MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtppilimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtppilimlem2 26838
Description: Lemma for chtppilim 26839. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
chtppilim.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
chtppilim.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 1)
Assertion
Ref Expression
chtppilimlem2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ ((𝐴↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐴   πœ‘,π‘₯,𝑧

Proof of Theorem chtppilimlem2
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ (2[,)+∞))
2 2re 12234 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3 elicopnf 13369 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯)))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯))
51, 4sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯))
65simpld 496 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
7 0red 11165 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 0 ∈ ℝ)
82a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 2 ∈ ℝ)
9 2pos 12263 . . . . . . . . 9 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 0 < 2)
115simprd 497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 2 ≀ π‘₯)
127, 8, 6, 10, 11ltletrd 11322 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 0 < π‘₯)
136, 12elrpd 12961 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
14 chtppilim.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
1514rpred 12964 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1615adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1713, 16rpcxpcld 26103 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
18 ppinncl 26539 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„•)
195, 18syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„•)
2019nnrpd 12962 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2117, 20rpdivcld 12981 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
2221ralrimiva 3144 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
23 chtppilim.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 1)
24 1re 11162 . . . . 5 1 ∈ ℝ
25 difrp 12960 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+))
2615, 24, 25sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+))
2723, 26mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+)
28 ovexd 7397 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2[,)+∞) ∈ V)
2924a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ)
30 1lt2 12331 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 < 2)
3229, 8, 6, 31, 11ltletrd 11322 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 < π‘₯)
336, 32rplogcld 26000 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
3413, 33rpdivcld 12981 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
3534, 20rpdivcld 12981 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
3627adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+)
3736rpred 12964 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
3813, 37rpcxpcld 26103 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ+)
3933, 38rpdivcld 12981 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))) ∈ ℝ+)
40 eqidd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))))
41 eqidd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)))))
4228, 35, 39, 40, 41offval2 7642 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯)) Β· ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))))))
4334rpcnd 12966 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4439rpcnd 12966 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))) ∈ β„‚)
4520rpcnne0d 12973 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (Ο€β€˜π‘₯) β‰  0))
46 div23 11839 . . . . . . . 8 (((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))) ∈ β„‚ ∧ ((Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (Ο€β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) Β· ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)))) / (Ο€β€˜π‘₯)) = (((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯)) Β· ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)))))
4743, 44, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) Β· ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)))) / (Ο€β€˜π‘₯)) = (((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯)) Β· ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)))))
4833rpcnne0d 12973 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜π‘₯) β‰  0))
4938rpcnne0d 12973 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)) β‰  0))
506recnd 11190 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
51 dmdcan 11872 . . . . . . . . . 10 ((((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ ((π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)) β‰  0) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))) Β· (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))) Β· (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))))
5343, 44mulcomd 11183 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) Β· ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)))) = (((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))) Β· (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯))))
5413rpcnne0d 12973 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
55 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„‚
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ∈ β„‚)
5736rpcnd 12966 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
58 cxpsub 26053 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝐴))) = ((π‘₯↑𝑐1) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))))
5954, 56, 57, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝐴))) = ((π‘₯↑𝑐1) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))))
6016recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
61 nncan 11437 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝐴)) = 𝐴)
6255, 60, 61sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝐴)) = 𝐴)
6362oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝐴))) = (π‘₯↑𝑐𝐴))
6459, 63eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((π‘₯↑𝑐1) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))) = (π‘₯↑𝑐𝐴))
6550cxp1d 26077 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯↑𝑐1) = π‘₯)
6665oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((π‘₯↑𝑐1) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))) = (π‘₯ / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))))
6764, 66eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯↑𝑐𝐴) = (π‘₯ / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))))
6852, 53, 673eqtr4d 2787 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) Β· ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)))) = (π‘₯↑𝑐𝐴))
6968oveq1d 7377 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) Β· ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)))) / (Ο€β€˜π‘₯)) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)))
7047, 69eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯)) Β· ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)))) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)))
7170mpteq2dva 5210 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯)) Β· ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯))))
7242, 71eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯))))
73 chebbnd1 26836 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1)
7413ex 414 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+))
7574ssrdv 3955 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2[,)+∞) βŠ† ℝ+)
76 cxploglim 26343 . . . . . . 7 ((1 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)))) β‡π‘Ÿ 0)
7727, 76syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)))) β‡π‘Ÿ 0)
7875, 77rlimres2 15450 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)))) β‡π‘Ÿ 0)
79 o1rlimmul 15508 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1) ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴)))) β‡π‘Ÿ 0) β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))))) β‡π‘Ÿ 0)
8073, 78, 79sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (π‘₯↑𝑐(1 βˆ’ 𝐴))))) β‡π‘Ÿ 0)
8172, 80eqbrtrrd 5134 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 0)
8222, 27, 81rlimi 15402 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) βˆ’ 0)) < (1 βˆ’ 𝐴)))
8321rpcnd 12966 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
8483subid1d 11508 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) βˆ’ 0) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)))
8584fveq2d 6851 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (absβ€˜(((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) βˆ’ 0)) = (absβ€˜((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯))))
8621rpred 12964 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
8721rpge0d 12968 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 0 ≀ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)))
8886, 87absidd 15314 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (absβ€˜((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯))) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)))
8985, 88eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (absβ€˜(((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) βˆ’ 0)) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)))
9089breq1d 5120 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((absβ€˜(((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) βˆ’ 0)) < (1 βˆ’ 𝐴) ↔ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) < (1 βˆ’ 𝐴)))
9114adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ∧ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) < (1 βˆ’ 𝐴))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
9223adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ∧ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) < (1 βˆ’ 𝐴))) β†’ 𝐴 < 1)
93 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ∧ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) < (1 βˆ’ 𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ (2[,)+∞))
94 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ∧ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) < (1 βˆ’ 𝐴))) β†’ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) < (1 βˆ’ 𝐴))
9591, 92, 93, 94chtppilimlem1 26837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ∧ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) < (1 βˆ’ 𝐴))) β†’ ((𝐴↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯))
9695expr 458 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) < (1 βˆ’ 𝐴) β†’ ((𝐴↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯)))
9790, 96sylbid 239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((absβ€˜(((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) βˆ’ 0)) < (1 βˆ’ 𝐴) β†’ ((𝐴↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯)))
9897imim2d 57 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) βˆ’ 0)) < (1 βˆ’ 𝐴)) β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ β†’ ((𝐴↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯))))
9998ralimdva 3165 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) βˆ’ 0)) < (1 βˆ’ 𝐴)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ ((𝐴↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯))))
10099reximdv 3168 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(((π‘₯↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘₯)) βˆ’ 0)) < (1 βˆ’ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ ((𝐴↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯))))
10182, 100mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ ((𝐴↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„+crp 12922  [,)cico 13273  β†‘cexp 13974  abscabs 15126   β‡π‘Ÿ crli 15374  π‘‚(1)co1 15375  logclog 25926  β†‘𝑐ccxp 25927  ΞΈccht 26456  Ο€cppi 26459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-cht 26462  df-ppi 26465
This theorem is referenced by:  chtppilim  26839
  Copyright terms: Public domain W3C validator