Theorem divcnv 15563

Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divcnv	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem divcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrp 12740	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
2	1	ssriv 3930	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℝ+
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℕ ⊆ ℝ+)
4		divrcnv 15562	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
5	3, 4	rlimres2 15268	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
6		nnuz 12620	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7		1zzd 12351	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
8		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		nncn 11981	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
10	9	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
11		nnne0 12007	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
12	11	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
13	8, 10, 12	divcld 11751	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
14	13	fmpttd 6986	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)):ℕ⟶ℂ)
15	6, 7, 14	rlimclim 15253	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝𝑟 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0))
16	5, 15	mpbid 231	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5162  (class class class)co 7271  ℂcc 10870  0cc0 10872  1c1 10873   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℝ⁺crp 12729   ⇝ cli 15191   ⇝_𝑟 crli 15192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-pm 8601  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fl 13510  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-rlim 15196

This theorem is referenced by:  divcnvshft  15565  supcvg  15566  expcnv  15574  plyeq0lem  25369  leibpi  26090  emcllem4  26146  basellem6  26233  circum  33628  divcnvlin  33694  hashnzfzclim  41910  clim1fr1  43113  divcnvg  43139  fprodsubrecnncnvlem  43419  fprodaddrecnncnvlem  43421  stirlinglem1  43586