MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnt2 25516
Description: The Prime Number Theorem, version 2: the first Chebyshev function tends asymptotically to 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
pnt2 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem pnt2
StepHypRef Expression
1 2re 11290 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
2 elicopnf 12468 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
4 chprpcl 25146 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ+)
53, 4sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ+)
63simplbi 485 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 0red 10241 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
81a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
9 2pos 11312 . . . . . . . . . 10 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
113simprbi 484 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
127, 8, 6, 10, 11ltletrd 10397 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
136, 12elrpd 12065 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
145, 13rpdivcld 12085 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
1514adantl 467 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
16 chtrpcl 25115 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
173, 16sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
185, 17rpdivcld 12085 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
1918adantl 467 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2013ssriv 3756 . . . . . . 7 (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
2120a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
22 pnt3 25515 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1
2322a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
2421, 23rlimres2 14493 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
25 chpchtlim 25382 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1
2625a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1)
27 ax-1ne0 10205 . . . . . 6 1 ≠ 0
2827a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 1 ≠ 0)
2919rpne0d 12073 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≠ 0)
3015, 19, 24, 26, 28, 29rlimdiv 14577 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))) ⇝𝑟 (1 / 1))
31 rpre 12035 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
32 chpcl 25064 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
3433recnd 10268 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
3513, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
3613rpcnne0d 12077 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
375rpcnne0d 12077 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((ψ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑥) ≠ 0))
3817rpcnne0d 12077 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))
39 divdivdiv 10926 . . . . . . . 8 ((((ψ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) ∧ (((ψ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) = (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / (𝑥 · (ψ‘𝑥))))
4035, 36, 37, 38, 39syl22anc 1477 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) = (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / (𝑥 · (ψ‘𝑥))))
416recnd 10268 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
4241, 35mulcomd 10261 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 · (ψ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑥) · 𝑥))
4342oveq2d 6807 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / (𝑥 · (ψ‘𝑥))) = (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / ((ψ‘𝑥) · 𝑥)))
44 chtcl 25049 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
4531, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
4645recnd 10268 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
4713, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
48 divcan5 10927 . . . . . . . 8 (((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((ψ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑥) ≠ 0)) → (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / ((ψ‘𝑥) · 𝑥)) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
4947, 36, 37, 48syl3anc 1476 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) · (θ‘𝑥)) / ((ψ‘𝑥) · 𝑥)) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
5040, 43, 493eqtrd 2809 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
5150mpteq2ia 4874 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
52 resmpt 5588 . . . . . 6 ((2[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
5320, 52ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
5451, 53eqtr4i 2796 . . . 4 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) / ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞))
55 1div1e1 10917 . . . 4 (1 / 1) = 1
5630, 54, 553brtr3g 4819 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
57 rerpdivcl 12057 . . . . . . . 8 (((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
5845, 57mpancom 668 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
5958adantl 467 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
6059recnd 10268 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
61 eqid 2771 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
6260, 61fmptd 6525 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)):ℝ+⟶ℂ)
63 rpssre 12039 . . . . 5 + ⊆ ℝ
6463a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
651a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
6662, 64, 65rlimresb 14497 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1 ↔ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1))
6756, 66mpbird 247 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
6867trud 1641 1 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wtru 1632  wcel 2145  wne 2943  wss 3723   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cres 5251  cfv 6029  (class class class)co 6791  cc 10134  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137   · cmul 10141  +∞cpnf 10271   < clt 10274  cle 10275   / cdiv 10884  2c2 11270  +crp 12028  [,)cico 12375  𝑟 crli 14417  θccht 25031  ψcchp 25033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-xnn0 11564  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ioo 12377  df-ioc 12378  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-mod 12870  df-seq 13002  df-exp 13061  df-fac 13258  df-bc 13287  df-hash 13315  df-shft 14008  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-limsup 14403  df-clim 14420  df-rlim 14421  df-o1 14422  df-lo1 14423  df-sum 14618  df-ef 14997  df-e 14998  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-dvds 15183  df-gcd 15418  df-prm 15586  df-pc 15742  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-cmp 21404  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-limc 23843  df-dv 23844  df-log 24517  df-cxp 24518  df-em 24933  df-cht 25037  df-vma 25038  df-chp 25039  df-ppi 25040  df-mu 25041
This theorem is referenced by:  pnt  25517
  Copyright terms: Public domain W3C validator