Theorem chtppilimlem2 27596

Description: Lemma for chtppilim 27597. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
chtppilim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
chtppilim.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)

Assertion

Ref	Expression
chtppilimlem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem chtppilimlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12306	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		elicopnf 13463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
4	3	bilani 509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
5	4	simpld 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6		0red 11199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
7	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
8		2pos 12336	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 2)
10	4	simprd 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ≤ 𝑥)
11	6, 7, 5, 9, 10	ltletrd 11358	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
12	5, 11	elrpd 13048	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13		chtppilim.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
14	13	rpred 13051	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	12, 15	rpcxpcld 26856	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
17		ppinncl 27296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
18	4, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
19	18	nnrpd 13049	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
20	16, 19	rpdivcld 13068	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+)
21	20	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+)
22		chtppilim.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
23		1re 11196	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
24		difrp 13047	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
25	14, 23, 24	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
26	22, 25	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
27		ovexd 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2[,)+∞) ∈ V)
28	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
29		1lt2 12404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 2)
31	28, 7, 5, 30, 10	ltletrd 11358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 𝑥)
32	5, 31	rplogcld 26752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
33	12, 32	rpdivcld 13068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
34	33, 19	rpdivcld 13068	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+)
35	26	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
36	35	rpred 13051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℝ)
37	12, 36	rpcxpcld 26856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
38	32, 37	rpdivcld 13068	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℝ+)
39		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))))
40		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))))
41	27, 34, 38, 39, 40	offval2 7684	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))))
42	33	rpcnd 13053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
43	38	rpcnd 13053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℂ)
44	19	rpcnne0d 13060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (π‘𝑥) ≠ 0))
45		div23 11879	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((π‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (π‘𝑥) ≠ 0)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) / (π‘𝑥)) = (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))))
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) / (π‘𝑥)) = (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))))
47	32	rpcnne0d 13060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
48	37	rpcnne0d 13060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)) ≠ 0))
49	5	recnd 11225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
50		dmdcan 11916	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑥 / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
51	47, 48, 49, 50	syl3anc 1394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑥 / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
52	42, 43	mulcomd 11218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) = (((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))))
53	12	rpcnne0d 13060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
54		ax-1cn 11146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
56	35	rpcnd 13053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
57		cxpsub 26805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℂ) → (𝑥↑𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = ((𝑥↑𝑐1) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
58	53, 55, 56, 57	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = ((𝑥↑𝑐1) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
59	15	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℂ)
60		nncan 11475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
61	54, 59, 60	sylancr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
62	61	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = (𝑥↑𝑐𝐴))
63	58, 62	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐1) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) = (𝑥↑𝑐𝐴))
64	49	cxp1d 26829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
65	64	oveq1d 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐1) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) = (𝑥 / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
66	63, 65	eqtr3d 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐𝐴) = (𝑥 / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
67	51, 52, 66	3eqtr4d 2810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) = (𝑥↑𝑐𝐴))
68	67	oveq1d 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) / (π‘𝑥)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
69	46, 68	eqtr3d 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
70	69	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥))))
71	41, 70	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥))))
72		chebbnd1 27594	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
73	12	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+))
74	73	ssrdv 3945	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
75		cxploglim 27100	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − 𝐴) ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
76	26, 75	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
77	74, 76	rlimres2 15602	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
78		o1rlimmul 15660	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))) ⇝𝑟 0)
79	72, 77, 78	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))) ⇝𝑟 0)
80	71, 79	eqbrtrrd 5129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
81	21, 26, 80	rlimi 15554	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)))
82	20	rpcnd 13053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) ∈ ℂ)
83	82	subid1d 11546	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
84	83	fveq2d 6875	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) = (abs‘((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥))))
85	20	rpred 13051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ)
86	20	rpge0d 13055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ≤ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
87	85, 86	absidd 15464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥))) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
88	84, 87	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
89	88	breq1d 5115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴) ↔ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴)))
90	13	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
91	22	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝐴 < 1)
92		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝑥 ∈ (2[,)+∞))
93		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))
94	90, 91, 92, 93	chtppilimlem1 27595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))) → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))
95	94	expr 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴) → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
96	89, 95	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴) → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
97	96	imim2d 58	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
98	97	ralimdva 3177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
99	98	reximdv 3180	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
100	81, 99	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3457   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_f cof 7662  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093  +∞cpnf 11228   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429   / cdiv 11859  ℕcn 12224  2c2 12286  ℝ⁺crp 13007  [,)cico 13365  ↑cexp 14088  abscabs 15275   ⇝_𝑟 crli 15526  𝑂(1)co1 15527  logclog 26677  ↑_𝑐ccxp 26678  θccht 27213  πcppi 27216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ioc 13368  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14301  df-bc 14330  df-hash 14358  df-shft 15094  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-limsup 15512  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-o1 15531  df-lo1 15532  df-sum 15728  df-ef 16111  df-e 16112  df-sin 16113  df-cos 16114  df-pi 16116  df-dvds 16301  df-gcd 16543  df-prm 16720  df-pc 16887  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-lp 23254  df-perf 23255  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-haus 23433  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cncf 24998  df-limc 25986  df-dv 25987  df-log 26679  df-cxp 26680  df-cht 27219  df-ppi 27222

This theorem is referenced by:  chtppilim  27597