Theorem rrx0el 25352

Description: The zero ("origin") in a generalized real Euclidean space is an element of its base set. (Contributed by AV, 11-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx0el.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
rrx0el.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx0el	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 0 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem rrx0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11124	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2	1	fconst 6718	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0}
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0})
4		0re 11132	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		snssg 4738	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ↔ {0} ⊆ ℝ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ ↔ {0} ⊆ ℝ)
7	4, 6	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ {0} ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {0} ⊆ ℝ)
9	3, 8	fssd 6677	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℝ)
10		reex 11115	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ℝ ∈ V)
12		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13	11, 12	elmapd 8775	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐼 × {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℝ))
14	9, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
15		rrx0el.0	. 2 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
16		rrx0el.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
17	14, 15, 16	3eltr4g 2851	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 0 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  {csn 4578   × cxp 5620  ⟶wf 6486  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761  ℝcr 11023  0cc0 11024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-i2m1 11092  ax-rnegex 11095  ax-cnre 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8763

This theorem is referenced by:  ehl2eudisval0  48913  2sphere0  48938