Theorem rrx0el 25325

Description: The zero ("origin") in a generalized real Euclidean space is an element of its base set. (Contributed by AV, 11-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx0el.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
rrx0el.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx0el	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 0 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem rrx0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11106	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2	1	fconst 6709	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0}
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0})
4		0re 11114	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		snssg 4733	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ↔ {0} ⊆ ℝ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ ↔ {0} ⊆ ℝ)
7	4, 6	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ {0} ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {0} ⊆ ℝ)
9	3, 8	fssd 6668	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℝ)
10		reex 11097	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ℝ ∈ V)
12		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13	11, 12	elmapd 8764	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐼 × {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℝ))
14	9, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
15		rrx0el.0	. 2 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
16		rrx0el.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
17	14, 15, 16	3eltr4g 2848	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 0 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  {csn 4573   × cxp 5612  ⟶wf 6477  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  ℝcr 11005  0cc0 11006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-i2m1 11074  ax-rnegex 11077  ax-cnre 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752

This theorem is referenced by:  ehl2eudisval0  48836  2sphere0  48861