Theorem rlimres2 15468

Description: The restriction of a function converges if the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimres2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
rlimres2.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
rlimres2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem rlimres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimres2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2	1	resmptd 5988	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
3		rlimres2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
4		rlimres 15465	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ⇝𝑟 𝐷)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ⇝𝑟 𝐷)
6	2, 5	eqbrtrrd 5113	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170   ↾ cres 5616   ⇝_𝑟 crli 15392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-pm 8753  df-rlim 15396

This theorem is referenced by:  divcnv  15760  dvfsumrlimge0  25964  dvfsumrlim2  25966  dfef2  26908  cxp2lim  26914  chtppilimlem2  27412  chpchtlim  27417  pnt2  27551