MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrx0el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx0el 24765
Description: The zero ("origin") in a generalized real Euclidean space is an element of its base set. (Contributed by AV, 11-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx0el.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
rrx0el.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrx0el (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 0 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem rrx0el
StepHypRef Expression
1 c0ex 11150 . . . . . 6 0 ∈ V
21fconst 6729 . . . . 5 (𝐼 Γ— {0}):𝐼⟢{0}
32a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}):𝐼⟢{0})
4 0re 11158 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5 snssg 4745 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ β†’ (0 ∈ ℝ ↔ {0} βŠ† ℝ))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ ↔ {0} βŠ† ℝ)
74, 6mpbi 229 . . . . 5 {0} βŠ† ℝ
87a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ {0} βŠ† ℝ)
93, 8fssd 6687 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}):πΌβŸΆβ„)
10 reex 11143 . . . . 5 ℝ ∈ V
1110a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ℝ ∈ V)
12 id 22 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
1311, 12elmapd 8780 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐼 Γ— {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ (𝐼 Γ— {0}):πΌβŸΆβ„))
149, 13mpbird 257 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
15 rrx0el.0 . 2 0 = (𝐼 Γ— {0})
16 rrx0el.p . 2 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
1714, 15, 163eltr4g 2855 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 0 ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446   βŠ† wss 3911  {csn 4587   Γ— cxp 5632  βŸΆwf 6493  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8766  β„cr 11051  0cc0 11052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-i2m1 11120  ax-rnegex 11123  ax-cnre 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8768
This theorem is referenced by:  ehl2eudisval0  46818  2sphere0  46843
  Copyright terms: Public domain W3C validator