Theorem rrx0el 25378

Description: The zero ("origin") in a generalized real Euclidean space is an element of its base set. (Contributed by AV, 11-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx0el.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
rrx0el.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx0el	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 0 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem rrx0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11132	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2	1	fconst 6721	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0}
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0})
4		0re 11140	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		snssg 4728	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ↔ {0} ⊆ ℝ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ ↔ {0} ⊆ ℝ)
7	4, 6	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ {0} ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {0} ⊆ ℝ)
9	3, 8	fssd 6680	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℝ)
10		reex 11123	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ℝ ∈ V)
12		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13	11, 12	elmapd 8781	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐼 × {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℝ))
14	9, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
15		rrx0el.0	. 2 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
16		rrx0el.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
17	14, 15, 16	3eltr4g 2854	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 0 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  {csn 4568   × cxp 5623  ⟶wf 6489  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767  ℝcr 11031  0cc0 11032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-i2m1 11100  ax-rnegex 11103  ax-cnre 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8769

This theorem is referenced by:  ehl2eudisval0  49216  2sphere0  49241