Theorem pnt2 27933

Description: The Prime Number Theorem, version 2: the first Chebyshev function tends asymptotically to 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pnt2	⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem pnt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12410	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		elicopnf 13569	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
4		chprpcl 27527	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ+)
5	3, 4	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ+)
6	3	simplbi 502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		0red 11304	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
8	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
9		2pos 12440	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
11	3	simprbi 503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
12	7, 8, 6, 10, 11	ltletrd 11463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
13	6, 12	elrpd 13154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
14	5, 13	rpdivcld 13174	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
15	14	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
16		chtrpcl 27495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
17	3, 16	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
18	5, 17	rpdivcld 13174	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
19	18	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
20	13	ssriv 3935	. . . . . . 7 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
22		pnt3 27932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
24	21, 23	rlimres2 15721	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
25		chpchtlim 27799	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1)
27		ax-1ne0 11262	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
29	19	rpne0d 13162	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≠ 0)
30	15, 19, 24, 26, 28, 29	rlimdiv 15806	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))) ⇝𝑟 (1 / 1))
31		rpre 13122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
32		chpcl 27444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
35	13, 34	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
36	13	rpcnne0d 13166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
37	5	rpcnne0d 13166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((ψ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑥) ≠ 0))
38	17	rpcnne0d 13166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))
39		divdivdiv 12011	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ψ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) ∧ (((ψ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) = (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / (𝑥 · (ψ‘𝑥))))
40	35, 36, 37, 38, 39	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) = (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / (𝑥 · (ψ‘𝑥))))
41	6	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
42	41, 35	mulcomd 11323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 · (ψ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑥) · 𝑥))
43	42	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / (𝑥 · (ψ‘𝑥))) = (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / ((ψ‘𝑥) · 𝑥)))
44		chtcl 27429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
45	31, 44	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
46	45	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
47	13, 46	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
48		divcan5 12012	. . . . . . . 8 ⊢ (((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((ψ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑥) ≠ 0)) → (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / ((ψ‘𝑥) · 𝑥)) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
49	47, 36, 37, 48	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / ((ψ‘𝑥) · 𝑥)) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
50	40, 43, 49	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
51	50	mpteq2ia 5200	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
52		resmpt 6029	. . . . . 6 ⊢ ((2[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
53	20, 52	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
54	51, 53	eqtr4i 2787	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞))
55		1div1e1 12000	. . . 4 ⊢ (1 / 1) = 1
56	30, 54, 55	3brtr3g 5138	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
57		rerpdivcl 13145	. . . . . . . 8 ⊢ (((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
58	45, 57	mpancom 701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
59	58	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
60	59	recnd 11330	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
61	60	fmpttd 7113	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)):ℝ+⟶ℂ)
62		rpssre 13121	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
63	62	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
64	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
65	61, 63, 64	rlimresb 15725	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1 ↔ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1))
66	56, 65	mpbird 260	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
67	66	mptru 1577	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5653  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   · cmul 11198  +∞cpnf 11333   < clt 11336   ≤ cle 11337   / cdiv 11966  2c2 12390  ℝ⁺crp 13113  [,)cico 13471   ⇝_𝑟 crli 15645  θccht 27411  ψcchp 27413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ioc 13474  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fac 14411  df-bc 14440  df-hash 14468  df-shft 15213  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-limsup 15631  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-o1 15650  df-lo1 15651  df-sum 15847  df-ef 16226  df-e 16227  df-sin 16228  df-cos 16229  df-tan 16230  df-pi 16231  df-dvds 16416  df-gcd 16658  df-prm 16840  df-pc 17008  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-lp 23447  df-perf 23448  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-haus 23626  df-cmp 23698  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cncf 25192  df-limc 26179  df-dv 26180  df-ulm 26697  df-log 26877  df-cxp 26878  df-atan 27188  df-em 27313  df-cht 27417  df-vma 27418  df-chp 27419  df-ppi 27420  df-mu 27421

This theorem is used by:  pnt  27934