MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpchtlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpchtlim 26989
Description: The ψ and ΞΈ functions are asymptotic to each other, so is sufficient to prove either ΞΈ(π‘₯) / π‘₯ β‡π‘Ÿ 1 or ψ(π‘₯) / π‘₯ β‡π‘Ÿ 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpchtlim (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 1

Proof of Theorem chpchtlim
StepHypRef Expression
1 1red 11217 . . 3 (⊀ β†’ 1 ∈ ℝ)
2 1red 11217 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ)
3 2re 12288 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
4 elicopnf 13424 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯)))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯))
65simplbi 498 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
76adantl 482 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8 0red 11219 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 ∈ ℝ)
93a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 2 ∈ ℝ)
10 2pos 12317 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 < 2)
125simprbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 2 ≀ π‘₯)
138, 9, 6, 11, 12ltletrd 11376 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 < π‘₯)
146, 13elrpd 13015 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1514adantl 482 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1615rpge0d 13022 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
177, 16resqrtcld 15366 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1815relogcld 26138 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1917, 18remulcld 11246 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2012adantl 482 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 2 ≀ π‘₯)
21 chtrpcl 26686 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
227, 20, 21syl2anc 584 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2319, 22rerpdivcld 13049 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
246ssriv 3986 . . . . . 6 (2[,)+∞) βŠ† ℝ
251recnd 11244 . . . . . 6 (⊀ β†’ 1 ∈ β„‚)
26 rlimconst 15490 . . . . . 6 (((2[,)+∞) βŠ† ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1)
2724, 25, 26sylancr 587 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1)
28 ovexd 7446 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (2[,)+∞) ∈ V)
297, 22rerpdivcld 13049 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
30 ovexd 7446 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯) ∈ V)
31 eqidd 2733 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
327recnd 11244 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
33 cxpsqrt 26218 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯↑𝑐(1 / 2)) = (βˆšβ€˜π‘₯))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯↑𝑐(1 / 2)) = (βˆšβ€˜π‘₯))
3534oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))) = ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))
3618recnd 11244 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3715rpsqrtcld 15360 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
3837rpcnne0d 13027 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0))
39 divcan5 11918 . . . . . . . . . . 11 (((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) = ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))
4036, 38, 38, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) = ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))
41 remsqsqrt 15205 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
427, 16, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
4342oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) = (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))
4435, 40, 433eqtr2d 2778 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))) = (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))
4544mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯)))
4628, 29, 30, 31, 45offval2 7692 . . . . . . 7 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)) Β· (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))))
4715rpne0d 13023 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ β‰  0)
4822rpcnne0d 13027 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0))
4919recnd 11244 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
50 dmdcan 11926 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ ((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)) Β· (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯)) = (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
5132, 47, 48, 49, 50syl211anc 1376 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)) Β· (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯)) = (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
5251mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)) Β· (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
5346, 52eqtrd 2772 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
54 chto1lb 26988 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1)
5514ssriv 3986 . . . . . . . . 9 (2[,)+∞) βŠ† ℝ+
5655a1i 11 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (2[,)+∞) βŠ† ℝ+)
57 1rp 12980 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
58 rphalfcl 13003 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ+)
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ+
60 cxploglim 26489 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) β‡π‘Ÿ 0)
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) β‡π‘Ÿ 0
6261a1i 11 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) β‡π‘Ÿ 0)
6356, 62rlimres2 15507 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) β‡π‘Ÿ 0)
64 o1rlimmul 15565 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1) ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2)))) β‡π‘Ÿ 0) β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))))) β‡π‘Ÿ 0)
6554, 63, 64sylancr 587 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))))) β‡π‘Ÿ 0)
6653, 65eqbrtrrd 5172 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 0)
672, 23, 27, 66rlimadd 15589 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ (1 + 0))
68 1p0e1 12338 . . . 4 (1 + 0) = 1
6967, 68breqtrdi 5189 . . 3 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1)
70 1re 11216 . . . 4 1 ∈ ℝ
71 readdcl 11195 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ) β†’ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
7270, 23, 71sylancr 587 . . 3 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
73 chpcl 26635 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
747, 73syl 17 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (Οˆβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7574, 22rerpdivcld 13049 . . 3 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
76 chtcl 26620 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
777, 76syl 17 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7877, 19readdcld 11245 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
793a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 2 ∈ ℝ)
80 1le2 12423 . . . . . . . . 9 1 ≀ 2
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ≀ 2)
822, 79, 7, 81, 20letrd 11373 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
83 chpub 26730 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (Οˆβ€˜π‘₯) ≀ ((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
847, 82, 83syl2anc 584 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (Οˆβ€˜π‘₯) ≀ ((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
8574, 78, 22, 84lediv1dd 13076 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ≀ (((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
8622rpcnd 13020 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
87 divdir 11899 . . . . . . 7 (((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ ((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) = (((ΞΈβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
8886, 49, 48, 87syl3anc 1371 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) = (((ΞΈβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
89 divid 11903 . . . . . . . 8 (((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) = 1)
9048, 89syl 17 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) = 1)
9190oveq1d 7426 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
9288, 91eqtrd 2772 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) + ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) = (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
9385, 92breqtrd 5174 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ≀ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
9493adantrr 715 . . 3 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ≀ (1 + (((βˆšβ€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
9586mullidd 11234 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 Β· (ΞΈβ€˜π‘₯)) = (ΞΈβ€˜π‘₯))
96 chtlepsi 26716 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ≀ (Οˆβ€˜π‘₯))
977, 96syl 17 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ≀ (Οˆβ€˜π‘₯))
9895, 97eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 Β· (ΞΈβ€˜π‘₯)) ≀ (Οˆβ€˜π‘₯))
992, 74, 22lemuldivd 13067 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((1 Β· (ΞΈβ€˜π‘₯)) ≀ (Οˆβ€˜π‘₯) ↔ 1 ≀ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
10098, 99mpbid 231 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ≀ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
101100adantrr 715 . . 3 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 1 ≀ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
1021, 1, 69, 72, 75, 94, 101rlimsqz2 15599 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 1)
103102mptru 1548 1 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11247   < clt 11250   ≀ cle 11251   / cdiv 11873  2c2 12269  β„+crp 12976  [,)cico 13328  βˆšcsqrt 15182   β‡π‘Ÿ crli 15431  π‘‚(1)co1 15432  logclog 26070  β†‘𝑐ccxp 26071  ΞΈccht 26602  Οˆcchp 26604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-o1 15436  df-lo1 15437  df-sum 15635  df-ef 16013  df-e 16014  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-pc 16772  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-cxp 26073  df-cht 26608  df-vma 26609  df-chp 26610  df-ppi 26611
This theorem is referenced by:  chpo1ub  26990  pnt2  27123
  Copyright terms: Public domain W3C validator