Theorem rlimres2 15523

Description: The restriction of a function converges if the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimres2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
rlimres2.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
rlimres2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem rlimres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimres2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2	1	resmptd 6005	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
3		rlimres2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
4		rlimres 15520	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ⇝𝑟 𝐷)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ⇝𝑟 𝐷)
6	2, 5	eqbrtrrd 5109	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   ↾ cres 5633   ⇝_𝑟 crli 15447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-pm 8776  df-rlim 15451

This theorem is referenced by:  divcnv  15818  dvfsumrlimge0  25997  dvfsumrlim2  25999  dfef2  26934  cxp2lim  26940  chtppilimlem2  27437  chpchtlim  27442  pnt2  27576