MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtppilimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtppilimlem2 25964
Description: Lemma for chtppilim 25965. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
chtppilim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
chtppilim.2 (𝜑𝐴 < 1)
Assertion
Ref Expression
chtppilimlem2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem chtppilimlem2
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (2[,)+∞))
2 2re 11700 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3 elicopnf 12823 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
51, 4sylib 219 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
65simpld 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 0red 10633 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
82a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
9 2pos 11729 . . . . . . . . 9 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 2)
115simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ≤ 𝑥)
127, 8, 6, 10, 11ltletrd 10789 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
136, 12elrpd 12418 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
14 chtppilim.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1514rpred 12421 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1615adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1713, 16rpcxpcld 25228 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
18 ppinncl 25665 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
195, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π𝑥) ∈ ℕ)
2019nnrpd 12419 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
2117, 20rpdivcld 12438 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) ∈ ℝ+)
2221ralrimiva 3187 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) ∈ ℝ+)
23 chtppilim.2 . . . 4 (𝜑𝐴 < 1)
24 1re 10630 . . . . 5 1 ∈ ℝ
25 difrp 12417 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
2615, 24, 25sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
2723, 26mpbid 233 . . 3 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
28 ovexd 7183 . . . . . 6 (𝜑 → (2[,)+∞) ∈ V)
2924a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
30 1lt2 11797 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 2)
3229, 8, 6, 31, 11ltletrd 10789 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 𝑥)
336, 32rplogcld 25125 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
3413, 33rpdivcld 12438 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
3534, 20rpdivcld 12438 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+)
3627adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
3736rpred 12421 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℝ)
3813, 37rpcxpcld 25228 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
3933, 38rpdivcld 12438 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℝ+)
40 eqidd 2827 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))))
41 eqidd 2827 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))))
4228, 35, 39, 40, 41offval2 7416 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))))
4334rpcnd 12423 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
4439rpcnd 12423 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℂ)
4520rpcnne0d 12430 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π𝑥) ∈ ℂ ∧ (π𝑥) ≠ 0))
46 div23 11306 . . . . . . . 8 (((𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((π𝑥) ∈ ℂ ∧ (π𝑥) ≠ 0)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) / (π𝑥)) = (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))))
4743, 44, 45, 46syl3anc 1365 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) / (π𝑥)) = (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))))
4833rpcnne0d 12430 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
4938rpcnne0d 12430 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ≠ 0))
506recnd 10658 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
51 dmdcan 11339 . . . . . . . . . 10 ((((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑥 / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑥 / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
5343, 44mulcomd 10651 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) = (((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))))
5413rpcnne0d 12430 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
55 ax-1cn 10584 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
5736rpcnd 12423 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
58 cxpsub 25178 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℂ) → (𝑥𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = ((𝑥𝑐1) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
5954, 56, 57, 58syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = ((𝑥𝑐1) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
6016recnd 10658 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℂ)
61 nncan 10904 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
6255, 60, 61sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
6362oveq2d 7164 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = (𝑥𝑐𝐴))
6459, 63eqtr3d 2863 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐1) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) = (𝑥𝑐𝐴))
6550cxp1d 25202 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
6665oveq1d 7163 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐1) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) = (𝑥 / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
6764, 66eqtr3d 2863 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐𝐴) = (𝑥 / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
6852, 53, 673eqtr4d 2871 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) = (𝑥𝑐𝐴))
6968oveq1d 7163 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) / (π𝑥)) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
7047, 69eqtr3d 2863 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
7170mpteq2dva 5158 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))))
7242, 71eqtrd 2861 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))))
73 chebbnd1 25962 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1)
7413ex 413 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+))
7574ssrdv 3977 . . . . . 6 (𝜑 → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
76 cxploglim 25469 . . . . . . 7 ((1 − 𝐴) ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
7727, 76syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
7875, 77rlimres2 14908 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
79 o1rlimmul 14965 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) ⇝𝑟 0)
8073, 78, 79sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) ⇝𝑟 0)
8172, 80eqbrtrrd 5087 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))) ⇝𝑟 0)
8222, 27, 81rlimi 14860 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)))
8321rpcnd 12423 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) ∈ ℂ)
8483subid1d 10975 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
8584fveq2d 6671 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) = (abs‘((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))))
8621rpred 12421 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) ∈ ℝ)
8721rpge0d 12425 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ≤ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
8886, 87absidd 14772 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
8985, 88eqtrd 2861 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
9089breq1d 5073 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴) ↔ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴)))
9114adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9223adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝐴 < 1)
93 simprl 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝑥 ∈ (2[,)+∞))
94 simprr 769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))
9591, 92, 93, 94chtppilimlem1 25963 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))
9695expr 457 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴) → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
9790, 96sylbid 241 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴) → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
9897imim2d 57 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑧𝑥 → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → (𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
9998ralimdva 3182 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
10099reximdv 3278 . 2 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
10182, 100mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  wrex 3144  Vcvv 3500   class class class wbr 5063  cmpt 5143  cfv 6352  (class class class)co 7148  f cof 7397  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531  +∞cpnf 10661   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11627  2c2 11681  +crp 12379  [,)cico 12730  cexp 13419  abscabs 14583  𝑟 crli 14832  𝑂(1)co1 14833  logclog 25051  𝑐ccxp 25052  θccht 25582  πcppi 25585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-o1 14837  df-lo1 14838  df-sum 15033  df-ef 15411  df-e 15412  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-dvds 15598  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-pc 16164  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lp 21660  df-perf 21661  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-haus 21839  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cncf 23401  df-limc 24379  df-dv 24380  df-log 25053  df-cxp 25054  df-cht 25588  df-ppi 25591
This theorem is referenced by:  chtppilim  25965
  Copyright terms: Public domain W3C validator