MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrx0el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx0el 25417
Description: The zero ("origin") in a generalized real Euclidean space is an element of its base set. (Contributed by AV, 11-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx0el.0 0 = (𝐼 × {0})
rrx0el.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrx0el (𝐼𝑉0𝑃)

Proof of Theorem rrx0el
StepHypRef Expression
1 c0ex 11258 . . . . . 6 0 ∈ V
21fconst 6788 . . . . 5 (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0}
32a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0})
4 0re 11266 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5 snssg 4792 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ↔ {0} ⊆ ℝ))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ ↔ {0} ⊆ ℝ)
74, 6mpbi 229 . . . . 5 {0} ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → {0} ⊆ ℝ)
93, 8fssd 6745 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℝ)
10 reex 11249 . . . . 5 ℝ ∈ V
1110a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → ℝ ∈ V)
12 id 22 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼𝑉)
1311, 12elmapd 8869 . . 3 (𝐼𝑉 → ((𝐼 × {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℝ))
149, 13mpbird 256 . 2 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
15 rrx0el.0 . 2 0 = (𝐼 × {0})
16 rrx0el.p . 2 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
1714, 15, 163eltr4g 2843 1 (𝐼𝑉0𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  wss 3947  {csn 4633   × cxp 5680  wf 6550  (class class class)co 7424  m cmap 8855  cr 11157  0cc0 11158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-i2m1 11226  ax-rnegex 11229  ax-cnre 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-map 8857
This theorem is referenced by:  ehl2eudisval0  48113  2sphere0  48138
  Copyright terms: Public domain W3C validator