MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrx0el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx0el 25344
Description: The zero ("origin") in a generalized real Euclidean space is an element of its base set. (Contributed by AV, 11-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx0el.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
rrx0el.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrx0el (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 0 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem rrx0el
StepHypRef Expression
1 c0ex 11244 . . . . . 6 0 ∈ V
21fconst 6786 . . . . 5 (𝐼 Γ— {0}):𝐼⟢{0}
32a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}):𝐼⟢{0})
4 0re 11252 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5 snssg 4790 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ β†’ (0 ∈ ℝ ↔ {0} βŠ† ℝ))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ ↔ {0} βŠ† ℝ)
74, 6mpbi 229 . . . . 5 {0} βŠ† ℝ
87a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ {0} βŠ† ℝ)
93, 8fssd 6743 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}):πΌβŸΆβ„)
10 reex 11235 . . . . 5 ℝ ∈ V
1110a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ℝ ∈ V)
12 id 22 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
1311, 12elmapd 8863 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐼 Γ— {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ (𝐼 Γ— {0}):πΌβŸΆβ„))
149, 13mpbird 256 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
15 rrx0el.0 . 2 0 = (𝐼 Γ— {0})
16 rrx0el.p . 2 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
1714, 15, 163eltr4g 2845 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 0 ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  {csn 4630   Γ— cxp 5678  βŸΆwf 6547  (class class class)co 7424   ↑m cmap 8849  β„cr 11143  0cc0 11144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-i2m1 11212  ax-rnegex 11215  ax-cnre 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-map 8851
This theorem is referenced by:  ehl2eudisval0  47849  2sphere0  47874
  Copyright terms: Public domain W3C validator