Theorem rrx0el 24001

Description: The zero ("origin") in a generalized real Euclidean space is an element of its base set. (Contributed by AV, 11-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx0el.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
rrx0el.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx0el	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 0 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem rrx0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10635	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2	1	fconst 6565	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0}
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0})
4		0re 10643	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		snssg 4717	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ↔ {0} ⊆ ℝ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ ↔ {0} ⊆ ℝ)
7	4, 6	mpbi 232	. . . . 5 ⊢ {0} ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {0} ⊆ ℝ)
9	3, 8	fssd 6528	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℝ)
10		reex 10628	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ℝ ∈ V)
12		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13	11, 12	elmapd 8420	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐼 × {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℝ))
14	9, 13	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
15		rrx0el.0	. 2 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
16		rrx0el.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
17	14, 15, 16	3eltr4g 2930	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 0 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936  {csn 4567   × cxp 5553  ⟶wf 6351  (class class class)co 7156   ↑_m cmap 8406  ℝcr 10536  0cc0 10537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-i2m1 10605  ax-rnegex 10608  ax-cnre 10610

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-map 8408

This theorem is referenced by:  ehl2eudisval0  44732  2sphere0  44757