Theorem chpchtlim 27418

Description: The ψ and θ functions are asymptotic to each other, so is sufficient to prove either θ(𝑥) / 𝑥 ⇝_𝑟 1 or ψ(𝑥) / 𝑥 ⇝_𝑟 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
chpchtlim	⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem chpchtlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11120	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
2		1red 11120	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
3		2re 12206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		elicopnf 13347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
6	5	simplbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		0red 11122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
9	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
10		2pos 12235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
12	5	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
13	8, 9, 6, 11, 12	ltletrd 11280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
14	6, 13	elrpd 12933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
15	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
16	15	rpge0d 12940	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
17	7, 16	resqrtcld 15327	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
18	15	relogcld 26560	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
19	17, 18	remulcld 11149	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
20	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ≤ 𝑥)
21		chtrpcl 27113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
22	7, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
23	19, 22	rerpdivcld 12967	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ)
24	6	ssriv 3934	. . . . . 6 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
25	1	recnd 11147	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
26		rlimconst 15453	. . . . . 6 ⊢ (((2[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
27	24, 25, 26	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
28		ovexd 7387	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
29	7, 22	rerpdivcld 12967	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ)
30		ovexd 7387	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥) ∈ V)
31		eqidd 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))))
32	7	recnd 11147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		cxpsqrt 26640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
35	34	oveq2d 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))
36	18	recnd 11147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
37	15	rpsqrtcld 15321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
38	37	rpcnne0d 12945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
39		divcan5 11830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / ((√‘𝑥) · (√‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))
40	36, 38, 38, 39	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / ((√‘𝑥) · (√‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))
41		remsqsqrt 15165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((√‘𝑥) · (√‘𝑥)) = 𝑥)
42	7, 16, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) · (√‘𝑥)) = 𝑥)
43	42	oveq2d 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / ((√‘𝑥) · (√‘𝑥))) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
44	35, 40, 43	3eqtr2d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
45	44	mpteq2dva 5186	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥)))
46	28, 29, 30, 31, 45	offval2 7636	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))))
47	15	rpne0d 12941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ≠ 0)
48	22	rpcnne0d 12945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))
49	19	recnd 11147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
50		dmdcan 11838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ) → ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥)) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
51	32, 47, 48, 49, 50	syl211anc 1378	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥)) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
52	51	mpteq2dva 5186	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
53	46, 52	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
54		chto1lb 27417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
55	14	ssriv 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
56	55	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
57		1rp 12896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
58		rphalfcl 12921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
60		cxploglim 26916	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0)
61	59, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0
62	61	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0)
63	56, 62	rlimres2 15470	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0)
64		o1rlimmul 15528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))) ⇝𝑟 0)
65	54, 63, 64	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))) ⇝𝑟 0)
66	53, 65	eqbrtrrd 5117	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
67	2, 23, 27, 66	rlimadd 15552	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) ⇝𝑟 (1 + 0))
68		1p0e1 12251	. . . 4 ⊢ (1 + 0) = 1
69	67, 68	breqtrdi 5134	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
70		1re 11119	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
71		readdcl 11096	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ) → (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) ∈ ℝ)
72	70, 23, 71	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) ∈ ℝ)
73		chpcl 27062	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
74	7, 73	syl 17	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
75	74, 22	rerpdivcld 12967	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ)
76		chtcl 27047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
77	7, 76	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
78	77, 19	readdcld 11148	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
79	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
80		1le2 12336	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
81	80	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ≤ 2)
82	2, 79, 7, 81, 20	letrd 11277	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
83		chpub 27159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ≤ ((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))))
84	7, 82, 83	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (ψ‘𝑥) ≤ ((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))))
85	74, 78, 22, 84	lediv1dd 12994	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≤ (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)))
86	22	rpcnd 12938	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
87		divdir 11808	. . . . . . 7 ⊢ (((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0)) → (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)) = (((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
88	86, 49, 48, 87	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)) = (((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
89		divid 11814	. . . . . . . 8 ⊢ (((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) → ((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) = 1)
90	48, 89	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) = 1)
91	90	oveq1d 7367	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
92	88, 91	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)) = (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
93	85, 92	breqtrd 5119	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≤ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
94	93	adantrr 717	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≤ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
95	86	mullidd 11137	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 · (θ‘𝑥)) = (θ‘𝑥))
96		chtlepsi 27145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑥))
97	7, 96	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑥))
98	95, 97	eqbrtrd 5115	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 · (θ‘𝑥)) ≤ (ψ‘𝑥))
99	2, 74, 22	lemuldivd 12985	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((1 · (θ‘𝑥)) ≤ (ψ‘𝑥) ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))))
100	98, 99	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ≤ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))
101	100	adantrr 717	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))
102	1, 1, 69, 72, 75, 94, 101	rlimsqz2 15560	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1)
103	102	mptru 1548	1 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∘_f cof 7614  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018  +∞cpnf 11150   < clt 11153   ≤ cle 11154   / cdiv 11781  2c2 12187  ℝ⁺crp 12892  [,)cico 13249  √csqrt 15142   ⇝_𝑟 crli 15394  𝑂(1)co1 15395  logclog 26491  ↑_𝑐ccxp 26492  θccht 27029  ψcchp 27031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-dju 9801  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14976  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-o1 15399  df-lo1 15400  df-sum 15596  df-ef 15976  df-e 15977  df-sin 15978  df-cos 15979  df-pi 15981  df-dvds 16166  df-gcd 16408  df-prm 16585  df-pc 16751  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796  df-log 26493  df-cxp 26494  df-cht 27035  df-vma 27036  df-chp 27037  df-ppi 27038

This theorem is referenced by:  chpo1ub  27419  pnt2  27552