Theorem cxp2lim 27018

Description: Any power grows slower than any exponential with base greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxp2lim	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem cxp2lim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11178	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		elicopnf 13446	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑛)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑛))
4	3	simplbi 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 𝑛 ∈ ℝ)
5		0red 11181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
6		1red 11179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
7		0lt1 11706	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 0 < 1)
9	3	simprbi 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑛)
10	5, 6, 4, 8, 9	ltletrd 11340	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 0 < 𝑛)
11	4, 10	elrpd 13031	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 𝑛 ∈ ℝ+)
12	11	ssriv 3940	. . . 4 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
13		resmpt 6023	. . . 4 ⊢ ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
15		0red 11181	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
16	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1[,)+∞) ⊆ ℝ+)
17		rpre 12999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ∈ ℝ)
18	17	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ)
19		rpge0 13004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑛)
20	19	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑛)
21		simpl2 1205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		0red 11181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
23		1red 11179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
24	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 < 1)
25		simpl3 1206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 1 < 𝐵)
26	22, 23, 21, 24, 25	lttrd 11341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 < 𝐵)
27	21, 26	elrpd 13031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
28	27, 18	rpcxpcld 26775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
29		simp1 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
30		ifcl 4525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
31	29, 1, 30	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
32		1red 11179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
33	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 1)
34		max1 13185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
35	1, 29, 34	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
36	15, 32, 31, 33, 35	ltletrd 11340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
37	31, 36	elrpd 13031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ+)
38	37	rprecred 13045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
39	38	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
40	28, 39	rpcxpcld 26775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ+)
41	31	recnd 11207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℂ)
42	41	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℂ)
43	18, 20, 40, 42	divcxpd 26764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) = ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))
44	37	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ+)
45	44	rpne0d 13039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ≠ 0)
46	42, 45	recid2d 11960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) = 1)
47	46	oveq2d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐1))
48	28, 39, 42	cxpmuld 26779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = (((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))
49	28	rpcnd 13036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐𝑛) ∈ ℂ)
50	49	cxp1d 26748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐1) = (𝐵↑𝑐𝑛))
51	47, 48, 50	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) = (𝐵↑𝑐𝑛))
52	51	oveq2d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
53	43, 52	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) = ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
54	53	mpteq2dva 5192	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛))))
55		ovexd 7427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) ∈ V)
56	18	recnd 11207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℂ)
57	38	recnd 11207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℂ)
58	57	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℂ)
59	56, 58	mulcomd 11200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 · (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · 𝑛))
60	59	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐(𝑛 · (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) = (𝐵↑𝑐((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · 𝑛)))
61	27, 18, 58	cxpmuld 26779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐(𝑛 · (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) = ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))
62	27, 39, 56	cxpmuld 26779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · 𝑛)) = ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))
63	60, 61, 62	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))
64	63	oveq2d 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) = (𝑛 / ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛)))
65	64	mpteq2dva 5192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))))
66		simp2 1149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
67		simp3 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐵)
68	15, 32, 66, 33, 67	lttrd 11341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
69	66, 68	elrpd 13031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
70	69, 38	rpcxpcld 26775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ+)
71	70	rpred 13034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ)
72	57	1cxpd 26749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = 1)
73		0le1 11707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 1
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ≤ 1)
75	69	rpge0d 13038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
76	37	rpreccld 13044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
77	32, 74, 66, 75, 76	cxplt2d 26768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐵 ↔ (1↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) < (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))))
78	67, 77	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) < (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))
79	72, 78	eqbrtrrd 5123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 < (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))
80		cxp2limlem 27017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
81	71, 79, 80	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
82	65, 81	eqbrtrd 5121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))) ⇝𝑟 0)
83	55, 82, 37	rlimcxp 27015	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ⇝𝑟 0)
84	54, 83	eqbrtrrd 5123	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
85	16, 84	rlimres2 15571	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
86		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
87	31	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
88	86, 87	rpcxpcld 26775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
89	88, 28	rpdivcld 13051	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
90	89	rpred 13034	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
91	11, 90	sylan2 602	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
92		simpl1 1204	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
93	86, 92	rpcxpcld 26775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
94	93, 28	rpdivcld 13051	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
95	11, 94	sylan2 602	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
96	95	rpred 13034	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
97	11, 93	sylan2 602	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
98	97	rpred 13034	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛↑𝑐𝐴) ∈ ℝ)
99	11, 88	sylan2 602	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
100	99	rpred 13034	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
101	11, 28	sylan2 602	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝐵↑𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
102	4	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
103	9	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑛)
104		simpl1 1204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
105	31	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
106		max2 13187	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
107	1, 104, 106	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 𝐴 ≤ if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
108	102, 103, 104, 105, 107	cxplead 26763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛↑𝑐𝐴) ≤ (𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))
109	98, 100, 101, 108	lediv1dd 13092	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ≤ ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
110	109	adantrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ∧ 0 ≤ 𝑛)) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ≤ ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
111	95	rpge0d 13038	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
112	111	adantrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ∧ 0 ≤ 𝑛)) → 0 ≤ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
113	15, 15, 85, 91, 96, 110, 112	rlimsqz2 15661	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
114	14, 113	eqbrtrid 5134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 0)
115	94	rpcnd 13036	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℂ)
116	115	fmpttd 7092	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))):ℝ+⟶ℂ)
117		rpssre 12998	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
118	117	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ℝ+ ⊆ ℝ)
119	116, 118, 32	rlimresb 15575	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0 ↔ ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 0))
120	114, 119	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  ifcif 4479   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180   ↾ cres 5647  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   · cmul 11075  +∞cpnf 11210   < clt 11213   ≤ cle 11214   / cdiv 11841  ℝ⁺crp 12990  [,)cico 13348   ⇝_𝑟 crli 15495  ↑_𝑐ccxp 26597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-ef 16080  df-sin 16082  df-cos 16083  df-pi 16085  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-limc 25908  df-dv 25909  df-log 26598  df-cxp 26599

This theorem is referenced by: (None)