MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimres2 15597
Description: The restriction of a function converges if the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimres2.1 (𝜑𝐴𝐵)
rlimres2.2 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
Assertion
Ref Expression
rlimres2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem rlimres2
StepHypRef Expression
1 rlimres2.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
21resmptd 6058 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴𝐶))
3 rlimres2.2 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
4 rlimres 15594 . . 3 ((𝑥𝐵𝐶) ⇝𝑟 𝐷 → ((𝑥𝐵𝐶) ↾ 𝐴) ⇝𝑟 𝐷)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ↾ 𝐴) ⇝𝑟 𝐷)
62, 5eqbrtrrd 5167 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cres 5687  𝑟 crli 15521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-pm 8869  df-rlim 15525
This theorem is referenced by:  divcnv  15889  dvfsumrlimge0  26071  dvfsumrlim2  26073  dfef2  27014  cxp2lim  27020  chtppilimlem2  27518  chpchtlim  27523  pnt2  27657
  Copyright terms: Public domain W3C validator