MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1res2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1res2 15539
Description: The restriction of a function is eventually bounded if the original is. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimres2.1 (𝜑𝐴𝐵)
lo1res2.2 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
lo1res2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem lo1res2
StepHypRef Expression
1 rlimres2.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
21resmptd 6044 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴𝐶))
3 lo1res2.2 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
4 lo1res 15536 . . 3 ((𝑥𝐵𝐶) ∈ ≤𝑂(1) → ((𝑥𝐵𝐶) ↾ 𝐴) ∈ ≤𝑂(1))
53, 4syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ↾ 𝐴) ∈ ≤𝑂(1))
62, 5eqeltrrd 2830 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2099  wss 3947  cmpt 5231  cres 5680  ≤𝑂(1)clo1 15464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-ico 13363  df-lo1 15468
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator