MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  csbren Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem csbren 25340
Description: Cauchy-Schwarz-Bunjakovsky inequality for R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
csbrn.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
csbrn.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
csbren (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)

Proof of Theorem csbren
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cn 12318 . . . . 5 2 โˆˆ โ„‚
2 csbrn.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
3 csbrn.2 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
4 csbrn.3 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
53, 4remulcld 11275 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
62, 5fsumrecl 15713 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
76recnd 11273 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
8 sqmul 14116 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2)))
91, 7, 8sylancr 586 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2)))
10 sq2 14193 . . . . 5 (2โ†‘2) = 4
1110oveq1i 7430 . . . 4 ((2โ†‘2) ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2)) = (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2))
129, 11eqtrdi 2784 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) = (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2)))
133resqcld 14122 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
142, 13fsumrecl 15713 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
15 2re 12317 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
16 remulcl 11224 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
1715, 6, 16sylancr 586 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
184resqcld 14122 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
192, 18fsumrecl 15713 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
202adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
2113adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
22 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
2322resqcld 14122 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„)
2421, 23remulcld 11275 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) โˆˆ โ„)
25 remulcl 11224 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
2615, 5, 25sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
2726adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
2827, 22remulcld 11275 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2924, 28readdcld 11274 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
3018adantlr 714 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
3129, 30readdcld 11274 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
323adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3332, 22remulcld 11275 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
344adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
3533, 34readdcld 11274 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ) โˆˆ โ„)
3635sqge0d 14134 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)โ†‘2))
3733recnd 11273 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
3834recnd 11273 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
39 binom2 14213 . . . . . . . . . 10 (((๐ต ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)โ†‘2) = ((((๐ต ยท ๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ต ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)))
4037, 38, 39syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)โ†‘2) = ((((๐ต ยท ๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ต ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)))
4132recnd 11273 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4222recnd 11273 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4341, 42sqmuld 14155 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฅ)โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)))
4441, 42, 38mul32d 11455 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ถ) = ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ))
4544oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท ((๐ต ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ถ)) = (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ)))
46 2cnd 12321 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
475adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
4847recnd 11273 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4946, 48, 42mulassd 11268 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ) = (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ)))
5045, 49eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท ((๐ต ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ถ)) = ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ))
5143, 50oveq12d 7438 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐ต ยท ๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ต ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ถ))) = (((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)))
5251oveq1d 7435 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((((๐ต ยท ๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ต ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)) = ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + (๐ถโ†‘2)))
5340, 52eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)โ†‘2) = ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + (๐ถโ†‘2)))
5436, 53breqtrd 5174 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + (๐ถโ†‘2)))
5520, 31, 54fsumge0 15774 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + (๐ถโ†‘2)))
5624recnd 11273 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
5728recnd 11273 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
5856, 57addcld 11264 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
5930recnd 11273 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6020, 58, 59fsumadd 15719 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + (๐ถโ†‘2)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
6120, 56, 57fsumadd 15719 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)))
62 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
6362recnd 11273 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6463sqcld 14141 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6521recnd 11273 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6620, 64, 65fsummulc1 15764 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)))
67 2cnd 12321 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
6820, 67, 48fsummulc2 15763 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
6968oveq1d 7435 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ))
7026recnd 11273 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
7170adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
7220, 63, 71fsummulc1 15764 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ))
7369, 72eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ))
7466, 73oveq12d 7438 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)))
7561, 74eqtr4d 2771 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)))
7675oveq1d 7435 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) = (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
7760, 76eqtrd 2768 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + (๐ถโ†‘2)) = (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
7855, 77breqtrd 5174 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
7914, 17, 19, 78discr 14235 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))) โ‰ค 0)
8017resqcld 14122 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆˆ โ„)
81 4re 12327 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„
8214, 19remulcld 11275 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
83 remulcl 11224 . . . . . 6 ((4 โˆˆ โ„ โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„) โ†’ (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โˆˆ โ„)
8481, 82, 83sylancr 586 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โˆˆ โ„)
8580, 84suble0d 11836 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))) โ‰ค 0 โ†” ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โ‰ค (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))))
8679, 85mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โ‰ค (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
8712, 86eqbrtrrd 5172 . 2 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2)) โ‰ค (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
886resqcld 14122 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โˆˆ โ„)
8981a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
90 4pos 12350 . . . 4 0 < 4
9190a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 < 4)
92 lemul2 12098 . . 3 (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 4)) โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โ†” (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2)) โ‰ค (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))))
9388, 82, 89, 91, 92syl112anc 1372 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โ†” (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2)) โ‰ค (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))))
9487, 93mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139   + caddc 11142   ยท cmul 11144   < clt 11279   โ‰ค cle 11280   โˆ’ cmin 11475  2c2 12298  4c4 12300  โ†‘cexp 14059  ฮฃcsu 15665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13363  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666
This theorem is referenced by:  trirn  25341
  Copyright terms: Public domain W3C validator