MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpchtlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpchtlim 25972
Description: The ψ and θ functions are asymptotic to each other, so is sufficient to prove either θ(𝑥) / 𝑥𝑟 1 or ψ(𝑥) / 𝑥𝑟 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpchtlim (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem chpchtlim
StepHypRef Expression
1 1red 10631 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
2 1red 10631 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
3 2re 11700 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
4 elicopnf 12823 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
65simplbi 498 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
76adantl 482 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 0red 10633 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
93a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
10 2pos 11729 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
125simprbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
138, 9, 6, 11, 12ltletrd 10789 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
146, 13elrpd 12418 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1514adantl 482 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1615rpge0d 12425 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
177, 16resqrtcld 14767 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
1815relogcld 25122 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
1917, 18remulcld 10660 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
2012adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ≤ 𝑥)
21 chtrpcl 25669 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
227, 20, 21syl2anc 584 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
2319, 22rerpdivcld 12452 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ)
246ssriv 3975 . . . . . 6 (2[,)+∞) ⊆ ℝ
251recnd 10658 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
26 rlimconst 14891 . . . . . 6 (((2[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
2724, 25, 26sylancr 587 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
28 ovexd 7183 . . . . . . . 8 (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
297, 22rerpdivcld 12452 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ)
30 ovexd 7183 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥) ∈ V)
31 eqidd 2827 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))))
327recnd 10658 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33 cxpsqrt 25202 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
3534oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2))) = ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))
3618recnd 10658 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
3715rpsqrtcld 14761 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
3837rpcnne0d 12430 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
39 divcan5 11331 . . . . . . . . . . 11 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / ((√‘𝑥) · (√‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))
4036, 38, 38, 39syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / ((√‘𝑥) · (√‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))
41 remsqsqrt 14606 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((√‘𝑥) · (√‘𝑥)) = 𝑥)
427, 16, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) · (√‘𝑥)) = 𝑥)
4342oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / ((√‘𝑥) · (√‘𝑥))) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
4435, 40, 433eqtr2d 2867 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2))) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
4544mpteq2dva 5158 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥)))
4628, 29, 30, 31, 45offval2 7416 . . . . . . 7 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))))
4715rpne0d 12426 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ≠ 0)
4822rpcnne0d 12430 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))
4919recnd 10658 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
50 dmdcan 11339 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ) → ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥)) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
5132, 47, 48, 49, 50syl211anc 1370 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥)) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
5251mpteq2dva 5158 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
5346, 52eqtrd 2861 . . . . . 6 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
54 chto1lb 25971 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
5514ssriv 3975 . . . . . . . . 9 (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
5655a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
57 1rp 12383 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
58 rphalfcl 12406 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ+
60 cxploglim 25472 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0)
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0
6261a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0)
6356, 62rlimres2 14908 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0)
64 o1rlimmul 14965 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2))))) ⇝𝑟 0)
6554, 63, 64sylancr 587 . . . . . 6 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2))))) ⇝𝑟 0)
6653, 65eqbrtrrd 5087 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
672, 23, 27, 66rlimadd 14989 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) ⇝𝑟 (1 + 0))
68 1p0e1 11750 . . . 4 (1 + 0) = 1
6967, 68breqtrdi 5104 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
70 1re 10630 . . . 4 1 ∈ ℝ
71 readdcl 10609 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ) → (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) ∈ ℝ)
7270, 23, 71sylancr 587 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) ∈ ℝ)
73 chpcl 25618 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
747, 73syl 17 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
7574, 22rerpdivcld 12452 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ)
76 chtcl 25603 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
777, 76syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
7877, 19readdcld 10659 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
793a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
80 1le2 11835 . . . . . . . . 9 1 ≤ 2
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ≤ 2)
822, 79, 7, 81, 20letrd 10786 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
83 chpub 25713 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ≤ ((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))))
847, 82, 83syl2anc 584 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (ψ‘𝑥) ≤ ((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))))
8574, 78, 22, 84lediv1dd 12479 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≤ (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)))
8622rpcnd 12423 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
87 divdir 11312 . . . . . . 7 (((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0)) → (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)) = (((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
8886, 49, 48, 87syl3anc 1365 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)) = (((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
89 divid 11316 . . . . . . . 8 (((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) → ((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) = 1)
9048, 89syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) = 1)
9190oveq1d 7163 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
9288, 91eqtrd 2861 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)) = (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
9385, 92breqtrd 5089 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≤ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
9493adantrr 713 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≤ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
9586mulid2d 10648 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 · (θ‘𝑥)) = (θ‘𝑥))
96 chtlepsi 25699 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑥))
977, 96syl 17 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑥))
9895, 97eqbrtrd 5085 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 · (θ‘𝑥)) ≤ (ψ‘𝑥))
992, 74, 22lemuldivd 12470 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((1 · (θ‘𝑥)) ≤ (ψ‘𝑥) ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))))
10098, 99mpbid 233 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ≤ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))
101100adantrr 713 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))
1021, 1, 69, 72, 75, 94, 101rlimsqz2 14997 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1)
103102mptru 1537 1 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wtru 1531  wcel 2107  wne 3021  Vcvv 3500  wss 3940   class class class wbr 5063  cmpt 5143  cfv 6352  (class class class)co 7148  f cof 7397  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  +∞cpnf 10661   < clt 10664  cle 10665   / cdiv 11286  2c2 11681  +crp 12379  [,)cico 12730  csqrt 14582  𝑟 crli 14832  𝑂(1)co1 14833  logclog 25054  𝑐ccxp 25055  θccht 25585  ψcchp 25587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-o1 14837  df-lo1 14838  df-sum 15033  df-ef 15411  df-e 15412  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-dvds 15598  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-pc 16164  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-fbas 20461  df-fg 20462  df-cnfld 20465  df-top 21421  df-topon 21438  df-topsp 21460  df-bases 21473  df-cld 21546  df-ntr 21547  df-cls 21548  df-nei 21625  df-lp 21663  df-perf 21664  df-cn 21754  df-cnp 21755  df-haus 21842  df-tx 22089  df-hmeo 22282  df-fil 22373  df-fm 22465  df-flim 22466  df-flf 22467  df-xms 22848  df-ms 22849  df-tms 22850  df-cncf 23404  df-limc 24382  df-dv 24383  df-log 25056  df-cxp 25057  df-cht 25591  df-vma 25592  df-chp 25593  df-ppi 25594
This theorem is referenced by:  chpo1ub  25973  pnt2  26106
  Copyright terms: Public domain W3C validator