Theorem chpchtlim 27538

Description: The ψ and θ functions are asymptotic to each other, so is sufficient to prove either θ(𝑥) / 𝑥 ⇝_𝑟 1 or ψ(𝑥) / 𝑥 ⇝_𝑟 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
chpchtlim	⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem chpchtlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11260	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
2		1red 11260	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
3		2re 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		elicopnf 13482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
6	5	simplbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		0red 11262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
9	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
10		2pos 12367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
12	5	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
13	8, 9, 6, 11, 12	ltletrd 11419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
14	6, 13	elrpd 13072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
15	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
16	15	rpge0d 13079	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
17	7, 16	resqrtcld 15453	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
18	15	relogcld 26680	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
19	17, 18	remulcld 11289	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
20	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ≤ 𝑥)
21		chtrpcl 27233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
22	7, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
23	19, 22	rerpdivcld 13106	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ)
24	6	ssriv 3999	. . . . . 6 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
25	1	recnd 11287	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
26		rlimconst 15577	. . . . . 6 ⊢ (((2[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
27	24, 25, 26	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
28		ovexd 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
29	7, 22	rerpdivcld 13106	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ)
30		ovexd 7466	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥) ∈ V)
31		eqidd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))))
32	7	recnd 11287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		cxpsqrt 26760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
35	34	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))
36	18	recnd 11287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
37	15	rpsqrtcld 15447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
38	37	rpcnne0d 13084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
39		divcan5 11967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / ((√‘𝑥) · (√‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))
40	36, 38, 38, 39	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / ((√‘𝑥) · (√‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))
41		remsqsqrt 15292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((√‘𝑥) · (√‘𝑥)) = 𝑥)
42	7, 16, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) · (√‘𝑥)) = 𝑥)
43	42	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / ((√‘𝑥) · (√‘𝑥))) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
44	35, 40, 43	3eqtr2d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
45	44	mpteq2dva 5248	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥)))
46	28, 29, 30, 31, 45	offval2 7717	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))))
47	15	rpne0d 13080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ≠ 0)
48	22	rpcnne0d 13084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))
49	19	recnd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
50		dmdcan 11975	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ) → ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥)) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
51	32, 47, 48, 49, 50	syl211anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥)) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
52	51	mpteq2dva 5248	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
53	46, 52	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
54		chto1lb 27537	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
55	14	ssriv 3999	. . . . . . . . 9 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
56	55	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
57		1rp 13036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
58		rphalfcl 13060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
60		cxploglim 27036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0)
61	59, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0
62	61	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0)
63	56, 62	rlimres2 15594	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0)
64		o1rlimmul 15652	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))) ⇝𝑟 0)
65	54, 63, 64	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))) ⇝𝑟 0)
66	53, 65	eqbrtrrd 5172	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
67	2, 23, 27, 66	rlimadd 15676	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) ⇝𝑟 (1 + 0))
68		1p0e1 12388	. . . 4 ⊢ (1 + 0) = 1
69	67, 68	breqtrdi 5189	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
70		1re 11259	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
71		readdcl 11236	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ) → (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) ∈ ℝ)
72	70, 23, 71	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) ∈ ℝ)
73		chpcl 27182	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
74	7, 73	syl 17	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
75	74, 22	rerpdivcld 13106	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ)
76		chtcl 27167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
77	7, 76	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
78	77, 19	readdcld 11288	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
79	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
80		1le2 12473	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
81	80	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ≤ 2)
82	2, 79, 7, 81, 20	letrd 11416	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
83		chpub 27279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ≤ ((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))))
84	7, 82, 83	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (ψ‘𝑥) ≤ ((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))))
85	74, 78, 22, 84	lediv1dd 13133	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≤ (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)))
86	22	rpcnd 13077	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
87		divdir 11945	. . . . . . 7 ⊢ (((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0)) → (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)) = (((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
88	86, 49, 48, 87	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)) = (((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
89		divid 11951	. . . . . . . 8 ⊢ (((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) → ((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) = 1)
90	48, 89	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) = 1)
91	90	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
92	88, 91	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)) = (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
93	85, 92	breqtrd 5174	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≤ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
94	93	adantrr 717	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≤ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
95	86	mullidd 11277	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 · (θ‘𝑥)) = (θ‘𝑥))
96		chtlepsi 27265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑥))
97	7, 96	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑥))
98	95, 97	eqbrtrd 5170	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 · (θ‘𝑥)) ≤ (ψ‘𝑥))
99	2, 74, 22	lemuldivd 13124	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((1 · (θ‘𝑥)) ≤ (ψ‘𝑥) ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))))
100	98, 99	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ≤ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))
101	100	adantrr 717	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))
102	1, 1, 69, 72, 75, 94, 101	rlimsqz2 15684	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1)
103	102	mptru 1544	1 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290   < clt 11293   ≤ cle 11294   / cdiv 11918  2c2 12319  ℝ⁺crp 13032  [,)cico 13386  √csqrt 15269   ⇝_𝑟 crli 15518  𝑂(1)co1 15519  logclog 26611  ↑_𝑐ccxp 26612  θccht 27149  ψcchp 27151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-o1 15523  df-lo1 15524  df-sum 15720  df-ef 16100  df-e 16101  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-pc 16871  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614  df-cht 27155  df-vma 27156  df-chp 27157  df-ppi 27158

This theorem is referenced by:  chpo1ub  27539  pnt2  27672