Theorem csbren 24573

Description: Cauchy-Schwarz-Bunjakovsky inequality for R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
csbrn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
csbrn.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
csbrn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
csbren	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem csbren

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12058	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		csbrn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		csbrn.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		csbrn.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	remulcld 11015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
6	2, 5	fsumrecl 15456	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11013	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8		sqmul 13849	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
9	1, 7, 8	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
10		sq2 13924	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
11	10	oveq1i 7277	. . . 4 ⊢ ((2↑2) · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) = (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
12	9, 11	eqtrdi 2794	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
13	3	resqcld 13975	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
14	2, 13	fsumrecl 15456	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ)
15		2re 12057	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		remulcl 10966	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
17	15, 6, 16	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
18	4	resqcld 13975	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
19	2, 18	fsumrecl 15456	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ)
20	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ Fin)
21	13	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
22		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
23	22	resqcld 13975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
24	21, 23	remulcld 11015	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
25		remulcl 10966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
26	15, 5, 25	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
27	26	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
28	27, 22	remulcld 11015	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℝ)
29	24, 28	readdcld 11014	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℝ)
30	18	adantlr 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
31	29, 30	readdcld 11014	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
32	3	adantlr 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
33	32, 22	remulcld 11015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℝ)
34	4	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
35	33, 34	readdcld 11014	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) ∈ ℝ)
36	35	sqge0d 13976	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2))
37	33	recnd 11013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ)
38	34	recnd 11013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
39		binom2 13943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
40	37, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
41	32	recnd 11013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	22	recnd 11013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
43	41, 42	sqmuld 13886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
44	41, 42, 38	mul32d 11195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
45	44	oveq2d 7283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
46		2cnd 12061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
47	5	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
49	46, 48, 42	mulassd 11008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
50	45, 49	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
51	43, 50	oveq12d 7285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) = (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
52	51	oveq1d 7282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
53	40, 52	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
54	36, 53	breqtrd 5099	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
55	20, 31, 54	fsumge0 15517	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
56	24	recnd 11013	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
57	28	recnd 11013	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℂ)
58	56, 57	addcld 11004	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
59	30	recnd 11013	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
60	20, 58, 59	fsumadd 15462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
61	20, 56, 57	fsumadd 15462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
62		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
63	62	recnd 11013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
64	63	sqcld 13872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
65	21	recnd 11013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
66	20, 64, 65	fsummulc1 15507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
67		2cnd 12061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
68	20, 67, 48	fsummulc2 15506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)))
69	68	oveq1d 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
70	26	recnd 11013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
71	70	adantlr 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
72	20, 63, 71	fsummulc1 15507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
73	69, 72	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
74	66, 73	oveq12d 7285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
75	61, 74	eqtr4d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
76	75	oveq1d 7282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
77	60, 76	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
78	55, 77	breqtrd 5099	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
79	14, 17, 19, 78	discr 13965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0)
80	17	resqcld 13975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
81		4re 12067	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
82	14, 19	remulcld 11015	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
83		remulcl 10966	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ) → (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
84	81, 82, 83	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
85	80, 84	suble0d 11576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0 ↔ ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
86	79, 85	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
87	12, 86	eqbrtrrd 5097	. 2 ⊢ (𝜑 → (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
88	6	resqcld 13975	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
89	81	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
90		4pos 12090	. . . 4 ⊢ 0 < 4
91	90	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 4)
92		lemul2 11838	. . 3 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
93	88, 82, 89, 91, 92	syl112anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
94	87, 93	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5073  (class class class)co 7267  Fincfn 8720  ℂcc 10879  ℝcr 10880  0cc0 10881   + caddc 10884   · cmul 10886   < clt 11019   ≤ cle 11020   − cmin 11215  2c2 12038  4c4 12040  ↑cexp 13792  Σcsu 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-sup 9188  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-rp 12741  df-ico 13095  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-seq 13732  df-exp 13793  df-hash 14055  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-clim 15207  df-sum 15408

This theorem is referenced by:  trirn  24574