MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxp2lim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxp2lim 26828
Description: Any power grows slower than any exponential with base greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxp2lim ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem cxp2lim
StepHypRef Expression
1 1re 11212 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
2 elicopnf 13420 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑛)))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑛))
43simplbi 497 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 𝑛 ∈ ℝ)
5 0red 11215 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
6 1red 11213 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
7 0lt1 11734 . . . . . . . 8 0 < 1
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 0 < 1)
93simprbi 496 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑛)
105, 6, 4, 8, 9ltletrd 11372 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 0 < 𝑛)
114, 10elrpd 13011 . . . . 5 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) → 𝑛 ∈ ℝ+)
1211ssriv 3979 . . . 4 (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
13 resmpt 6028 . . . 4 ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛))))
1412, 13ax-mp 5 . . 3 ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛)))
15 0red 11215 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
1612a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1[,)+∞) ⊆ ℝ+)
17 rpre 12980 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ)
1817adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ)
19 rpge0 12985 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑛)
2019adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑛)
21 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
22 0red 11215 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
23 1red 11213 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
247a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 < 1)
25 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 1 < 𝐵)
2622, 23, 21, 24, 25lttrd 11373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 < 𝐵)
2721, 26elrpd 13011 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2827, 18rpcxpcld 26586 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
29 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
30 ifcl 4566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
3129, 1, 30sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
32 1red 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 1)
34 max1 13162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
351, 29, 34sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
3615, 32, 31, 33, 35ltletrd 11372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
3731, 36elrpd 13011 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ+)
3837rprecred 13025 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
3938adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
4028, 39rpcxpcld 26586 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ+)
4131recnd 11240 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℂ)
4241adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℂ)
4318, 20, 40, 42divcxpd 26575 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 / ((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) = ((𝑛𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))
4437adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ+)
4544rpne0d 13019 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ≠ 0)
4642, 45recid2d 11984 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) = 1)
4746oveq2d 7418 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐1))
4828, 39, 42cxpmuld 26590 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = (((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))
4928rpcnd 13016 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑐𝑛) ∈ ℂ)
5049cxp1d 26559 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐1) = (𝐵𝑐𝑛))
5147, 48, 503eqtr3d 2772 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) = (𝐵𝑐𝑛))
5251oveq2d 7418 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝑛𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵𝑐𝑛)))
5343, 52eqtrd 2764 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 / ((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) = ((𝑛𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵𝑐𝑛)))
5453mpteq2dva 5239 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛 / ((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵𝑐𝑛))))
55 ovexd 7437 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) ∈ V)
5618recnd 11240 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℂ)
5738recnd 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℂ)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℂ)
5956, 58mulcomd 11233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 · (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · 𝑛))
6059oveq2d 7418 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑐(𝑛 · (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) = (𝐵𝑐((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · 𝑛)))
6127, 18, 58cxpmuld 26590 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑐(𝑛 · (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) = ((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))
6227, 39, 56cxpmuld 26590 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑐((1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) · 𝑛)) = ((𝐵𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))
6360, 61, 623eqtr3d 2772 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = ((𝐵𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))
6463oveq2d 7418 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) = (𝑛 / ((𝐵𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛)))
6564mpteq2dva 5239 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))))
66 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
67 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐵)
6815, 32, 66, 33, 67lttrd 11373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
6966, 68elrpd 13011 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
7069, 38rpcxpcld 26586 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ+)
7170rpred 13014 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ)
72571cxpd 26560 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) = 1)
73 0le1 11735 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 1
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ≤ 1)
7569rpge0d 13018 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
7637rpreccld 13024 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
7732, 74, 66, 75, 76cxplt2d 26579 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐵 ↔ (1↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) < (𝐵𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))))
7867, 77mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) < (𝐵𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))
7972, 78eqbrtrrd 5163 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 < (𝐵𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))
80 cxp2limlem 26827 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝐵𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
8171, 79, 80syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
8265, 81eqbrtrd 5161 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / ((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))) ⇝𝑟 0)
8355, 82, 37rlimcxp 26825 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛 / ((𝐵𝑐𝑛)↑𝑐(1 / if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))))↑𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))) ⇝𝑟 0)
8454, 83eqbrtrrd 5163 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
8516, 84rlimres2 15503 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
86 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
8731adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
8886, 87rpcxpcld 26586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
8988, 28rpdivcld 13031 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
9089rpred 13014 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
9111, 90sylan2 592 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → ((𝑛𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
92 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
9386, 92rpcxpcld 26586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
9493, 28rpdivcld 13031 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
9511, 94sylan2 592 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
9695rpred 13014 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
9711, 93sylan2 592 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
9897rpred 13014 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛𝑐𝐴) ∈ ℝ)
9911, 88sylan2 592 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ+)
10099rpred 13014 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) ∈ ℝ)
10111, 28sylan2 592 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝐵𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
1024adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
1039adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑛)
104 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10531adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1) ∈ ℝ)
106 max2 13164 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
1071, 104, 106sylancr 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 𝐴 ≤ if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1))
108102, 103, 104, 105, 107cxplead 26574 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑛𝑐𝐴) ≤ (𝑛𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)))
10998, 100, 101, 108lediv1dd 13072 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛)) ≤ ((𝑛𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵𝑐𝑛)))
110109adantrr 714 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ∧ 0 ≤ 𝑛)) → ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛)) ≤ ((𝑛𝑐if(1 ≤ 𝐴, 𝐴, 1)) / (𝐵𝑐𝑛)))
11195rpge0d 13018 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛)))
112111adantrr 714 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ∧ 0 ≤ 𝑛)) → 0 ≤ ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛)))
11315, 15, 85, 91, 96, 110, 112rlimsqz2 15595 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↦ ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
11414, 113eqbrtrid 5174 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛))) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 0)
11594rpcnd 13016 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛)) ∈ ℂ)
116115fmpttd 7107 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛))):ℝ+⟶ℂ)
117 rpssre 12979 . . . 4 + ⊆ ℝ
118117a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ℝ+ ⊆ ℝ)
119116, 118, 32rlimresb 15507 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0 ↔ ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛))) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 0))
120114, 119mpbird 257 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑛𝑐𝐴) / (𝐵𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  wss 3941  ifcif 4521   class class class wbr 5139  cmpt 5222  cres 5669  (class class class)co 7402  cc 11105  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   · cmul 11112  +∞cpnf 11243   < clt 11246  cle 11247   / cdiv 11869  +crp 12972  [,)cico 13324  𝑟 crli 15427  𝑐ccxp 26408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ioo 13326  df-ioc 13327  df-ico 13328  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-mod 13833  df-seq 13965  df-exp 14026  df-fac 14232  df-bc 14261  df-hash 14289  df-shft 15012  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15631  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17369  df-topn 17370  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-prds 17394  df-xrs 17449  df-qtop 17454  df-imas 17455  df-xps 17457  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-fbas 21227  df-fg 21228  df-cnfld 21231  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-cld 22847  df-ntr 22848  df-cls 22849  df-nei 22926  df-lp 22964  df-perf 22965  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-haus 23143  df-tx 23390  df-hmeo 23583  df-fil 23674  df-fm 23766  df-flim 23767  df-flf 23768  df-xms 24150  df-ms 24151  df-tms 24152  df-cncf 24722  df-limc 25719  df-dv 25720  df-log 26409  df-cxp 26410
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator