Theorem dfef2 26844

Description: The limit of the sequence (1 + 𝐴 / 𝑘)↑𝑘 as 𝑘 goes to +∞ is (exp‘𝐴). This is another common definition of e. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfef2.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
dfef2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dfef2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((1 + (𝐴 / 𝑘))↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
dfef2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem dfef2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfef2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-1cn 11165	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		nncn 12219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
5	4	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
6		nnne0 12245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
7	6	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ≠ 0)
8	3, 5, 7	divcld 11989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℂ)
9		addcl 11189	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 / 𝑥)) ∈ ℂ)
10	2, 8, 9	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 + (𝐴 / 𝑥)) ∈ ℂ)
11		nnnn0 12478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
12	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ0)
13		cxpexp 26543	. . . . . . 7 ⊢ (((1 + (𝐴 / 𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑐𝑥) = ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥))
14	10, 12, 13	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑐𝑥) = ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥))
15	14	mpteq2dva 5239	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑐𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)))
16		nnrp 12986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
17	16	ssriv 3979	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℝ+
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℕ ⊆ ℝ+)
19		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))(1 / ((abs‘𝐴) + 1))) = (0(ball‘(abs ∘ − ))(1 / ((abs‘𝐴) + 1)))
20	19	efrlim 26842	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑐𝑥)) ⇝𝑟 (exp‘𝐴))
21	18, 20	rlimres2 15507	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑐𝑥)) ⇝𝑟 (exp‘𝐴))
22	15, 21	eqbrtrrd 5163	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) ⇝𝑟 (exp‘𝐴))
23		nnuz 12864	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
24		1zzd 12592	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
25	10, 12	expcld 14112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥) ∈ ℂ)
26	25	fmpttd 7107	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)):ℕ⟶ℂ)
27	23, 24, 26	rlimclim 15492	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) ⇝𝑟 (exp‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) ⇝ (exp‘𝐴)))
28	22, 27	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) ⇝ (exp‘𝐴))
29	1, 28	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) ⇝ (exp‘𝐴))
30		nnex 12217	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
31	30	mptex 7217	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) ∈ V
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) ∈ V)
33		dfef2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
34		1zzd 12592	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
35		oveq2 7410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑥) = (𝐴 / 𝑘))
36	35	oveq2d 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (1 + (𝐴 / 𝑥)) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
37		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝑥 = 𝑘)
38	36, 37	oveq12d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥) = ((1 + (𝐴 / 𝑘))↑𝑘))
39		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥))
40		ovex 7435	. . . . . 6 ⊢ ((1 + (𝐴 / 𝑘))↑𝑘) ∈ V
41	38, 39, 40	fvmpt 6989	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥))‘𝑘) = ((1 + (𝐴 / 𝑘))↑𝑘))
42	41	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥))‘𝑘) = ((1 + (𝐴 / 𝑘))↑𝑘))
43		dfef2.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((1 + (𝐴 / 𝑘))↑𝑘))
44	42, 43	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
45	23, 32, 33, 34, 44	climeq 15513	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) ⇝ (exp‘𝐴) ↔ 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴)))
46	29, 45	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  Vcvv 3466   ⊆ wss 3941   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222   ∘ ccom 5671  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   − cmin 11443   / cdiv 11870  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  ℝ⁺crp 12975  ↑cexp 14028  abscabs 15183   ⇝ cli 15430   ⇝_𝑟 crli 15431  expce 16007  ballcbl 21221  ↑_𝑐ccxp 26430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ioc 13330  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-mod 13836  df-seq 13968  df-exp 14029  df-fac 14235  df-bc 14264  df-hash 14292  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-tan 16017  df-pi 16018  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-lp 22984  df-perf 22985  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-haus 23163  df-cmp 23235  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cncf 24742  df-limc 25739  df-dv 25740  df-log 26431  df-cxp 26432

This theorem is referenced by: (None)