MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2subdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2subdi 21416
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipsubdir.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
ipsubdir.s 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
ip2subdi.p + = (+gβ€˜πΉ)
ip2subdi.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
ip2subdi.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
ip2subdi.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
ip2subdi.4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
ip2subdi.5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ip2subdi (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))))

Proof of Theorem ip2subdi
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . 4 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
2 ip2subdi.p . . . 4 + = (+gβ€˜πΉ)
3 ipsubdir.s . . . 4 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
4 ip2subdi.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
5 phllmod 21402 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 phlsrng.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
87lmodring 20622 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
96, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
10 ringabl 20169 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Abel)
119, 10syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Abel)
12 ip2subdi.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
13 ip2subdi.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
14 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
15 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
167, 14, 15, 1ipcl 21405 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
174, 12, 13, 16syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
18 ip2subdi.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
197, 14, 15, 1ipcl 21405 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
204, 12, 18, 19syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
21 ip2subdi.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
227, 14, 15, 1ipcl 21405 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
234, 21, 13, 22syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
241, 2, 3, 11, 17, 20, 23ablsubsub4 19727 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐡 , 𝐢)) = ((𝐴 , 𝐢)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))))
2524oveq1d 7426 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐡 , 𝐢)) + (𝐡 , 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐢)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) + (𝐡 , 𝐷)))
26 ipsubdir.m . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
2715, 26lmodvsubcl 20661 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∈ 𝑉)
286, 13, 18, 27syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∈ 𝑉)
297, 14, 15, 26, 3ipsubdir 21414 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))𝑆(𝐡 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))))
304, 12, 21, 28, 29syl13anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))𝑆(𝐡 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))))
317, 14, 15, 26, 3ipsubdi 21415 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
324, 12, 13, 18, 31syl13anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
337, 14, 15, 26, 3ipsubdi 21415 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐡 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐷)))
344, 21, 13, 18, 33syl13anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐡 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐷)))
3532, 34oveq12d 7429 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))𝑆(𝐡 , (𝐢 βˆ’ 𝐷))) = (((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐡 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐷))))
36 ringgrp 20132 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
379, 36syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
381, 3grpsubcl 18939 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
3937, 17, 20, 38syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
407, 14, 15, 1ipcl 21405 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
414, 21, 18, 40syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
421, 2, 3, 11, 39, 23, 41ablsubsub 19726 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐡 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐷))) = ((((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐡 , 𝐢)) + (𝐡 , 𝐷)))
4330, 35, 423eqtrd 2774 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐡 , 𝐢)) + (𝐡 , 𝐷)))
441, 2ringacl 20166 . . . 4 ((𝐹 ∈ Ring ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
459, 20, 23, 44syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
461, 2, 3abladdsub 19721 . . 3 ((𝐹 ∈ Abel ∧ ((𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) = (((𝐴 , 𝐢)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) + (𝐡 , 𝐷)))
4711, 17, 41, 45, 46syl13anc 1370 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) = (((𝐴 , 𝐢)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) + (𝐡 , 𝐷)))
4825, 43, 473eqtr4d 2780 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  Scalarcsca 17204  Β·π‘–cip 17206  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  Abelcabl 19690  Ringcrg 20127  LModclmod 20614  PreHilcphl 21396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-rhm 20363  df-staf 20596  df-srng 20597  df-lmod 20616  df-lmhm 20777  df-lvec 20858  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-phl 21398
This theorem is referenced by:  cph2subdi  24958  ipcau2  24982  tcphcphlem1  24983
  Copyright terms: Public domain W3C validator