MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimres2 15594
Description: The restriction of a function converges if the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimres2.1 (𝜑𝐴𝐵)
rlimres2.2 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
Assertion
Ref Expression
rlimres2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem rlimres2
StepHypRef Expression
1 rlimres2.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
21resmptd 6060 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴𝐶))
3 rlimres2.2 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
4 rlimres 15591 . . 3 ((𝑥𝐵𝐶) ⇝𝑟 𝐷 → ((𝑥𝐵𝐶) ↾ 𝐴) ⇝𝑟 𝐷)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ↾ 𝐴) ⇝𝑟 𝐷)
62, 5eqbrtrrd 5172 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cres 5691  𝑟 crli 15518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-pm 8868  df-rlim 15522
This theorem is referenced by:  divcnv  15886  dvfsumrlimge0  26086  dvfsumrlim2  26088  dfef2  27029  cxp2lim  27035  chtppilimlem2  27533  chpchtlim  27538  pnt2  27672
  Copyright terms: Public domain W3C validator