MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfef2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfef2 26916
Description: The limit of the sequence (1 + 𝐴 / π‘˜)β†‘π‘˜ as π‘˜ goes to +∞ is (expβ€˜π΄). This is another common definition of e. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfef2.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
dfef2.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dfef2.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((1 + (𝐴 / π‘˜))β†‘π‘˜))
Assertion
Ref Expression
dfef2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ (expβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑉(π‘˜)

Proof of Theorem dfef2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfef2.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2 ax-1cn 11197 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
3 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4 nncn 12251 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
54adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
6 nnne0 12277 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ β‰  0)
76adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ π‘₯ β‰  0)
83, 5, 7divcld 12021 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝐴 / π‘₯) ∈ β„‚)
9 addcl 11221 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ (𝐴 / π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (1 + (𝐴 / π‘₯)) ∈ β„‚)
102, 8, 9sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (1 + (𝐴 / π‘₯)) ∈ β„‚)
11 nnnn0 12510 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
1211adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
13 cxpexp 26615 . . . . . . 7 (((1 + (𝐴 / π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑𝑐π‘₯) = ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯))
1410, 12, 13syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑𝑐π‘₯) = ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯))
1514mpteq2dva 5248 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑𝑐π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯)))
16 nnrp 13018 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1716ssriv 3984 . . . . . . 7 β„• βŠ† ℝ+
1817a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ β„• βŠ† ℝ+)
19 eqid 2728 . . . . . . 7 (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(1 / ((absβ€˜π΄) + 1))) = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(1 / ((absβ€˜π΄) + 1)))
2019efrlim 26914 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑𝑐π‘₯)) β‡π‘Ÿ (expβ€˜π΄))
2118, 20rlimres2 15538 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑𝑐π‘₯)) β‡π‘Ÿ (expβ€˜π΄))
2215, 21eqbrtrrd 5172 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯)) β‡π‘Ÿ (expβ€˜π΄))
23 nnuz 12896 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
24 1zzd 12624 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 1 ∈ β„€)
2510, 12expcld 14143 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯) ∈ β„‚)
2625fmpttd 7125 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯)):β„•βŸΆβ„‚)
2723, 24, 26rlimclim 15523 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯)) β‡π‘Ÿ (expβ€˜π΄) ↔ (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯)) ⇝ (expβ€˜π΄)))
2822, 27mpbid 231 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯)) ⇝ (expβ€˜π΄))
291, 28syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯)) ⇝ (expβ€˜π΄))
30 nnex 12249 . . . . 5 β„• ∈ V
3130mptex 7235 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯)) ∈ V
3231a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯)) ∈ V)
33 dfef2.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
34 1zzd 12624 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
35 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (𝐴 / π‘₯) = (𝐴 / π‘˜))
3635oveq2d 7436 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (1 + (𝐴 / π‘₯)) = (1 + (𝐴 / π‘˜)))
37 id 22 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ π‘₯ = π‘˜)
3836, 37oveq12d 7438 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯) = ((1 + (𝐴 / π‘˜))β†‘π‘˜))
39 eqid 2728 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯))
40 ovex 7453 . . . . . 6 ((1 + (𝐴 / π‘˜))β†‘π‘˜) ∈ V
4138, 39, 40fvmpt 7005 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯))β€˜π‘˜) = ((1 + (𝐴 / π‘˜))β†‘π‘˜))
4241adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯))β€˜π‘˜) = ((1 + (𝐴 / π‘˜))β†‘π‘˜))
43 dfef2.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((1 + (𝐴 / π‘˜))β†‘π‘˜))
4442, 43eqtr4d 2771 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
4523, 32, 33, 34, 44climeq 15544 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ ((1 + (𝐴 / π‘₯))↑π‘₯)) ⇝ (expβ€˜π΄) ↔ 𝐹 ⇝ (expβ€˜π΄)))
4629, 45mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ (expβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5682  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   βˆ’ cmin 11475   / cdiv 11902  β„•cn 12243  β„•0cn0 12503  β„+crp 13007  β†‘cexp 14059  abscabs 15214   ⇝ cli 15461   β‡π‘Ÿ crli 15462  expce 16038  ballcbl 21266  β†‘𝑐ccxp 26502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047  df-tan 16048  df-pi 16049  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-cxp 26504
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator