MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtppilimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtppilimlem2 27319
Description: Lemma for chtppilim 27320. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
chtppilim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
chtppilim.2 (𝜑𝐴 < 1)
Assertion
Ref Expression
chtppilimlem2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem chtppilimlem2
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (2[,)+∞))
2 2re 12293 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3 elicopnf 13429 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
51, 4sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
65simpld 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 0red 11224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
82a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
9 2pos 12322 . . . . . . . . 9 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 2)
115simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ≤ 𝑥)
127, 8, 6, 10, 11ltletrd 11381 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
136, 12elrpd 13020 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
14 chtppilim.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1514rpred 13023 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1713, 16rpcxpcld 26580 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
18 ppinncl 27018 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
195, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π𝑥) ∈ ℕ)
2019nnrpd 13021 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
2117, 20rpdivcld 13040 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) ∈ ℝ+)
2221ralrimiva 3145 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) ∈ ℝ+)
23 chtppilim.2 . . . 4 (𝜑𝐴 < 1)
24 1re 11221 . . . . 5 1 ∈ ℝ
25 difrp 13019 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
2615, 24, 25sylancl 585 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
2723, 26mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
28 ovexd 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (2[,)+∞) ∈ V)
2924a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
30 1lt2 12390 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 2)
3229, 8, 6, 31, 11ltletrd 11381 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 𝑥)
336, 32rplogcld 26476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
3413, 33rpdivcld 13040 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
3534, 20rpdivcld 13040 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+)
3627adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
3736rpred 13023 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℝ)
3813, 37rpcxpcld 26580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
3933, 38rpdivcld 13040 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℝ+)
40 eqidd 2732 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))))
41 eqidd 2732 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))))
4228, 35, 39, 40, 41offval2 7694 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))))
4334rpcnd 13025 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
4439rpcnd 13025 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℂ)
4520rpcnne0d 13032 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π𝑥) ∈ ℂ ∧ (π𝑥) ≠ 0))
46 div23 11898 . . . . . . . 8 (((𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((π𝑥) ∈ ℂ ∧ (π𝑥) ≠ 0)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) / (π𝑥)) = (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))))
4743, 44, 45, 46syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) / (π𝑥)) = (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))))
4833rpcnne0d 13032 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
4938rpcnne0d 13032 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ≠ 0))
506recnd 11249 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
51 dmdcan 11931 . . . . . . . . . 10 ((((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑥 / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑥 / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
5343, 44mulcomd 11242 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) = (((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))))
5413rpcnne0d 13032 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
55 ax-1cn 11174 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
5736rpcnd 13025 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
58 cxpsub 26529 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℂ) → (𝑥𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = ((𝑥𝑐1) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
5954, 56, 57, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = ((𝑥𝑐1) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
6016recnd 11249 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℂ)
61 nncan 11496 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
6255, 60, 61sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
6362oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = (𝑥𝑐𝐴))
6459, 63eqtr3d 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐1) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) = (𝑥𝑐𝐴))
6550cxp1d 26553 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
6665oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐1) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) = (𝑥 / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
6764, 66eqtr3d 2773 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐𝐴) = (𝑥 / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
6852, 53, 673eqtr4d 2781 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) = (𝑥𝑐𝐴))
6968oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) / (π𝑥)) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
7047, 69eqtr3d 2773 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
7170mpteq2dva 5248 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))))
7242, 71eqtrd 2771 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))))
73 chebbnd1 27317 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1)
7413ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+))
7574ssrdv 3988 . . . . . 6 (𝜑 → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
76 cxploglim 26822 . . . . . . 7 ((1 − 𝐴) ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
7727, 76syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
7875, 77rlimres2 15512 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
79 o1rlimmul 15570 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) ⇝𝑟 0)
8073, 78, 79sylancr 586 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) ⇝𝑟 0)
8172, 80eqbrtrrd 5172 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))) ⇝𝑟 0)
8222, 27, 81rlimi 15464 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)))
8321rpcnd 13025 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) ∈ ℂ)
8483subid1d 11567 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
8584fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) = (abs‘((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))))
8621rpred 13023 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) ∈ ℝ)
8721rpge0d 13027 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ≤ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
8886, 87absidd 15376 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
8985, 88eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
9089breq1d 5158 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴) ↔ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴)))
9114adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9223adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝐴 < 1)
93 simprl 768 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝑥 ∈ (2[,)+∞))
94 simprr 770 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))
9591, 92, 93, 94chtppilimlem1 27318 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))
9695expr 456 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴) → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
9790, 96sylbid 239 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴) → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
9897imim2d 57 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑧𝑥 → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → (𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
9998ralimdva 3166 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
10099reximdv 3169 . 2 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
10182, 100mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3473   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7412  f cof 7672  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   · cmul 11121  +∞cpnf 11252   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451   / cdiv 11878  cn 12219  2c2 12274  +crp 12981  [,)cico 13333  cexp 14034  abscabs 15188  𝑟 crli 15436  𝑂(1)co1 15437  logclog 26402  𝑐ccxp 26403  θccht 26935  πcppi 26938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-o1 15441  df-lo1 15442  df-sum 15640  df-ef 16018  df-e 16019  df-sin 16020  df-cos 16021  df-pi 16023  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16777  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21224  df-xmet 21225  df-met 21226  df-bl 21227  df-mopn 21228  df-fbas 21229  df-fg 21230  df-cnfld 21233  df-top 22715  df-topon 22732  df-topsp 22754  df-bases 22768  df-cld 22842  df-ntr 22843  df-cls 22844  df-nei 22921  df-lp 22959  df-perf 22960  df-cn 23050  df-cnp 23051  df-haus 23138  df-tx 23385  df-hmeo 23578  df-fil 23669  df-fm 23761  df-flim 23762  df-flf 23763  df-xms 24145  df-ms 24146  df-tms 24147  df-cncf 24717  df-limc 25714  df-dv 25715  df-log 26404  df-cxp 26405  df-cht 26941  df-ppi 26944
This theorem is referenced by:  chtppilim  27320
  Copyright terms: Public domain W3C validator