MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpchtlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpchtlim 26843
Description: The ψ and ΞΈ functions are asymptotic to each other, so is sufficient to prove either ΞΈ(π‘₯) / π‘₯ β‡π‘Ÿ 1 or ψ(π‘₯) / π‘₯ β‡π‘Ÿ 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpchtlim (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 1

Proof of Theorem chpchtlim
StepHypRef Expression
1 1red 11163 . . 3 (⊀ β†’ 1 ∈ ℝ)
2 1red 11163 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ)
3 2re 12234 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
4 elicopnf 13369 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯)))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯))
65simplbi 499 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
76adantl 483 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8 0red 11165 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 ∈ ℝ)
93a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 2 ∈ ℝ)
10 2pos 12263 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 < 2)
125simprbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 2 ≀ π‘₯)
138, 9, 6, 11, 12ltletrd 11322 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 < π‘₯)
146, 13elrpd 12961 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1514adantl 483 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1615rpge0d 12968 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
177, 16resqrtcld 15309 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1815relogcld 25994 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1917, 18remulcld 11192 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2012adantl 483 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 2 ≀ π‘₯)
21 chtrpcl 26540 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
227, 20, 21syl2anc 585 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2319, 22rerpdivcld 12995 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
246ssriv 3953 . . . . . 6 (2[,)+∞) βŠ† ℝ
251recnd 11190 . . . . . 6 (⊀ β†’ 1 ∈ β„‚)
26 rlimconst 15433 . . . . . 6 (((2[,)+∞) βŠ† ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1)
2724, 25, 26sylancr 588 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1)
28 ovexd 7397 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (2[,)+∞) ∈ V)
297, 22rerpdivcld 12995 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
30 ovexd 7397 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯) ∈ V)
31 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
327recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
33 cxpsqrt 26074 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯↑𝑐(1 / 2)) = (βˆšβ€˜π‘₯))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯↑𝑐(1 / 2)) = (βˆšβ€˜π‘₯))
3534oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))) = ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))
3618recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3715rpsqrtcld 15303 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
3837rpcnne0d 12973 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0))
39 divcan5 11864 . . . . . . . . . . 11 (((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) = ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))
4036, 38, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) = ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))
41 remsqsqrt 15148 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
427, 16, 41syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
4342oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) = (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))
4435, 40, 433eqtr2d 2783 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))) = (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))
4544mpteq2dva 5210 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯)))
4628, 29, 30, 31, 45offval2 7642 . . . . . . 7 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)) Β· (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))))
4715rpne0d 12969 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ β‰  0)
4822rpcnne0d 12973 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0))
4919recnd 11190 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
50 dmdcan 11872 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ ((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)) Β· (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯)) = (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
5132, 47, 48, 49, 50syl211anc 1377 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)) Β· (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯)) = (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
5251mpteq2dva 5210 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)) Β· (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
5346, 52eqtrd 2777 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
54 chto1lb 26842 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1)
5514ssriv 3953 . . . . . . . . 9 (2[,)+∞) βŠ† ℝ+
5655a1i 11 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (2[,)+∞) βŠ† ℝ+)
57 1rp 12926 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
58 rphalfcl 12949 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ+)
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ+
60 cxploglim 26343 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) β‡π‘Ÿ 0)
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) β‡π‘Ÿ 0
6261a1i 11 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) β‡π‘Ÿ 0)
6356, 62rlimres2 15450 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) β‡π‘Ÿ 0)
64 o1rlimmul 15508 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1) ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) β‡π‘Ÿ 0) β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))))) β‡π‘Ÿ 0)
6554, 63, 64sylancr 588 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))))) β‡π‘Ÿ 0)
6653, 65eqbrtrrd 5134 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 0)
672, 23, 27, 66rlimadd 15532 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ (1 + 0))
68 1p0e1 12284 . . . 4 (1 + 0) = 1
6967, 68breqtrdi 5151 . . 3 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1)
70 1re 11162 . . . 4 1 ∈ ℝ
71 readdcl 11141 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ) β†’ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
7270, 23, 71sylancr 588 . . 3 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
73 chpcl 26489 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
747, 73syl 17 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (Οˆβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7574, 22rerpdivcld 12995 . . 3 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
76 chtcl 26474 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
777, 76syl 17 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7877, 19readdcld 11191 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
793a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 2 ∈ ℝ)
80 1le2 12369 . . . . . . . . 9 1 ≀ 2
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ≀ 2)
822, 79, 7, 81, 20letrd 11319 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
83 chpub 26584 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (Οˆβ€˜π‘₯) ≀ ((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
847, 82, 83syl2anc 585 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (Οˆβ€˜π‘₯) ≀ ((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
8574, 78, 22, 84lediv1dd 13022 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ≀ (((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
8622rpcnd 12966 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
87 divdir 11845 . . . . . . 7 (((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ ((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) = (((ΞΈβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
8886, 49, 48, 87syl3anc 1372 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) = (((ΞΈβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
89 divid 11849 . . . . . . . 8 (((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) = 1)
9048, 89syl 17 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) = 1)
9190oveq1d 7377 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
9288, 91eqtrd 2777 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) = (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
9385, 92breqtrd 5136 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ≀ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
9493adantrr 716 . . 3 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ≀ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
9586mulid2d 11180 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 Β· (ΞΈβ€˜π‘₯)) = (ΞΈβ€˜π‘₯))
96 chtlepsi 26570 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ≀ (Οˆβ€˜π‘₯))
977, 96syl 17 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ≀ (Οˆβ€˜π‘₯))
9895, 97eqbrtrd 5132 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 Β· (ΞΈβ€˜π‘₯)) ≀ (Οˆβ€˜π‘₯))
992, 74, 22lemuldivd 13013 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((1 Β· (ΞΈβ€˜π‘₯)) ≀ (Οˆβ€˜π‘₯) ↔ 1 ≀ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
10098, 99mpbid 231 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ≀ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
101100adantrr 716 . . 3 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 1 ≀ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
1021, 1, 69, 72, 75, 94, 101rlimsqz2 15542 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 1)
103102mptru 1549 1 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  2c2 12215  β„+crp 12922  [,)cico 13273  βˆšcsqrt 15125   β‡π‘Ÿ crli 15374  π‘‚(1)co1 15375  logclog 25926  β†‘𝑐ccxp 25927  ΞΈccht 26456  Οˆcchp 26458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-cht 26462  df-vma 26463  df-chp 26464  df-ppi 26465
This theorem is referenced by:  chpo1ub  26844  pnt2  26977
  Copyright terms: Public domain W3C validator