MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  csbren Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem csbren 24766
Description: Cauchy-Schwarz-Bunjakovsky inequality for R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
csbrn.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
csbrn.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
csbren (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)

Proof of Theorem csbren
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cn 12229 . . . . 5 2 โˆˆ โ„‚
2 csbrn.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
3 csbrn.2 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
4 csbrn.3 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
53, 4remulcld 11186 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
62, 5fsumrecl 15620 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
76recnd 11184 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
8 sqmul 14025 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2)))
91, 7, 8sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2)))
10 sq2 14102 . . . . 5 (2โ†‘2) = 4
1110oveq1i 7368 . . . 4 ((2โ†‘2) ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2)) = (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2))
129, 11eqtrdi 2793 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) = (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2)))
133resqcld 14031 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
142, 13fsumrecl 15620 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
15 2re 12228 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
16 remulcl 11137 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
1715, 6, 16sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
184resqcld 14031 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
192, 18fsumrecl 15620 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
202adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
2113adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
22 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
2322resqcld 14031 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„)
2421, 23remulcld 11186 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) โˆˆ โ„)
25 remulcl 11137 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
2615, 5, 25sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
2726adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
2827, 22remulcld 11186 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2924, 28readdcld 11185 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
3018adantlr 714 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
3129, 30readdcld 11185 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
323adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3332, 22remulcld 11186 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
344adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
3533, 34readdcld 11185 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ) โˆˆ โ„)
3635sqge0d 14043 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)โ†‘2))
3733recnd 11184 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
3834recnd 11184 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
39 binom2 14122 . . . . . . . . . 10 (((๐ต ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)โ†‘2) = ((((๐ต ยท ๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ต ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)))
4037, 38, 39syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)โ†‘2) = ((((๐ต ยท ๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ต ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)))
4132recnd 11184 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4222recnd 11184 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4341, 42sqmuld 14064 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฅ)โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)))
4441, 42, 38mul32d 11366 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ถ) = ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ))
4544oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท ((๐ต ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ถ)) = (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ)))
46 2cnd 12232 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
475adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
4847recnd 11184 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4946, 48, 42mulassd 11179 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ) = (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ)))
5045, 49eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท ((๐ต ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ถ)) = ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ))
5143, 50oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐ต ยท ๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ต ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ถ))) = (((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)))
5251oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((((๐ต ยท ๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ต ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)) = ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + (๐ถโ†‘2)))
5340, 52eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)โ†‘2) = ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + (๐ถโ†‘2)))
5436, 53breqtrd 5132 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + (๐ถโ†‘2)))
5520, 31, 54fsumge0 15681 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + (๐ถโ†‘2)))
5624recnd 11184 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
5728recnd 11184 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
5856, 57addcld 11175 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
5930recnd 11184 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6020, 58, 59fsumadd 15626 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + (๐ถโ†‘2)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
6120, 56, 57fsumadd 15626 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)))
62 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
6362recnd 11184 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6463sqcld 14050 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6521recnd 11184 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6620, 64, 65fsummulc1 15671 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)))
67 2cnd 12232 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
6820, 67, 48fsummulc2 15670 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
6968oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ))
7026recnd 11184 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
7170adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
7220, 63, 71fsummulc1 15671 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ))
7369, 72eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ))
7466, 73oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)))
7561, 74eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)))
7675oveq1d 7373 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) = (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
7760, 76eqtrd 2777 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + (๐ถโ†‘2)) = (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
7855, 77breqtrd 5132 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
7914, 17, 19, 78discr 14144 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))) โ‰ค 0)
8017resqcld 14031 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆˆ โ„)
81 4re 12238 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„
8214, 19remulcld 11186 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
83 remulcl 11137 . . . . . 6 ((4 โˆˆ โ„ โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„) โ†’ (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โˆˆ โ„)
8481, 82, 83sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โˆˆ โ„)
8580, 84suble0d 11747 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))) โ‰ค 0 โ†” ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โ‰ค (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))))
8679, 85mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โ‰ค (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
8712, 86eqbrtrrd 5130 . 2 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2)) โ‰ค (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
886resqcld 14031 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โˆˆ โ„)
8981a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
90 4pos 12261 . . . 4 0 < 4
9190a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 < 4)
92 lemul2 12009 . . 3 (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 4)) โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โ†” (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2)) โ‰ค (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))))
9388, 82, 89, 91, 92syl112anc 1375 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โ†” (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2)) โ‰ค (4 ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))))
9487, 93mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  0cc0 11052   + caddc 11055   ยท cmul 11057   < clt 11190   โ‰ค cle 11191   โˆ’ cmin 11386  2c2 12209  4c4 12211  โ†‘cexp 13968  ฮฃcsu 15571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-ico 13271  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572
This theorem is referenced by:  trirn  24767
  Copyright terms: Public domain W3C validator