Theorem rrx0el 25354

Description: The zero ("origin") in a generalized real Euclidean space is an element of its base set. (Contributed by AV, 11-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx0el.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
rrx0el.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx0el	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 0 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem rrx0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11126	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2	1	fconst 6720	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0}
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0})
4		0re 11134	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		snssg 4740	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ↔ {0} ⊆ ℝ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ ↔ {0} ⊆ ℝ)
7	4, 6	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ {0} ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {0} ⊆ ℝ)
9	3, 8	fssd 6679	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℝ)
10		reex 11117	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ℝ ∈ V)
12		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13	11, 12	elmapd 8777	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐼 × {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℝ))
14	9, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
15		rrx0el.0	. 2 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
16		rrx0el.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
17	14, 15, 16	3eltr4g 2853	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 0 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  {csn 4580   × cxp 5622  ⟶wf 6488  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  ℝcr 11025  0cc0 11026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-i2m1 11094  ax-rnegex 11097  ax-cnre 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8765

This theorem is referenced by:  ehl2eudisval0  48981  2sphere0  49006