MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtppilimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtppilimlem2 25977
Description: Lemma for chtppilim 25978. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
chtppilim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
chtppilim.2 (𝜑𝐴 < 1)
Assertion
Ref Expression
chtppilimlem2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem chtppilimlem2
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (2[,)+∞))
2 2re 11699 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3 elicopnf 12821 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
51, 4sylib 219 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
65simpld 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 0red 10632 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
82a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
9 2pos 11728 . . . . . . . . 9 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 2)
115simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ≤ 𝑥)
127, 8, 6, 10, 11ltletrd 10788 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
136, 12elrpd 12416 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
14 chtppilim.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1514rpred 12419 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1615adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1713, 16rpcxpcld 25242 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
18 ppinncl 25678 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
195, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π𝑥) ∈ ℕ)
2019nnrpd 12417 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
2117, 20rpdivcld 12436 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) ∈ ℝ+)
2221ralrimiva 3179 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) ∈ ℝ+)
23 chtppilim.2 . . . 4 (𝜑𝐴 < 1)
24 1re 10629 . . . . 5 1 ∈ ℝ
25 difrp 12415 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
2615, 24, 25sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
2723, 26mpbid 233 . . 3 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
28 ovexd 7180 . . . . . 6 (𝜑 → (2[,)+∞) ∈ V)
2924a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
30 1lt2 11796 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 2)
3229, 8, 6, 31, 11ltletrd 10788 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 𝑥)
336, 32rplogcld 25139 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
3413, 33rpdivcld 12436 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
3534, 20rpdivcld 12436 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+)
3627adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
3736rpred 12419 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℝ)
3813, 37rpcxpcld 25242 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
3933, 38rpdivcld 12436 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℝ+)
40 eqidd 2819 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))))
41 eqidd 2819 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))))
4228, 35, 39, 40, 41offval2 7415 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))))
4334rpcnd 12421 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
4439rpcnd 12421 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℂ)
4520rpcnne0d 12428 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π𝑥) ∈ ℂ ∧ (π𝑥) ≠ 0))
46 div23 11305 . . . . . . . 8 (((𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((π𝑥) ∈ ℂ ∧ (π𝑥) ≠ 0)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) / (π𝑥)) = (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))))
4743, 44, 45, 46syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) / (π𝑥)) = (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))))
4833rpcnne0d 12428 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
4938rpcnne0d 12428 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ≠ 0))
506recnd 10657 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
51 dmdcan 11338 . . . . . . . . . 10 ((((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑥 / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑥 / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
5343, 44mulcomd 10650 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) = (((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))))
5413rpcnne0d 12428 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
55 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
5736rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
58 cxpsub 25192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℂ) → (𝑥𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = ((𝑥𝑐1) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
5954, 56, 57, 58syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = ((𝑥𝑐1) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
6016recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℂ)
61 nncan 10903 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
6255, 60, 61sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
6362oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = (𝑥𝑐𝐴))
6459, 63eqtr3d 2855 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐1) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) = (𝑥𝑐𝐴))
6550cxp1d 25216 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
6665oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐1) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) = (𝑥 / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
6764, 66eqtr3d 2855 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐𝐴) = (𝑥 / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
6852, 53, 673eqtr4d 2863 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) = (𝑥𝑐𝐴))
6968oveq1d 7160 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) / (π𝑥)) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
7047, 69eqtr3d 2855 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
7170mpteq2dva 5152 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))))
7242, 71eqtrd 2853 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))))
73 chebbnd1 25975 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1)
7413ex 413 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+))
7574ssrdv 3970 . . . . . 6 (𝜑 → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
76 cxploglim 25482 . . . . . . 7 ((1 − 𝐴) ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
7727, 76syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
7875, 77rlimres2 14906 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
79 o1rlimmul 14963 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) ⇝𝑟 0)
8073, 78, 79sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) ⇝𝑟 0)
8172, 80eqbrtrrd 5081 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))) ⇝𝑟 0)
8222, 27, 81rlimi 14858 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)))
8321rpcnd 12421 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) ∈ ℂ)
8483subid1d 10974 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
8584fveq2d 6667 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) = (abs‘((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))))
8621rpred 12419 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) ∈ ℝ)
8721rpge0d 12423 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ≤ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
8886, 87absidd 14770 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
8985, 88eqtrd 2853 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
9089breq1d 5067 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴) ↔ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴)))
9114adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9223adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝐴 < 1)
93 simprl 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝑥 ∈ (2[,)+∞))
94 simprr 769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))
9591, 92, 93, 94chtppilimlem1 25976 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))
9695expr 457 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴) → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
9790, 96sylbid 241 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴) → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
9897imim2d 57 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑧𝑥 → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → (𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
9998ralimdva 3174 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
10099reximdv 3270 . 2 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
10182, 100mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530  +∞cpnf 10660   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  +crp 12377  [,)cico 12728  cexp 13417  abscabs 14581  𝑟 crli 14830  𝑂(1)co1 14831  logclog 25065  𝑐ccxp 25066  θccht 25595  πcppi 25598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-o1 14835  df-lo1 14836  df-sum 15031  df-ef 15409  df-e 15410  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-pc 16162  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-cxp 25068  df-cht 25601  df-ppi 25604
This theorem is referenced by:  chtppilim  25978
  Copyright terms: Public domain W3C validator