Theorem cxp2lim 26887

Description: Any power grows slower than any exponential with base greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxp2lim	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem cxp2lim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11174	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		elicopnf 13406	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑛)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑛))
4	3	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 𝑛 ∈ ℝ)
5		0red 11177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
6		1red 11175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
7		0lt1 11700	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 0 < 1)
9	3	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑛)
10	5, 6, 4, 8, 9	ltletrd 11334	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 0 < 𝑛)
11	4, 10	elrpd 12992	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 𝑛 ∈ ℝ+)
12	11	ssriv 3950	. . . 4 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
13		resmpt 6008	. . . 4 ⊢ ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
15		0red 11177	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
16	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1[,)+∞) ⊆ ℝ+)
17		rpre 12960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ)
19		rpge0 12965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑛)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑛)
21		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		0red 11177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
23		1red 11175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
24	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 < 1)
25		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 1 < 𝐵)
26	22, 23, 21, 24, 25	lttrd 11335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 < 𝐵)
27	21, 26	elrpd 12992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
28	27, 18	rpcxpcld 26642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
29		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
30		ifcl 4534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
31	29, 1, 30	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
32		1red 11175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
33	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 1)
34		max1 13145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
35	1, 29, 34	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
36	15, 32, 31, 33, 35	ltletrd 11334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
37	31, 36	elrpd 12992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ+)
38	37	rprecred 13006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
40	28, 39	rpcxpcld 26642	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ+)
41	31	recnd 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℂ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℂ)
43	18, 20, 40, 42	divcxpd 26631	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) = ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))
44	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ+)
45	44	rpne0d 13000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ≠ 0)
46	42, 45	recid2d 11954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) = 1)
47	46	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐1))
48	28, 39, 42	cxpmuld 26646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = (((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))
49	28	rpcnd 12997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐𝑛) ∈ ℂ)
50	49	cxp1d 26615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐1) = (𝐵↑𝑐𝑛))
51	47, 48, 50	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) = (𝐵↑𝑐𝑛))
52	51	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
53	43, 52	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) = ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
54	53	mpteq2dva 5200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛))))
55		ovexd 7422	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) ∈ V)
56	18	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℂ)
57	38	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℂ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℂ)
59	56, 58	mulcomd 11195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 · (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · 𝑛))
60	59	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐(𝑛 · (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) = (𝐵↑𝑐((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · 𝑛)))
61	27, 18, 58	cxpmuld 26646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐(𝑛 · (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) = ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))
62	27, 39, 56	cxpmuld 26646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · 𝑛)) = ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))
63	60, 61, 62	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))
64	63	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) = (𝑛 / ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛)))
65	64	mpteq2dva 5200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))))
66		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
67		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐵)
68	15, 32, 66, 33, 67	lttrd 11335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
69	66, 68	elrpd 12992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
70	69, 38	rpcxpcld 26642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ+)
71	70	rpred 12995	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ)
72	57	1cxpd 26616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = 1)
73		0le1 11701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 1
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ≤ 1)
75	69	rpge0d 12999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
76	37	rpreccld 13005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
77	32, 74, 66, 75, 76	cxplt2d 26635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐵 ↔ (1↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) < (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))))
78	67, 77	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) < (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))
79	72, 78	eqbrtrrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 < (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))
80		cxp2limlem 26886	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
81	71, 79, 80	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
82	65, 81	eqbrtrd 5129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))) ⇝𝑟 0)
83	55, 82, 37	rlimcxp 26884	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛 / ((𝐵↑𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ⇝𝑟 0)
84	54, 83	eqbrtrrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
85	16, 84	rlimres2 15527	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
86		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
87	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
88	86, 87	rpcxpcld 26642	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
89	88, 28	rpdivcld 13012	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
90	89	rpred 12995	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
91	11, 90	sylan2 593	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
92		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
93	86, 92	rpcxpcld 26642	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
94	93, 28	rpdivcld 13012	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
95	11, 94	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
96	95	rpred 12995	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
97	11, 93	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
98	97	rpred 12995	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛↑𝑐𝐴) ∈ ℝ)
99	11, 88	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
100	99	rpred 12995	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
101	11, 28	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝐵↑𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
102	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
103	9	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑛)
104		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
105	31	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
106		max2 13147	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
107	1, 104, 106	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 𝐴 ≤ if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
108	102, 103, 104, 105, 107	cxplead 26630	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛↑𝑐𝐴) ≤ (𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))
109	98, 100, 101, 108	lediv1dd 13053	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ≤ ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
110	109	adantrr 717	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ∧ 0 ≤ 𝑛)) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ≤ ((𝑛↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
111	95	rpge0d 12999	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
112	111	adantrr 717	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ∧ 0 ≤ 𝑛)) → 0 ≤ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)))
113	15, 15, 85, 91, 96, 110, 112	rlimsqz2 15617	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
114	14, 113	eqbrtrid 5142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 0)
115	94	rpcnd 12997	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛)) ∈ ℂ)
116	115	fmpttd 7087	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))):ℝ+⟶ℂ)
117		rpssre 12959	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
118	117	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ℝ+ ⊆ ℝ)
119	116, 118, 32	rlimresb 15531	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0 ↔ ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 0))
120	114, 119	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛↑𝑐𝐴) / (𝐵↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ifcif 4488   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   ↾ cres 5640  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073  +∞cpnf 11205   < clt 11208   ≤ cle 11209   / cdiv 11835  ℝ⁺crp 12951  [,)cico 13308   ⇝_𝑟 crli 15451  ↑_𝑐ccxp 26464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465  df-cxp 26466

This theorem is referenced by: (None)