Theorem lo1res2 15534

Description: The restriction of a function is eventually bounded if the original is. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimres2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
lo1res2.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))

Assertion

Ref	Expression
lo1res2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem lo1res2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimres2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2	1	resmptd 6013	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
3		lo1res2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
4		lo1res 15531	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ∈ ≤𝑂(1))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ∈ ≤𝑂(1))
6	2, 5	eqeltrrd 2830	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3916   ↦ cmpt 5190   ↾ cres 5642  ≤𝑂(1)clo1 15459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-er 8673  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-ico 13318  df-lo1 15463

This theorem is referenced by: (None)