Theorem divcnv 15874

Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divcnv	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem divcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrp 13025	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
2	1	ssriv 3967	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℝ+
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℕ ⊆ ℝ+)
4		divrcnv 15873	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
5	3, 4	rlimres2 15582	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
6		nnuz 12900	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7		1zzd 12628	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		nncn 12253	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
11		nnne0 12279	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
13	8, 10, 12	divcld 12022	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
14	13	fmpttd 7110	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)):ℕ⟶ℂ)
15	6, 7, 14	rlimclim 15567	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0))
16	5, 15	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134  1c1 11135   / cdiv 11899  ℕcn 12245  ℝ⁺crp 13013   ⇝ cli 15505   ⇝_𝑟 crli 15506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-rlim 15510

This theorem is referenced by:  divcnvshft  15876  supcvg  15877  expcnv  15885  plyeq0lem  26172  leibpi  26909  emcllem4  26966  basellem6  27053  circum  35701  divcnvlin  35755  hashnzfzclim  44313  clim1fr1  45597  divcnvg  45623  fprodsubrecnncnvlem  45903  fprodaddrecnncnvlem  45905  stirlinglem1  46070