Theorem csbren 24763

Description: Cauchy-Schwarz-Bunjakovsky inequality for R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
csbrn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
csbrn.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
csbrn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
csbren	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem csbren

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12228	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		csbrn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		csbrn.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		csbrn.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	remulcld 11185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
6	2, 5	fsumrecl 15619	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8		sqmul 14024	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
9	1, 7, 8	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
10		sq2 14101	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
11	10	oveq1i 7367	. . . 4 ⊢ ((2↑2) · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) = (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
12	9, 11	eqtrdi 2792	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
13	3	resqcld 14030	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
14	2, 13	fsumrecl 15619	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ)
15		2re 12227	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		remulcl 11136	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
17	15, 6, 16	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
18	4	resqcld 14030	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
19	2, 18	fsumrecl 15619	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ)
20	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ Fin)
21	13	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
22		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
23	22	resqcld 14030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
24	21, 23	remulcld 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
25		remulcl 11136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
26	15, 5, 25	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
27	26	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
28	27, 22	remulcld 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℝ)
29	24, 28	readdcld 11184	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℝ)
30	18	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
31	29, 30	readdcld 11184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
32	3	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
33	32, 22	remulcld 11185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℝ)
34	4	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
35	33, 34	readdcld 11184	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) ∈ ℝ)
36	35	sqge0d 14042	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2))
37	33	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ)
38	34	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
39		binom2 14121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
40	37, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
41	32	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	22	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
43	41, 42	sqmuld 14063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
44	41, 42, 38	mul32d 11365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
45	44	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
46		2cnd 12231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
47	5	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
49	46, 48, 42	mulassd 11178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
50	45, 49	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
51	43, 50	oveq12d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) = (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
52	51	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
53	40, 52	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
54	36, 53	breqtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
55	20, 31, 54	fsumge0 15680	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
56	24	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
57	28	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℂ)
58	56, 57	addcld 11174	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
59	30	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
60	20, 58, 59	fsumadd 15625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
61	20, 56, 57	fsumadd 15625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
62		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
63	62	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
64	63	sqcld 14049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
65	21	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
66	20, 64, 65	fsummulc1 15670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
67		2cnd 12231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
68	20, 67, 48	fsummulc2 15669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)))
69	68	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
70	26	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
71	70	adantlr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
72	20, 63, 71	fsummulc1 15670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
73	69, 72	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
74	66, 73	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
75	61, 74	eqtr4d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
76	75	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
77	60, 76	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
78	55, 77	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
79	14, 17, 19, 78	discr 14143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0)
80	17	resqcld 14030	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
81		4re 12237	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
82	14, 19	remulcld 11185	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
83		remulcl 11136	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ) → (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
84	81, 82, 83	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
85	80, 84	suble0d 11746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0 ↔ ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
86	79, 85	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
87	12, 86	eqbrtrrd 5129	. 2 ⊢ (𝜑 → (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
88	6	resqcld 14030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
89	81	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
90		4pos 12260	. . . 4 ⊢ 0 < 4
91	90	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 4)
92		lemul2 12008	. . 3 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
93	88, 82, 89, 91, 92	syl112anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
94	87, 93	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  2c2 12208  4c4 12210  ↑cexp 13967  Σcsu 15570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571

This theorem is referenced by:  trirn  24764