Theorem divcnv 15795

Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divcnv	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem divcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrp 12981	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
2	1	ssriv 3985	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℝ+
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℕ ⊆ ℝ+)
4		divrcnv 15794	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
5	3, 4	rlimres2 15501	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
6		nnuz 12861	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7		1zzd 12589	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
8		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		nncn 12216	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
10	9	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
11		nnne0 12242	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
12	11	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
13	8, 10, 12	divcld 11986	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
14	13	fmpttd 7111	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)):ℕ⟶ℂ)
15	6, 7, 14	rlimclim 15486	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0))
16	5, 15	mpbid 231	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   / cdiv 11867  ℕcn 12208  ℝ⁺crp 12970   ⇝ cli 15424   ⇝_𝑟 crli 15425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429

This theorem is referenced by:  divcnvshft  15797  supcvg  15798  expcnv  15806  plyeq0lem  25715  leibpi  26436  emcllem4  26492  basellem6  26579  circum  34647  divcnvlin  34690  hashnzfzclim  43066  clim1fr1  44303  divcnvg  44329  fprodsubrecnncnvlem  44609  fprodaddrecnncnvlem  44611  stirlinglem1  44776