MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxp2lim Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cxp2lim 26717
Description: Any power grows slower than any exponential with base greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxp2lim ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β‡π‘Ÿ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛
Proof of Theorem cxp2lim
StepHypRef Expression
1 1re 11218 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
2 elicopnf 13426 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ β†’ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝑛)))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝑛))
43simplbi 496 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
5 0red 11221 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) β†’ 0 ∈ ℝ)
6 1red 11219 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) β†’ 1 ∈ ℝ)
7 0lt1 11740 . . . . . . . 8 0 < 1
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) β†’ 0 < 1)
93simprbi 495 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) β†’ 1 ≀ 𝑛)
105, 6, 4, 8, 9ltletrd 11378 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) β†’ 0 < 𝑛)
114, 10elrpd 13017 . . . . 5 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
1211ssriv 3985 . . . 4 (1[,)+∞) βŠ† ℝ+
13 resmpt 6036 . . . 4 ((1[,)+∞) βŠ† ℝ+ β†’ ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β†Ύ (1[,)+∞)) = (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))))
1412, 13ax-mp 5 . . 3 ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β†Ύ (1[,)+∞)) = (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)))
15 0red 11221 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 0 ∈ ℝ)
1612a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (1[,)+∞) βŠ† ℝ+)
17 rpre 12986 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1817adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
19 rpge0 12991 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝑛)
2019adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ 𝑛)
21 simpl2 1190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
22 0red 11221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ ℝ)
23 1red 11219 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ ℝ)
247a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 0 < 1)
25 simpl3 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 1 < 𝐡)
2622, 23, 21, 24, 25lttrd 11379 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 0 < 𝐡)
2721, 26elrpd 13017 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
2827, 18rpcxpcld 26477 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝐡↑𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
29 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
30 ifcl 4572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
3129, 1, 30sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
32 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 1 ∈ ℝ)
337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 0 < 1)
34 max1 13168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 1 ≀ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))
351, 29, 34sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 1 ≀ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))
3615, 32, 31, 33, 35ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 0 < if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))
3731, 36elrpd 13017 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ+)
3837rprecred 13031 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
3938adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
4028, 39rpcxpcld 26477 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ+)
4131recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ β„‚)
4241adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ β„‚)
4318, 20, 40, 42divcxpd 26466 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑛 / ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) = ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))
4437adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ+)
4544rpne0d 13025 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) β‰  0)
4642, 45recid2d 11990 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) Β· if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) = 1)
4746oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐((1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) Β· if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐1))
4828, 39, 42cxpmuld 26481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐((1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) Β· if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) = (((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))
4928rpcnd 13022 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝐡↑𝑐𝑛) ∈ β„‚)
5049cxp1d 26450 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐1) = (𝐡↑𝑐𝑛))
5147, 48, 503eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) = (𝐡↑𝑐𝑛))
5251oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛)))
5343, 52eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑛 / ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) = ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛)))
5453mpteq2dva 5247 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛 / ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛))))
55 ovexd 7446 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝑛 / ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))) ∈ V)
5618recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
5738recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ β„‚)
5857adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ β„‚)
5956, 58mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝑛 Β· (1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) Β· 𝑛))
6059oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝐡↑𝑐(𝑛 Β· (1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))) = (𝐡↑𝑐((1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) Β· 𝑛)))
6127, 18, 58cxpmuld 26481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝐡↑𝑐(𝑛 Β· (1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))) = ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))
6227, 39, 56cxpmuld 26481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝐡↑𝑐((1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) Β· 𝑛)) = ((𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))
6360, 61, 623eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))
6463oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝑛 / ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))) = (𝑛 / ((𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛)))
6564mpteq2dva 5247 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))))
66 simp2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
67 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 1 < 𝐡)
6815, 32, 66, 33, 67lttrd 11379 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 0 < 𝐡)
6966, 68elrpd 13017 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
7069, 38rpcxpcld 26477 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ+)
7170rpred 13020 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ)
72571cxpd 26451 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (1↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) = 1)
73 0le1 11741 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≀ 1
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 0 ≀ 1)
7569rpge0d 13024 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 0 ≀ 𝐡)
7637rpreccld 13030 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
7732, 74, 66, 75, 76cxplt2d 26470 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (1 < 𝐡 ↔ (1↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) < (𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))))
7867, 77mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (1↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) < (𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))
7972, 78eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ 1 < (𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))
80 cxp2limlem 26716 . . . . . . . . 9 (((𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))) β‡π‘Ÿ 0)
8171, 79, 80syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐡↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))) β‡π‘Ÿ 0)
8265, 81eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))) β‡π‘Ÿ 0)
8355, 82, 37rlimcxp 26714 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛 / ((𝐡↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))) β‡π‘Ÿ 0)
8454, 83eqbrtrrd 5171 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β‡π‘Ÿ 0)
8516, 84rlimres2 15509 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β‡π‘Ÿ 0)
86 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
8731adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
8886, 87rpcxpcld 26477 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
8988, 28rpdivcld 13037 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
9089rpred 13020 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
9111, 90sylan2 591 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
92 simpl1 1189 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9386, 92rpcxpcld 26477 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝑛↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
9493, 28rpdivcld 13037 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
9511, 94sylan2 591 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
9695rpred 13020 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
9711, 93sylan2 591 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ (𝑛↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
9897rpred 13020 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ (𝑛↑𝑐𝐴) ∈ ℝ)
9911, 88sylan2 591 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ (𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
10099rpred 13020 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ (𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
10111, 28sylan2 591 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ (𝐡↑𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
1024adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1039adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ 1 ≀ 𝑛)
104 simpl1 1189 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
10531adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
106 max2 13170 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ≀ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))
1071, 104, 106sylancr 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ 𝐴 ≀ if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1))
108102, 103, 104, 105, 107cxplead 26465 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ (𝑛↑𝑐𝐴) ≀ (𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)))
10998, 100, 101, 108lediv1dd 13078 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ≀ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛)))
110109adantrr 713 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ∧ 0 ≀ 𝑛)) β†’ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ≀ ((𝑛↑𝑐if(1 ≀ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐡↑𝑐𝑛)))
11195rpge0d 13024 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) β†’ 0 ≀ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)))
112111adantrr 713 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ∧ 0 ≀ 𝑛)) β†’ 0 ≀ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)))
11315, 15, 85, 91, 96, 110, 112rlimsqz2 15601 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β‡π‘Ÿ 0)
11414, 113eqbrtrid 5182 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β†Ύ (1[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 0)
11594rpcnd 13022 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛)) ∈ β„‚)
116115fmpttd 7115 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))):ℝ+βŸΆβ„‚)
117 rpssre 12985 . . . 4 ℝ+ βŠ† ℝ
118117a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
119116, 118, 32rlimresb 15513 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β‡π‘Ÿ 0 ↔ ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β†Ύ (1[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 0))
120114, 119mpbird 256 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐡↑𝑐𝑛))) β‡π‘Ÿ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   β†Ύ cres 5677  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  β„+crp 12978  [,)cico 13330   β‡π‘Ÿ crli 15433  β†‘𝑐ccxp 26300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-cxp 26302
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator