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷))))
36		ringgrp 20154	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
37	9, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
38	1, 3	grpsubcl 18930	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Base‘𝐹))
39	37, 17, 20, 38	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Base‘𝐹))
40	7, 14, 15, 1	ipcl 21568	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
41	4, 21, 18, 40	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
42	1, 2, 3, 11, 39, 23, 41	ablsubsub 19727	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷))) = ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)))
43	30, 35, 42	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)))
44	1, 2	ringacl 20194	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
45	9, 20, 23, 44	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
46	1, 2, 3	abladdsub 19722	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Abel ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
47	11, 17, 41, 45, 46	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
48	25, 43, 47	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  Scalarcsca 17161  ·_𝑖cip 17163  Grpcgrp 18843  -_gcsg 18845  Abelcabl 19691  Ringcrg 20149  LModclmod 20791  PreHilcphl 21559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-ghm 19123  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-rhm 20388  df-staf 20752  df-srng 20753  df-lmod 20793  df-lmhm 20954  df-lvec 21035  df-sra 21105  df-rgmod 21106  df-phl 21561

This theorem is referenced by:  cph2subdi  25135  ipcau2  25159  tcphcphlem1  25160