Theorem chtppilimlem2 27462

Description: Lemma for chtppilim 27463. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
chtppilim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
chtppilim.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)

Assertion

Ref	Expression
chtppilimlem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem chtppilimlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12253	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		elicopnf 13396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
4	3	bilani 505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
5	4	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6		0red 11145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
7	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
8		2pos 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 2)
10	4	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ≤ 𝑥)
11	6, 7, 5, 9, 10	ltletrd 11304	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
12	5, 11	elrpd 12981	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13		chtppilim.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
14	13	rpred 12984	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	12, 15	rpcxpcld 26722	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
17		ppinncl 27162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
18	4, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
19	18	nnrpd 12982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
20	16, 19	rpdivcld 13001	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+)
21	20	ralrimiva 3132	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+)
22		chtppilim.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
23		1re 11142	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
24		difrp 12980	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
25	14, 23, 24	sylancl 592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
26	22, 25	mpbid 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
27		ovexd 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2[,)+∞) ∈ V)
28	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
29		1lt2 12345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 2)
31	28, 7, 5, 30, 10	ltletrd 11304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 𝑥)
32	5, 31	rplogcld 26618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
33	12, 32	rpdivcld 13001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
34	33, 19	rpdivcld 13001	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+)
35	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
36	35	rpred 12984	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℝ)
37	12, 36	rpcxpcld 26722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
38	32, 37	rpdivcld 13001	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℝ+)
39		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))))
40		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))))
41	27, 34, 38, 39, 40	offval2 7647	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))))
42	33	rpcnd 12986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
43	38	rpcnd 12986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℂ)
44	19	rpcnne0d 12993	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (π‘𝑥) ≠ 0))
45		div23 11826	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((π‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (π‘𝑥) ≠ 0)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) / (π‘𝑥)) = (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))))
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) / (π‘𝑥)) = (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))))
47	32	rpcnne0d 12993	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
48	37	rpcnne0d 12993	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)) ≠ 0))
49	5	recnd 11171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
50		dmdcan 11863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑥 / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
51	47, 48, 49, 50	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑥 / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
52	42, 43	mulcomd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) = (((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))))
53	12	rpcnne0d 12993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
54		ax-1cn 11094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
56	35	rpcnd 12986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
57		cxpsub 26671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℂ) → (𝑥↑𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = ((𝑥↑𝑐1) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
58	53, 55, 56, 57	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = ((𝑥↑𝑐1) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
59	15	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℂ)
60		nncan 11421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
61	54, 59, 60	sylancr 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
62	61	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = (𝑥↑𝑐𝐴))
63	58, 62	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐1) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) = (𝑥↑𝑐𝐴))
64	49	cxp1d 26695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
65	64	oveq1d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐1) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))) = (𝑥 / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
66	63, 65	eqtr3d 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥↑𝑐𝐴) = (𝑥 / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))
67	51, 52, 66	3eqtr4d 2785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) = (𝑥↑𝑐𝐴))
68	67	oveq1d 7378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) / (π‘𝑥)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
69	46, 68	eqtr3d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
70	69	mpteq2dva 5172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥))))
71	41, 70	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥))))
72		chebbnd1 27460	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
73	12	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+))
74	73	ssrdv 3928	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
75		cxploglim 26966	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − 𝐴) ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
76	26, 75	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
77	74, 76	rlimres2 15521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
78		o1rlimmul 15579	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))) ⇝𝑟 0)
79	72, 77, 78	sylancr 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐(1 − 𝐴))))) ⇝𝑟 0)
80	71, 79	eqbrtrrd 5103	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
81	21, 26, 80	rlimi 15473	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)))
82	20	rpcnd 12986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) ∈ ℂ)
83	82	subid1d 11492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
84	83	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) = (abs‘((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥))))
85	20	rpred 12984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ)
86	20	rpge0d 12988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ≤ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
87	85, 86	absidd 15383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥))) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
88	84, 87	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)))
89	88	breq1d 5089	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴) ↔ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴)))
90	13	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
91	22	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝐴 < 1)
92		simprl 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝑥 ∈ (2[,)+∞))
93		simprr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))
94	90, 91, 92, 93	chtppilimlem1 27461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴))) → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))
95	94	expr 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) < (1 − 𝐴) → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
96	89, 95	sylbid 241	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴) → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
97	96	imim2d 57	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
98	97	ralimdva 3152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
99	98	reximdv 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((𝑥↑𝑐𝐴) / (π‘𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
100	81, 99	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  Vcvv 3432   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041  +∞cpnf 11174   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375   / cdiv 11805  ℕcn 12172  2c2 12234  ℝ⁺crp 12940  [,)cico 13298  ↑cexp 14021  abscabs 15194   ⇝_𝑟 crli 15445  𝑂(1)co1 15446  logclog 26543  ↑_𝑐ccxp 26544  θccht 27079  πcppi 27082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-o1 15450  df-lo1 15451  df-sum 15647  df-ef 16030  df-e 16031  df-sin 16032  df-cos 16033  df-pi 16035  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-prm 16639  df-pc 16806  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-limc 25858  df-dv 25859  df-log 26545  df-cxp 26546  df-cht 27085  df-ppi 27088

This theorem is referenced by:  chtppilim  27463