MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxp2lim Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cxp2lim 26481
Description: Any power grows slower than any exponential with base greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxp2lim ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β‡π‘Ÿ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛
Proof of Theorem cxp2lim
StepHypRef Expression
1 1re 11214 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
2 elicopnf 13422 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ β†’ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝑛)))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝑛))
43simplbi 499 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
5 0red 11217 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) β†’ 0 ∈ ℝ)
6 1red 11215 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) β†’ 1 ∈ ℝ)
7 0lt1 11736 . . . . . . . 8 0 < 1
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) β†’ 0 < 1)
93simprbi 498 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) β†’ 1 ≀ 𝑛)
105, 6, 4, 8, 9ltletrd 11374 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) β†’ 0 < 𝑛)
114, 10elrpd 13013 . . . . 5 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
1211ssriv 3987 . . . 4 (1[,)+∞) βŠ† ℝ+
13 resmpt 6038 . . . 4 ((1[,)+∞) βŠ† ℝ+ β†’ ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β†Ύ (1[,)+∞)) = (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))))
1412, 13ax-mp 5 . . 3 ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β†Ύ (1[,)+∞)) = (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)))
15 0red 11217 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 0 ∈ ℝ)
1612a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (1[,)+∞) βŠ† ℝ+)
17 rpre 12982 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1817adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
19 rpge0 12987 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝑛)
2019adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ 𝑛)
21 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
22 0red 11217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ ℝ)
23 1red 11215 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ ℝ)
247a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 0 < 1)
25 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 1 < 𝐡)
2622, 23, 21, 24, 25lttrd 11375 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 0 < 𝐡)
2721, 26elrpd 13013 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
2827, 18rpcxpcld 26241 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝐡↑𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
29 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
30 ifcl 4574 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
3129, 1, 30sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
32 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 1 ∈ ℝ)
337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 0 < 1)
34 max1 13164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 1 ≀ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))
351, 29, 34sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 1 ≀ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))
3615, 32, 31, 33, 35ltletrd 11374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 0 < if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))
3731, 36elrpd 13013 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ+)
3837rprecred 13027 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
3938adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
4028, 39rpcxpcld 26241 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ+)
4131recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ β„‚)
4241adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ β„‚)
4318, 20, 40, 42divcxpd 26230 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑛 / ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) = ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))
4437adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ+)
4544rpne0d 13021 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) β‰  0)
4642, 45recid2d 11986 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) Β· if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) = 1)
4746oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐((1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) Β· if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐1))
4828, 39, 42cxpmuld 26245 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐((1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) Β· if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) = (((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))
4928rpcnd 13018 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝐡↑𝑐𝑛) ∈ β„‚)
5049cxp1d 26214 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐1) = (𝐡↑𝑐𝑛))
5147, 48, 503eqtr3d 2781 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) = (𝐡↑𝑐𝑛))
5251oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛)))
5343, 52eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑛 / ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) = ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛)))
5453mpteq2dva 5249 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛 / ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛))))
55 ovexd 7444 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝑛 / ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))) ∈ V)
5618recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
5738recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ β„‚)
5857adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ β„‚)
5956, 58mulcomd 11235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝑛 Β· (1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) Β· 𝑛))
6059oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝐡↑𝑐(𝑛 Β· (1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))) = (𝐡↑𝑐((1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) Β· 𝑛)))
6127, 18, 58cxpmuld 26245 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝐡↑𝑐(𝑛 Β· (1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))) = ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))
6227, 39, 56cxpmuld 26245 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝐡↑𝑐((1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) Β· 𝑛)) = ((𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))
6360, 61, 623eqtr3d 2781 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))
6463oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝑛 / ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))) = (𝑛 / ((𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛)))
6564mpteq2dva 5249 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))))
66 simp2 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
67 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 1 < 𝐡)
6815, 32, 66, 33, 67lttrd 11375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 0 < 𝐡)
6966, 68elrpd 13013 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
7069, 38rpcxpcld 26241 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ+)
7170rpred 13016 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ)
72571cxpd 26215 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (1↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) = 1)
73 0le1 11737 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≀ 1
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 0 ≀ 1)
7569rpge0d 13020 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 0 ≀ 𝐡)
7637rpreccld 13026 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
7732, 74, 66, 75, 76cxplt2d 26234 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (1 < 𝐡 ↔ (1↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) < (𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))))
7867, 77mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (1↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) < (𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))
7972, 78eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 1 < (𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))
80 cxp2limlem 26480 . . . . . . . . 9 (((𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))) β‡π‘Ÿ 0)
8171, 79, 80syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))) β‡π‘Ÿ 0)
8265, 81eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))) β‡π‘Ÿ 0)
8355, 82, 37rlimcxp 26478 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛 / ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) β‡π‘Ÿ 0)
8454, 83eqbrtrrd 5173 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β‡π‘Ÿ 0)
8516, 84rlimres2 15505 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β‡π‘Ÿ 0)
86 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
8731adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
8886, 87rpcxpcld 26241 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
8988, 28rpdivcld 13033 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
9089rpred 13016 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
9111, 90sylan2 594 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
92 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9386, 92rpcxpcld 26241 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝑛↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
9493, 28rpdivcld 13033 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
9511, 94sylan2 594 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
9695rpred 13016 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
9711, 93sylan2 594 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ (𝑛↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
9897rpred 13016 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ (𝑛↑𝑐𝐴) ∈ ℝ)
9911, 88sylan2 594 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ (𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
10099rpred 13016 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ (𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
10111, 28sylan2 594 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ (𝐡↑𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
1024adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1039adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ 1 ≀ 𝑛)
104 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
10531adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
106 max2 13166 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ≀ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))
1071, 104, 106sylancr 588 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ 𝐴 ≀ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))
108102, 103, 104, 105, 107cxplead 26229 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ (𝑛↑𝑐𝐴) ≀ (𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))
10998, 100, 101, 108lediv1dd 13074 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ≀ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛)))
110109adantrr 716 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ∧ 0 ≀ 𝑛)) β†’ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ≀ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛)))
11195rpge0d 13020 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ 0 ≀ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)))
112111adantrr 716 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ∧ 0 ≀ 𝑛)) β†’ 0 ≀ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)))
11315, 15, 85, 91, 96, 110, 112rlimsqz2 15597 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β‡π‘Ÿ 0)
11414, 113eqbrtrid 5184 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β†Ύ (1[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 0)
11594rpcnd 13018 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ∈ β„‚)
116115fmpttd 7115 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))):ℝ+βŸΆβ„‚)
117 rpssre 12981 . . . 4 ℝ+ βŠ† ℝ
118117a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
119116, 118, 32rlimresb 15509 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β‡π‘Ÿ 0 ↔ ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β†Ύ (1[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 0))
120114, 119mpbird 257 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β‡π‘Ÿ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β†Ύ cres 5679  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„+crp 12974  [,)cico 13326   β‡π‘Ÿ crli 15429  β†‘𝑐ccxp 26064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator