Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlimge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumrlimge0 24730
 Description: Lemma for dvfsumrlim 24731. Satisfy the assumption of dvfsumlem4 24729. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
dvfsumrlim.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
dvfsumrlim.k (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlimge0 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlimge0
Dummy variables 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 12841 . . . . . 6 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 3927 . . . . 5 𝑆 ⊆ ℝ
4 simprl 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥𝑆)
53, 4sseldi 3891 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
65rexrd 10730 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
75renepnfd 10731 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥 ≠ +∞)
8 icopnfsup 13283 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ +∞) → sup((𝑥[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
96, 7, 8syl2anc 588 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → sup((𝑥[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
10 dvfsum.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1110rexrd 10730 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ*)
124, 1eleqtrdi 2863 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑇(,)+∞))
1311adantr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑇 ∈ ℝ*)
14 elioopnf 12876 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑥)))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑥)))
1612, 15mpbid 235 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑥))
1716simprd 500 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑇 < 𝑥)
18 df-ioo 12784 . . . . . 6 (,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤𝑤 < 𝑣)})
19 df-ico 12786 . . . . . 6 [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢𝑤𝑤 < 𝑣)})
20 xrltletr 12592 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑇 < 𝑥𝑥𝑧) → 𝑇 < 𝑧))
2118, 19, 20ixxss1 12798 . . . . 5 ((𝑇 ∈ ℝ*𝑇 < 𝑥) → (𝑥[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
2211, 17, 21syl2an2r 685 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
2322, 1sseqtrrdi 3944 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥[,)+∞) ⊆ 𝑆)
24 dvfsum.c . . . . 5 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
2524cbvmptv 5136 . . . 4 (𝑥𝑆𝐵) = (𝑘𝑆𝐶)
26 dvfsumrlim.k . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
2726adantr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
2825, 27eqbrtrrid 5069 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘𝑆𝐶) ⇝𝑟 0)
2923, 28rlimres2 14967 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞) ↦ 𝐶) ⇝𝑟 0)
303a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
31 dvfsum.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
32 dvfsum.b1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
33 dvfsum.b3 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
3430, 31, 32, 33dvmptrecl 24724 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
3534adantrr 717 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3635recnd 10708 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝐵 ∈ ℂ)
37 rlimconst 14950 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘𝑆𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
3830, 36, 37syl2an2r 685 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘𝑆𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
3923, 38rlimres2 14967 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞) ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
4034ralrimiva 3114 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
4140adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
4223sselda 3893 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝑘𝑆)
4324eleq1d 2837 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
4443rspccva 3541 . . 3 ((∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑆) → 𝐶 ∈ ℝ)
4541, 42, 44syl2an2r 685 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4635adantr 485 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
47 simpll 767 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝜑)
48 simplrl 777 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝑥𝑆)
49 simplrr 778 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝐷𝑥)
50 elicopnf 12878 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑘)))
515, 50syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑘)))
5251simplbda 504 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝑥𝑘)
53 dvfsumrlim.l . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
5447, 48, 42, 49, 52, 53syl122anc 1377 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝐶𝐵)
559, 29, 39, 45, 46, 54rlimle 15053 1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∀wral 3071   ⊆ wss 3859   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  supcsup 8938  ℂcc 10574  ℝcr 10575  0cc0 10576  1c1 10577   + caddc 10579  +∞cpnf 10711  ℝ*cxr 10713   < clt 10714   ≤ cle 10715   − cmin 10909  ℤcz 12021  ℤ≥cuz 12283  (,)cioo 12780  [,)cico 12782  ...cfz 12940  ⌊cfl 13210   ⇝𝑟 crli 14891  Σcsu 15091   D cdv 24563 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653  ax-pre-sup 10654 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fi 8909  df-sup 8940  df-inf 8941  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-4 11740  df-5 11741  df-6 11742  df-7 11743  df-8 11744  df-9 11745  df-n0 11936  df-z 12022  df-dec 12139  df-uz 12284  df-q 12390  df-rp 12432  df-xneg 12549  df-xadd 12550  df-xmul 12551  df-ioo 12784  df-ico 12786  df-icc 12787  df-fz 12941  df-seq 13420  df-exp 13481  df-cj 14507  df-re 14508  df-im 14509  df-sqrt 14643  df-abs 14644  df-rlim 14895  df-struct 16544  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-plusg 16637  df-mulr 16638  df-starv 16639  df-tset 16643  df-ple 16644  df-ds 16646  df-unif 16647  df-rest 16755  df-topn 16756  df-topgen 16776  df-psmet 20159  df-xmet 20160  df-met 20161  df-bl 20162  df-mopn 20163  df-fbas 20164  df-fg 20165  df-cnfld 20168  df-top 21595  df-topon 21612  df-topsp 21634  df-bases 21647  df-cld 21720  df-ntr 21721  df-cls 21722  df-nei 21799  df-lp 21837  df-perf 21838  df-cn 21928  df-cnp 21929  df-haus 22016  df-fil 22547  df-fm 22639  df-flim 22640  df-flf 22641  df-xms 23023  df-ms 23024  df-cncf 23580  df-limc 24566  df-dv 24567 This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  24731  dvfsumrlim2  24732
 Copyright terms: Public domain W3C validator