Theorem lo1res2 15595

Description: The restriction of a function is eventually bounded if the original is. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimres2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
lo1res2.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))

Assertion

Ref	Expression
lo1res2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem lo1res2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimres2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2	1	resmptd 6060	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
3		lo1res2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
4		lo1res 15592	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ∈ ≤𝑂(1))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ∈ ≤𝑂(1))
6	2, 5	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5691  ≤𝑂(1)clo1 15520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ico 13390  df-lo1 15524

This theorem is referenced by: (None)