Theorem cxp2lim 26894

Description: Any power grows slower than any exponential with base greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxp2lim	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem cxp2lim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11181	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		elicopnf 13413	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑛)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑛))
4	3	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 𝑛 ∈ ℝ)
5		0red 11184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
6		1red 11182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
7		0lt1 11707	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 0 < 1)
9	3	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑛)
10	5, 6, 4, 8, 9	ltletrd 11341	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 0 < 𝑛)
11	4, 10	elrpd 12999	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 𝑛 ∈ ℝ+)
12	11	ssriv 3953	. . . 4 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
13		resmpt 6011	. . . 4 ⊢ ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
15		0red 11184	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
16	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1[,)+∞) ⊆ ℝ+)
17		rpre 12967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ)
19		rpge0 12972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑛)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑛)
21		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		0red 11184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
23		1red 11182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
24	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 < 1)
25		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 1 < 𝐵)
26	22, 23, 21, 24, 25	lttrd 11342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 < 𝐵)
27	21, 26	elrpd 12999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
28	27, 18	rpcxpcld 26649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
29		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
30		ifcl 4537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
31	29, 1, 30	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
32		1red 11182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
33	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 1)
34		max1 13152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
35	1, 29, 34	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
36	15, 32, 31, 33, 35	ltletrd 11341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
37	31, 36	elrpd 12999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ+)
38	37	rprecred 13013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
40	28, 39	rpcxpcld 26649	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ+)
41	31	recnd 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℂ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℂ)
43	18, 20, 40, 42	divcxpd 26638	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) = ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))
44	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ+)
45	44	rpne0d 13007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ≠ 0)
46	42, 45	recid2d 11961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) = 1)
47	46	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐1))
48	28, 39, 42	cxpmuld 26653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = (((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))
49	28	rpcnd 13004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐𝑛) ∈ ℂ)
50	49	cxp1d 26622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐1) = (𝐵↑𝑐𝑛))
51	47, 48, 50	3eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) = (𝐵↑𝑐𝑛))
52	51	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
53	43, 52	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) = ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
54	53	mpteq2dva 5203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛))))
55		ovexd 7425	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) ∈ V)
56	18	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℂ)
57	38	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℂ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℂ)
59	56, 58	mulcomd 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 · (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · 𝑛))
60	59	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐(𝑛 · (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) = (𝐵↑𝑐((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · 𝑛)))
61	27, 18, 58	cxpmuld 26653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐(𝑛 · (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) = ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))
62	27, 39, 56	cxpmuld 26653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · 𝑛)) = ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))
63	60, 61, 62	3eqtr3d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))
64	63	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) = (𝑛 / ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛)))
65	64	mpteq2dva 5203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))))
66		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
67		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐵)
68	15, 32, 66, 33, 67	lttrd 11342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
69	66, 68	elrpd 12999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
70	69, 38	rpcxpcld 26649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ+)
71	70	rpred 13002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ)
72	57	1cxpd 26623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = 1)
73		0le1 11708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 1
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ≤ 1)
75	69	rpge0d 13006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
76	37	rpreccld 13012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
77	32, 74, 66, 75, 76	cxplt2d 26642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐵 ↔ (1↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) < (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))))
78	67, 77	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) < (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))
79	72, 78	eqbrtrrd 5134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 < (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))
80		cxp2limlem 26893	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
81	71, 79, 80	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
82	65, 81	eqbrtrd 5132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))) ⇝𝑟 0)
83	55, 82, 37	rlimcxp 26891	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ⇝𝑟 0)
84	54, 83	eqbrtrrd 5134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
85	16, 84	rlimres2 15534	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
86		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
87	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
88	86, 87	rpcxpcld 26649	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
89	88, 28	rpdivcld 13019	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
90	89	rpred 13002	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
91	11, 90	sylan2 593	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
92		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
93	86, 92	rpcxpcld 26649	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
94	93, 28	rpdivcld 13019	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
95	11, 94	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
96	95	rpred 13002	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
97	11, 93	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
98	97	rpred 13002	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛↑𝑐𝐴) ∈ ℝ)
99	11, 88	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
100	99	rpred 13002	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
101	11, 28	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝐵↑𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
102	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
103	9	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑛)
104		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
105	31	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
106		max2 13154	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
107	1, 104, 106	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 𝐴 ≤ if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
108	102, 103, 104, 105, 107	cxplead 26637	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛↑𝑐𝐴) ≤ (𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))
109	98, 100, 101, 108	lediv1dd 13060	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ≤ ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
110	109	adantrr 717	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ∧ 0 ≤ 𝑛)) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ≤ ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
111	95	rpge0d 13006	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
112	111	adantrr 717	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ∧ 0 ≤ 𝑛)) → 0 ≤ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
113	15, 15, 85, 91, 96, 110, 112	rlimsqz2 15624	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
114	14, 113	eqbrtrid 5145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 0)
115	94	rpcnd 13004	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℂ)
116	115	fmpttd 7090	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))):ℝ+⟶ℂ)
117		rpssre 12966	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
118	117	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ℝ+ ⊆ ℝ)
119	116, 118, 32	rlimresb 15538	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0 ↔ ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 0))
120	114, 119	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191   ↾ cres 5643  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080  +∞cpnf 11212   < clt 11215   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  ℝ⁺crp 12958  [,)cico 13315   ⇝_𝑟 crli 15458  ↑_𝑐ccxp 26471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-cxp 26473

This theorem is referenced by: (None)