Theorem pnt2 27777

Description: The Prime Number Theorem, version 2: the first Chebyshev function tends asymptotically to 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pnt2	⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem pnt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12310	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		elicopnf 13467	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
4		chprpcl 27371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ+)
5	3, 4	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ+)
6	3	simplbi 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		0red 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
8	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
9		2pos 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
11	3	simprbi 502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
12	7, 8, 6, 10, 11	ltletrd 11365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
13	6, 12	elrpd 13052	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
14	5, 13	rpdivcld 13072	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
15	14	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
16		chtrpcl 27339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
17	3, 16	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
18	5, 17	rpdivcld 13072	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
19	18	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
20	13	ssriv 3941	. . . . . . 7 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
22		pnt3 27776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
24	21, 23	rlimres2 15608	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
25		chpchtlim 27643	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1)
27		ax-1ne0 11164	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
29	19	rpne0d 13060	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≠ 0)
30	15, 19, 24, 26, 28, 29	rlimdiv 15693	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))) ⇝𝑟 (1 / 1))
31		rpre 13020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
32		chpcl 27288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
35	13, 34	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
36	13	rpcnne0d 13064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
37	5	rpcnne0d 13064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((ψ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑥) ≠ 0))
38	17	rpcnne0d 13064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))
39		divdivdiv 11911	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ψ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) ∧ (((ψ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) = (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / (𝑥 · (ψ‘𝑥))))
40	35, 36, 37, 38, 39	syl22anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) = (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / (𝑥 · (ψ‘𝑥))))
41	6	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
42	41, 35	mulcomd 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 · (ψ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑥) · 𝑥))
43	42	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / (𝑥 · (ψ‘𝑥))) = (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / ((ψ‘𝑥) · 𝑥)))
44		chtcl 27273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
45	31, 44	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
46	45	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
47	13, 46	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
48		divcan5 11912	. . . . . . . 8 ⊢ (((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((ψ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑥) ≠ 0)) → (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / ((ψ‘𝑥) · 𝑥)) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
49	47, 36, 37, 48	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / ((ψ‘𝑥) · 𝑥)) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
50	40, 43, 49	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
51	50	mpteq2ia 5206	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
52		resmpt 6039	. . . . . 6 ⊢ ((2[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
53	20, 52	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
54	51, 53	eqtr4i 2789	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞))
55		1div1e1 11900	. . . 4 ⊢ (1 / 1) = 1
56	30, 54, 55	3brtr3g 5144	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
57		rerpdivcl 13043	. . . . . . . 8 ⊢ (((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
58	45, 57	mpancom 700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
59	58	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
60	59	recnd 11232	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
61	60	fmpttd 7110	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)):ℝ+⟶ℂ)
62		rpssre 13019	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
63	62	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
64	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
65	61, 63, 64	rlimresb 15612	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1 ↔ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1))
66	56, 65	mpbird 260	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
67	66	mptru 1577	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   · cmul 11100  +∞cpnf 11235   < clt 11238   ≤ cle 11239   / cdiv 11866  2c2 12290  ℝ⁺crp 13011  [,)cico 13369   ⇝_𝑟 crli 15532  θccht 27255  ψcchp 27257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-o1 15537  df-lo1 15538  df-sum 15734  df-ef 16116  df-e 16117  df-sin 16118  df-cos 16119  df-tan 16120  df-pi 16121  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-prm 16725  df-pc 16892  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-cmp 23544  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026  df-ulm 26540  df-log 26721  df-cxp 26722  df-atan 27032  df-em 27157  df-cht 27261  df-vma 27262  df-chp 27263  df-ppi 27264  df-mu 27265

This theorem is referenced by:  pnt  27778