MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrx0el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx0el 23993
Description: The zero ("origin") in a generalized real Euclidean space is an element of its base set. (Contributed by AV, 11-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx0el.0 0 = (𝐼 × {0})
rrx0el.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrx0el (𝐼𝑉0𝑃)

Proof of Theorem rrx0el
StepHypRef Expression
1 c0ex 10627 . . . . . 6 0 ∈ V
21fconst 6558 . . . . 5 (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0}
32a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0})
4 0re 10635 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5 snssg 4709 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ↔ {0} ⊆ ℝ))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ ↔ {0} ⊆ ℝ)
74, 6mpbi 232 . . . . 5 {0} ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → {0} ⊆ ℝ)
93, 8fssd 6521 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℝ)
10 reex 10620 . . . . 5 ℝ ∈ V
1110a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → ℝ ∈ V)
12 id 22 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼𝑉)
1311, 12elmapd 8412 . . 3 (𝐼𝑉 → ((𝐼 × {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℝ))
149, 13mpbird 259 . 2 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
15 rrx0el.0 . 2 0 = (𝐼 × {0})
16 rrx0el.p . 2 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
1714, 15, 163eltr4g 2928 1 (𝐼𝑉0𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3493  wss 3934  {csn 4559   × cxp 5546  wf 6344  (class class class)co 7148  m cmap 8398  cr 10528  0cc0 10529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-i2m1 10597  ax-rnegex 10600  ax-cnre 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-map 8400
This theorem is referenced by:  ehl2eudisval0  44692  2sphere0  44717
  Copyright terms: Public domain W3C validator