Theorem chpchtlim 27541

Description: The ψ and θ functions are asymptotic to each other, so is sufficient to prove either θ(𝑥) / 𝑥 ⇝_𝑟 1 or ψ(𝑥) / 𝑥 ⇝_𝑟 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
chpchtlim	⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem chpchtlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11291	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
2		1red 11291	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
3		2re 12367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		elicopnf 13505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
6	5	simplbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		0red 11293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
9	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
10		2pos 12396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
12	5	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
13	8, 9, 6, 11, 12	ltletrd 11450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
14	6, 13	elrpd 13096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
15	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
16	15	rpge0d 13103	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
17	7, 16	resqrtcld 15466	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
18	15	relogcld 26683	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
19	17, 18	remulcld 11320	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
20	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ≤ 𝑥)
21		chtrpcl 27236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
22	7, 20, 21	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
23	19, 22	rerpdivcld 13130	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ)
24	6	ssriv 4012	. . . . . 6 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
25	1	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
26		rlimconst 15590	. . . . . 6 ⊢ (((2[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
27	24, 25, 26	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
28		ovexd 7483	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
29	7, 22	rerpdivcld 13130	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ)
30		ovexd 7483	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥) ∈ V)
31		eqidd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))))
32	7	recnd 11318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		cxpsqrt 26763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
35	34	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))
36	18	recnd 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
37	15	rpsqrtcld 15460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
38	37	rpcnne0d 13108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
39		divcan5 11996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / ((√‘𝑥) · (√‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))
40	36, 38, 38, 39	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / ((√‘𝑥) · (√‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))
41		remsqsqrt 15305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((√‘𝑥) · (√‘𝑥)) = 𝑥)
42	7, 16, 41	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) · (√‘𝑥)) = 𝑥)
43	42	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / ((√‘𝑥) · (√‘𝑥))) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
44	35, 40, 43	3eqtr2d 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
45	44	mpteq2dva 5266	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥)))
46	28, 29, 30, 31, 45	offval2 7734	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))))
47	15	rpne0d 13104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ≠ 0)
48	22	rpcnne0d 13108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))
49	19	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
50		dmdcan 12004	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ) → ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥)) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
51	32, 47, 48, 49, 50	syl211anc 1376	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥)) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
52	51	mpteq2dva 5266	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
53	46, 52	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
54		chto1lb 27540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
55	14	ssriv 4012	. . . . . . . . 9 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
56	55	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
57		1rp 13061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
58		rphalfcl 13084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
60		cxploglim 27039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0)
61	59, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0
62	61	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0)
63	56, 62	rlimres2 15607	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0)
64		o1rlimmul 15665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))) ⇝𝑟 0)
65	54, 63, 64	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))) ⇝𝑟 0)
66	53, 65	eqbrtrrd 5190	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
67	2, 23, 27, 66	rlimadd 15689	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) ⇝𝑟 (1 + 0))
68		1p0e1 12417	. . . 4 ⊢ (1 + 0) = 1
69	67, 68	breqtrdi 5207	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
70		1re 11290	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
71		readdcl 11267	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ) → (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) ∈ ℝ)
72	70, 23, 71	sylancr 586	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) ∈ ℝ)
73		chpcl 27185	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
74	7, 73	syl 17	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
75	74, 22	rerpdivcld 13130	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ)
76		chtcl 27170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
77	7, 76	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
78	77, 19	readdcld 11319	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
79	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
80		1le2 12502	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
81	80	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ≤ 2)
82	2, 79, 7, 81, 20	letrd 11447	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
83		chpub 27282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ≤ ((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))))
84	7, 82, 83	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (ψ‘𝑥) ≤ ((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))))
85	74, 78, 22, 84	lediv1dd 13157	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≤ (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)))
86	22	rpcnd 13101	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
87		divdir 11974	. . . . . . 7 ⊢ (((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0)) → (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)) = (((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
88	86, 49, 48, 87	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)) = (((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
89		divid 11980	. . . . . . . 8 ⊢ (((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) → ((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) = 1)
90	48, 89	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) = 1)
91	90	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
92	88, 91	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)) = (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
93	85, 92	breqtrd 5192	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≤ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
94	93	adantrr 716	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≤ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
95	86	mullidd 11308	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 · (θ‘𝑥)) = (θ‘𝑥))
96		chtlepsi 27268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑥))
97	7, 96	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑥))
98	95, 97	eqbrtrd 5188	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 · (θ‘𝑥)) ≤ (ψ‘𝑥))
99	2, 74, 22	lemuldivd 13148	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((1 · (θ‘𝑥)) ≤ (ψ‘𝑥) ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))))
100	98, 99	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ≤ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))
101	100	adantrr 716	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))
102	1, 1, 69, 72, 75, 94, 101	rlimsqz2 15699	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1)
103	102	mptru 1544	1 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  +∞cpnf 11321   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  2c2 12348  ℝ⁺crp 13057  [,)cico 13409  √csqrt 15282   ⇝_𝑟 crli 15531  𝑂(1)co1 15532  logclog 26614  ↑_𝑐ccxp 26615  θccht 27152  ψcchp 27154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-o1 15536  df-lo1 15537  df-sum 15735  df-ef 16115  df-e 16116  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-pc 16884  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-cxp 26617  df-cht 27158  df-vma 27159  df-chp 27160  df-ppi 27161

This theorem is referenced by:  chpo1ub  27542  pnt2  27675