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Theorem csbren 25278

Description: Cauchy-Schwarz-Bunjakovsky inequality for R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
csbrn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
csbrn.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
csbrn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
csbren	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝜑,𝑘 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑘) 𝐶(𝑘)

Proof of Theorem csbren Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12288	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		csbrn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		csbrn.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		csbrn.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	remulcld 11245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
6	2, 5	fsumrecl 15684	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8		sqmul 14087	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
9	1, 7, 8	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
10		sq2 14164	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
11	10	oveq1i 7414	. . . 4 ⊢ ((2↑2) · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) = (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
12	9, 11	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
13	3	resqcld 14093	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
14	2, 13	fsumrecl 15684	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ)
15		2re 12287	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		remulcl 11194	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
17	15, 6, 16	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
18	4	resqcld 14093	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
19	2, 18	fsumrecl 15684	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ)
20	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ Fin)
21	13	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
22		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
23	22	resqcld 14093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
24	21, 23	remulcld 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
25		remulcl 11194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
26	15, 5, 25	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
27	26	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
28	27, 22	remulcld 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℝ)
29	24, 28	readdcld 11244	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℝ)
30	18	adantlr 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
31	29, 30	readdcld 11244	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
32	3	adantlr 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
33	32, 22	remulcld 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℝ)
34	4	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
35	33, 34	readdcld 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) ∈ ℝ)
36	35	sqge0d 14105	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2))
37	33	recnd 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ)
38	34	recnd 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
39		binom2 14184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
40	37, 38, 39	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
41	32	recnd 11243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	22	recnd 11243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
43	41, 42	sqmuld 14126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
44	41, 42, 38	mul32d 11425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
45	44	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
46		2cnd 12291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
47	5	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
49	46, 48, 42	mulassd 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
50	45, 49	eqtr4d 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
51	43, 50	oveq12d 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) = (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
52	51	oveq1d 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
53	40, 52	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
54	36, 53	breqtrd 5167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
55	20, 31, 54	fsumge0 15745	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
56	24	recnd 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
57	28	recnd 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℂ)
58	56, 57	addcld 11234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
59	30	recnd 11243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
60	20, 58, 59	fsumadd 15690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
61	20, 56, 57	fsumadd 15690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
62		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
63	62	recnd 11243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
64	63	sqcld 14112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
65	21	recnd 11243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
66	20, 64, 65	fsummulc1 15735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
67		2cnd 12291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
68	20, 67, 48	fsummulc2 15734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)))
69	68	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
70	26	recnd 11243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
71	70	adantlr 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
72	20, 63, 71	fsummulc1 15735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
73	69, 72	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
74	66, 73	oveq12d 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
75	61, 74	eqtr4d 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
76	75	oveq1d 7419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
77	60, 76	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
78	55, 77	breqtrd 5167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
79	14, 17, 19, 78	discr 14206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0)
80	17	resqcld 14093	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
81		4re 12297	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
82	14, 19	remulcld 11245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
83		remulcl 11194	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ) → (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
84	81, 82, 83	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
85	80, 84	suble0d 11806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0 ↔ ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
86	79, 85	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
87	12, 86	eqbrtrrd 5165	. 2 ⊢ (𝜑 → (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
88	6	resqcld 14093	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
89	81	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
90		4pos 12320	. . . 4 ⊢ 0 < 4
91	90	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 4)
92		lemul2 12068	. . 3 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
93	88, 82, 89, 91, 92	syl112anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
94	87, 93	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 class class class wbr 5141 (class class class)co 7404 Fincfn 8938 ℂcc 11107 ℝcr 11108 0cc0 11109 + caddc 11112 · cmul 11114 < clt 11249 ≤ cle 11250 − cmin 11445 2c2 12268 4c4 12270 ↑cexp 14030 Σcsu 15636

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-inf2 9635 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-1o 8464 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-sup 9436 df-oi 9504 df-card 9933 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-nn 12214 df-2 12276 df-3 12277 df-4 12278 df-n0 12474 df-z 12560 df-uz 12824 df-rp 12978 df-ico 13333 df-fz 13488 df-fzo 13631 df-seq 13970 df-exp 14031 df-hash 14294 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-clim 15436 df-sum 15637

This theorem is referenced by: trirn 25279

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