MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfef2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfef2 25710
Description: The limit of the sequence (1 + 𝐴 / 𝑘)↑𝑘 as 𝑘 goes to +∞ is (exp‘𝐴). This is another common definition of e. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfef2.1 (𝜑𝐹𝑉)
dfef2.2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dfef2.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((1 + (𝐴 / 𝑘))↑𝑘))
Assertion
Ref Expression
dfef2 (𝜑𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem dfef2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfef2.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 ax-1cn 10675 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
3 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 nncn 11726 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
54adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
6 nnne0 11752 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
76adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ≠ 0)
83, 5, 7divcld 11496 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℂ)
9 addcl 10699 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 / 𝑥)) ∈ ℂ)
102, 8, 9sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 + (𝐴 / 𝑥)) ∈ ℂ)
11 nnnn0 11985 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
1211adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ0)
13 cxpexp 25413 . . . . . . 7 (((1 + (𝐴 / 𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑐𝑥) = ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥))
1410, 12, 13syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑐𝑥) = ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥))
1514mpteq2dva 5125 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑐𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)))
16 nnrp 12485 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
1716ssriv 3881 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ℕ ⊆ ℝ+)
19 eqid 2738 . . . . . . 7 (0(ball‘(abs ∘ − ))(1 / ((abs‘𝐴) + 1))) = (0(ball‘(abs ∘ − ))(1 / ((abs‘𝐴) + 1)))
2019efrlim 25709 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑐𝑥)) ⇝𝑟 (exp‘𝐴))
2118, 20rlimres2 15010 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑐𝑥)) ⇝𝑟 (exp‘𝐴))
2215, 21eqbrtrrd 5054 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) ⇝𝑟 (exp‘𝐴))
23 nnuz 12365 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
24 1zzd 12096 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
2510, 12expcld 13604 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥) ∈ ℂ)
2625fmpttd 6891 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)):ℕ⟶ℂ)
2723, 24, 26rlimclim 14995 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) ⇝𝑟 (exp‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) ⇝ (exp‘𝐴)))
2822, 27mpbid 235 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) ⇝ (exp‘𝐴))
291, 28syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) ⇝ (exp‘𝐴))
30 nnex 11724 . . . . 5 ℕ ∈ V
3130mptex 6998 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) ∈ V
3231a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) ∈ V)
33 dfef2.1 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
34 1zzd 12096 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
35 oveq2 7180 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑥) = (𝐴 / 𝑘))
3635oveq2d 7188 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (1 + (𝐴 / 𝑥)) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
37 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘𝑥 = 𝑘)
3836, 37oveq12d 7190 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥) = ((1 + (𝐴 / 𝑘))↑𝑘))
39 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥))
40 ovex 7205 . . . . . 6 ((1 + (𝐴 / 𝑘))↑𝑘) ∈ V
4138, 39, 40fvmpt 6777 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥))‘𝑘) = ((1 + (𝐴 / 𝑘))↑𝑘))
4241adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥))‘𝑘) = ((1 + (𝐴 / 𝑘))↑𝑘))
43 dfef2.3 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((1 + (𝐴 / 𝑘))↑𝑘))
4442, 43eqtr4d 2776 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
4523, 32, 33, 34, 44climeq 15016 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((1 + (𝐴 / 𝑥))↑𝑥)) ⇝ (exp‘𝐴) ↔ 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴)))
4629, 45mpbid 235 1 (𝜑𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  Vcvv 3398  wss 3843   class class class wbr 5030  cmpt 5110  ccom 5529  cfv 6339  (class class class)co 7172  cc 10615  0cc0 10617  1c1 10618   + caddc 10620  cmin 10950   / cdiv 11377  cn 11718  0cn0 11978  +crp 12474  cexp 13523  abscabs 14685  cli 14933  𝑟 crli 14934  expce 15509  ballcbl 20206  𝑐ccxp 25301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-inf2 9179  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695  ax-addf 10696  ax-mulf 10697
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-of 7427  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-supp 7859  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-2o 8134  df-er 8322  df-map 8441  df-pm 8442  df-ixp 8510  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-fsupp 8909  df-fi 8950  df-sup 8981  df-inf 8982  df-oi 9049  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-7 11786  df-8 11787  df-9 11788  df-n0 11979  df-z 12065  df-dec 12182  df-uz 12327  df-q 12433  df-rp 12475  df-xneg 12592  df-xadd 12593  df-xmul 12594  df-ioo 12827  df-ioc 12828  df-ico 12829  df-icc 12830  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-fl 13255  df-mod 13331  df-seq 13463  df-exp 13524  df-fac 13728  df-bc 13757  df-hash 13785  df-shft 14518  df-cj 14550  df-re 14551  df-im 14552  df-sqrt 14686  df-abs 14687  df-limsup 14920  df-clim 14937  df-rlim 14938  df-sum 15138  df-ef 15515  df-sin 15517  df-cos 15518  df-tan 15519  df-pi 15520  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-ress 16596  df-plusg 16683  df-mulr 16684  df-starv 16685  df-sca 16686  df-vsca 16687  df-ip 16688  df-tset 16689  df-ple 16690  df-ds 16692  df-unif 16693  df-hom 16694  df-cco 16695  df-rest 16801  df-topn 16802  df-0g 16820  df-gsum 16821  df-topgen 16822  df-pt 16823  df-prds 16826  df-xrs 16880  df-qtop 16885  df-imas 16886  df-xps 16888  df-mre 16962  df-mrc 16963  df-acs 16965  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-submnd 18075  df-mulg 18345  df-cntz 18567  df-cmn 19028  df-psmet 20211  df-xmet 20212  df-met 20213  df-bl 20214  df-mopn 20215  df-fbas 20216  df-fg 20217  df-cnfld 20220  df-top 21647  df-topon 21664  df-topsp 21686  df-bases 21699  df-cld 21772  df-ntr 21773  df-cls 21774  df-nei 21851  df-lp 21889  df-perf 21890  df-cn 21980  df-cnp 21981  df-haus 22068  df-cmp 22140  df-tx 22315  df-hmeo 22508  df-fil 22599  df-fm 22691  df-flim 22692  df-flf 22693  df-xms 23075  df-ms 23076  df-tms 23077  df-cncf 23632  df-limc 24620  df-dv 24621  df-log 25302  df-cxp 25303
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator