Theorem divcnv 15493

Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divcnv	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem divcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrp 12670	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
2	1	ssriv 3921	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℝ+
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℕ ⊆ ℝ+)
4		divrcnv 15492	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
5	3, 4	rlimres2 15198	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
6		nnuz 12550	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7		1zzd 12281	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		nncn 11911	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
11		nnne0 11937	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
13	8, 10, 12	divcld 11681	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
14	13	fmpttd 6971	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)):ℕ⟶ℂ)
15	6, 7, 14	rlimclim 15183	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0))
16	5, 15	mpbid 231	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℝ⁺crp 12659   ⇝ cli 15121   ⇝_𝑟 crli 15122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126

This theorem is referenced by:  divcnvshft  15495  supcvg  15496  expcnv  15504  plyeq0lem  25276  leibpi  25997  emcllem4  26053  basellem6  26140  circum  33532  divcnvlin  33604  hashnzfzclim  41829  clim1fr1  43032  divcnvg  43058  fprodsubrecnncnvlem  43338  fprodaddrecnncnvlem  43340  stirlinglem1  43505