MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlimge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumrlimge0 25780
Description: Lemma for dvfsumrlim 25781. Satisfy the assumption of dvfsumlem4 25779. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
dvfsumrlim.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
dvfsumrlim.k (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlimge0 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlimge0
Dummy variables 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 13390 . . . . . 6 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 4017 . . . . 5 𝑆 ⊆ ℝ
4 simprl 768 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥𝑆)
53, 4sselid 3981 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
65rexrd 11269 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
75renepnfd 11270 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥 ≠ +∞)
8 icopnfsup 13835 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ +∞) → sup((𝑥[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
96, 7, 8syl2anc 583 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → sup((𝑥[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
10 dvfsum.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1110rexrd 11269 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ*)
124, 1eleqtrdi 2842 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑇(,)+∞))
1311adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑇 ∈ ℝ*)
14 elioopnf 13425 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑥)))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑥)))
1612, 15mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑥))
1716simprd 495 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑇 < 𝑥)
18 df-ioo 13333 . . . . . 6 (,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤𝑤 < 𝑣)})
19 df-ico 13335 . . . . . 6 [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢𝑤𝑤 < 𝑣)})
20 xrltletr 13141 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑇 < 𝑥𝑥𝑧) → 𝑇 < 𝑧))
2118, 19, 20ixxss1 13347 . . . . 5 ((𝑇 ∈ ℝ*𝑇 < 𝑥) → (𝑥[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
2211, 17, 21syl2an2r 682 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
2322, 1sseqtrrdi 4034 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥[,)+∞) ⊆ 𝑆)
24 dvfsum.c . . . . 5 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
2524cbvmptv 5262 . . . 4 (𝑥𝑆𝐵) = (𝑘𝑆𝐶)
26 dvfsumrlim.k . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
2726adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
2825, 27eqbrtrrid 5185 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘𝑆𝐶) ⇝𝑟 0)
2923, 28rlimres2 15510 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞) ↦ 𝐶) ⇝𝑟 0)
303a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
31 dvfsum.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
32 dvfsum.b1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
33 dvfsum.b3 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
3430, 31, 32, 33dvmptrecl 25774 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
3534adantrr 714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3635recnd 11247 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝐵 ∈ ℂ)
37 rlimconst 15493 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘𝑆𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
3830, 36, 37syl2an2r 682 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘𝑆𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
3923, 38rlimres2 15510 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞) ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
4034ralrimiva 3145 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
4140adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
4223sselda 3983 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝑘𝑆)
4324eleq1d 2817 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
4443rspccva 3612 . . 3 ((∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑆) → 𝐶 ∈ ℝ)
4541, 42, 44syl2an2r 682 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4635adantr 480 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
47 simpll 764 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝜑)
48 simplrl 774 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝑥𝑆)
49 simplrr 775 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝐷𝑥)
50 elicopnf 13427 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑘)))
515, 50syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑘)))
5251simplbda 499 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝑥𝑘)
53 dvfsumrlim.l . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
5447, 48, 42, 49, 52, 53syl122anc 1378 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝐶𝐵)
559, 29, 39, 45, 46, 54rlimle 15599 1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wss 3949   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6544  (class class class)co 7412  supcsup 9438  cc 11111  cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  +∞cpnf 11250  *cxr 11252   < clt 11253  cle 11254  cmin 11449  cz 12563  cuz 12827  (,)cioo 13329  [,)cico 13331  ...cfz 13489  cfl 13760  𝑟 crli 15434  Σcsu 15637   D cdv 25613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-rlim 15438  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-topn 17374  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  25781  dvfsumrlim2  25782
  Copyright terms: Public domain W3C validator