MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpchtlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpchtlim 27219
Description: The ψ and ΞΈ functions are asymptotic to each other, so is sufficient to prove either ΞΈ(π‘₯) / π‘₯ β‡π‘Ÿ 1 or ψ(π‘₯) / π‘₯ β‡π‘Ÿ 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpchtlim (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 1

Proof of Theorem chpchtlim
StepHypRef Expression
1 1red 11220 . . 3 (⊀ β†’ 1 ∈ ℝ)
2 1red 11220 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ)
3 2re 12291 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
4 elicopnf 13427 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯)))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯))
65simplbi 497 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
76adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8 0red 11222 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 ∈ ℝ)
93a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 2 ∈ ℝ)
10 2pos 12320 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 < 2)
125simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 2 ≀ π‘₯)
138, 9, 6, 11, 12ltletrd 11379 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 < π‘₯)
146, 13elrpd 13018 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1514adantl 481 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1615rpge0d 13025 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
177, 16resqrtcld 15369 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1815relogcld 26368 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1917, 18remulcld 11249 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2012adantl 481 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 2 ≀ π‘₯)
21 chtrpcl 26916 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
227, 20, 21syl2anc 583 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2319, 22rerpdivcld 13052 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
246ssriv 3986 . . . . . 6 (2[,)+∞) βŠ† ℝ
251recnd 11247 . . . . . 6 (⊀ β†’ 1 ∈ β„‚)
26 rlimconst 15493 . . . . . 6 (((2[,)+∞) βŠ† ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1)
2724, 25, 26sylancr 586 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1)
28 ovexd 7447 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (2[,)+∞) ∈ V)
297, 22rerpdivcld 13052 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
30 ovexd 7447 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯) ∈ V)
31 eqidd 2732 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
327recnd 11247 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
33 cxpsqrt 26448 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯↑𝑐(1 / 2)) = (βˆšβ€˜π‘₯))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯↑𝑐(1 / 2)) = (βˆšβ€˜π‘₯))
3534oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))) = ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))
3618recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3715rpsqrtcld 15363 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
3837rpcnne0d 13030 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0))
39 divcan5 11921 . . . . . . . . . . 11 (((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) = ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))
4036, 38, 38, 39syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) = ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))
41 remsqsqrt 15208 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
427, 16, 41syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
4342oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) = (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))
4435, 40, 433eqtr2d 2777 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))) = (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))
4544mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯)))
4628, 29, 30, 31, 45offval2 7694 . . . . . . 7 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)) Β· (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))))
4715rpne0d 13026 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ β‰  0)
4822rpcnne0d 13030 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0))
4919recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
50 dmdcan 11929 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ ((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)) Β· (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯)) = (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
5132, 47, 48, 49, 50syl211anc 1375 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)) Β· (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯)) = (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
5251mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)) Β· (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
5346, 52eqtrd 2771 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
54 chto1lb 27218 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1)
5514ssriv 3986 . . . . . . . . 9 (2[,)+∞) βŠ† ℝ+
5655a1i 11 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (2[,)+∞) βŠ† ℝ+)
57 1rp 12983 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
58 rphalfcl 13006 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ+)
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ+
60 cxploglim 26719 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) β‡π‘Ÿ 0)
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) β‡π‘Ÿ 0
6261a1i 11 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) β‡π‘Ÿ 0)
6356, 62rlimres2 15510 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) β‡π‘Ÿ 0)
64 o1rlimmul 15568 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1) ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) β‡π‘Ÿ 0) β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))))) β‡π‘Ÿ 0)
6554, 63, 64sylancr 586 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))))) β‡π‘Ÿ 0)
6653, 65eqbrtrrd 5172 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 0)
672, 23, 27, 66rlimadd 15592 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ (1 + 0))
68 1p0e1 12341 . . . 4 (1 + 0) = 1
6967, 68breqtrdi 5189 . . 3 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1)
70 1re 11219 . . . 4 1 ∈ ℝ
71 readdcl 11197 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ) β†’ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
7270, 23, 71sylancr 586 . . 3 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
73 chpcl 26865 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
747, 73syl 17 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (Οˆβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7574, 22rerpdivcld 13052 . . 3 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
76 chtcl 26850 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
777, 76syl 17 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7877, 19readdcld 11248 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
793a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 2 ∈ ℝ)
80 1le2 12426 . . . . . . . . 9 1 ≀ 2
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ≀ 2)
822, 79, 7, 81, 20letrd 11376 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
83 chpub 26960 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (Οˆβ€˜π‘₯) ≀ ((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
847, 82, 83syl2anc 583 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (Οˆβ€˜π‘₯) ≀ ((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
8574, 78, 22, 84lediv1dd 13079 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ≀ (((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
8622rpcnd 13023 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
87 divdir 11902 . . . . . . 7 (((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ ((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) = (((ΞΈβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
8886, 49, 48, 87syl3anc 1370 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) = (((ΞΈβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
89 divid 11906 . . . . . . . 8 (((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) = 1)
9048, 89syl 17 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) = 1)
9190oveq1d 7427 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
9288, 91eqtrd 2771 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) = (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
9385, 92breqtrd 5174 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ≀ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
9493adantrr 714 . . 3 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ≀ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
9586mullidd 11237 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 Β· (ΞΈβ€˜π‘₯)) = (ΞΈβ€˜π‘₯))
96 chtlepsi 26946 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ≀ (Οˆβ€˜π‘₯))
977, 96syl 17 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ≀ (Οˆβ€˜π‘₯))
9895, 97eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 Β· (ΞΈβ€˜π‘₯)) ≀ (Οˆβ€˜π‘₯))
992, 74, 22lemuldivd 13070 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((1 Β· (ΞΈβ€˜π‘₯)) ≀ (Οˆβ€˜π‘₯) ↔ 1 ≀ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
10098, 99mpbid 231 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ≀ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
101100adantrr 714 . . 3 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 1 ≀ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
1021, 1, 69, 72, 75, 94, 101rlimsqz2 15602 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 1)
103102mptru 1547 1 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  βŠ€wtru 1541   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∘f cof 7672  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119  +∞cpnf 11250   < clt 11253   ≀ cle 11254   / cdiv 11876  2c2 12272  β„+crp 12979  [,)cico 13331  βˆšcsqrt 15185   β‡π‘Ÿ crli 15434  π‘‚(1)co1 15435  logclog 26300  β†‘𝑐ccxp 26301  ΞΈccht 26832  Οˆcchp 26834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-o1 15439  df-lo1 15440  df-sum 15638  df-ef 16016  df-e 16017  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-cxp 26303  df-cht 26838  df-vma 26839  df-chp 26840  df-ppi 26841
This theorem is referenced by:  chpo1ub  27220  pnt2  27353
  Copyright terms: Public domain W3C validator