Theorem rlimres2 15534

Description: The restriction of a function converges if the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimres2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
rlimres2.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
rlimres2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem rlimres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimres2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2	1	resmptd 6014	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
3		rlimres2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
4		rlimres 15531	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ⇝𝑟 𝐷)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ⇝𝑟 𝐷)
6	2, 5	eqbrtrrd 5134	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191   ↾ cres 5643   ⇝_𝑟 crli 15458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-pm 8805  df-rlim 15462

This theorem is referenced by:  divcnv  15826  dvfsumrlimge0  25944  dvfsumrlim2  25946  dfef2  26888  cxp2lim  26894  chtppilimlem2  27392  chpchtlim  27397  pnt2  27531