MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrx0el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx0el 25277
Description: The zero ("origin") in a generalized real Euclidean space is an element of its base set. (Contributed by AV, 11-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx0el.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
rrx0el.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrx0el (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 0 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem rrx0el
StepHypRef Expression
1 c0ex 11209 . . . . . 6 0 ∈ V
21fconst 6770 . . . . 5 (𝐼 Γ— {0}):𝐼⟢{0}
32a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}):𝐼⟢{0})
4 0re 11217 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5 snssg 4782 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ β†’ (0 ∈ ℝ ↔ {0} βŠ† ℝ))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ ↔ {0} βŠ† ℝ)
74, 6mpbi 229 . . . . 5 {0} βŠ† ℝ
87a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ {0} βŠ† ℝ)
93, 8fssd 6728 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}):πΌβŸΆβ„)
10 reex 11200 . . . . 5 ℝ ∈ V
1110a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ℝ ∈ V)
12 id 22 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
1311, 12elmapd 8833 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐼 Γ— {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ (𝐼 Γ— {0}):πΌβŸΆβ„))
149, 13mpbird 257 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
15 rrx0el.0 . 2 0 = (𝐼 Γ— {0})
16 rrx0el.p . 2 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
1714, 15, 163eltr4g 2844 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 0 ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  {csn 4623   Γ— cxp 5667  βŸΆwf 6532  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8819  β„cr 11108  0cc0 11109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-i2m1 11177  ax-rnegex 11180  ax-cnre 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8821
This theorem is referenced by:  ehl2eudisval0  47667  2sphere0  47692
  Copyright terms: Public domain W3C validator