| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | 2cn 12341 |
. . . . 5
⊢ 2 ∈
ℂ |
| 2 | | csbrn.1 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin) |
| 3 | | csbrn.2 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 4 | | csbrn.3 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 5 | 3, 4 | remulcld 11291 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) |
| 6 | 2, 5 | fsumrecl 15770 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) |
| 7 | 6 | recnd 11289 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) |
| 8 | | sqmul 14159 |
. . . . 5
⊢ ((2
∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → ((2 ·
Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) ·
(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))) |
| 9 | 1, 7, 8 | sylancr 587 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) ·
(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))) |
| 10 | | sq2 14236 |
. . . . 5
⊢
(2↑2) = 4 |
| 11 | 10 | oveq1i 7441 |
. . . 4
⊢
((2↑2) · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) = (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) |
| 12 | 9, 11 | eqtrdi 2793 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))) |
| 13 | 3 | resqcld 14165 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ) |
| 14 | 2, 13 | fsumrecl 15770 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ) |
| 15 | | 2re 12340 |
. . . . . 6
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 16 | | remulcl 11240 |
. . . . . 6
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 ·
Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 17 | 15, 6, 16 | sylancr 587 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 18 | 4 | resqcld 14165 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ) |
| 19 | 2, 18 | fsumrecl 15770 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ) |
| 20 | 2 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ Fin) |
| 21 | 13 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ) |
| 22 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 23 | 22 | resqcld 14165 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥↑2) ∈ ℝ) |
| 24 | 21, 23 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℝ) |
| 25 | | remulcl 11240 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ (𝐵
· 𝐶) ∈ ℝ)
→ (2 · (𝐵
· 𝐶)) ∈
ℝ) |
| 26 | 15, 5, 25 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 27 | 26 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 28 | 27, 22 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℝ) |
| 29 | 24, 28 | readdcld 11290 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℝ) |
| 30 | 18 | adantlr 715 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ) |
| 31 | 29, 30 | readdcld 11290 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) ∈ ℝ) |
| 32 | 3 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 33 | 32, 22 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℝ) |
| 34 | 4 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 35 | 33, 34 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) ∈ ℝ) |
| 36 | 35 | sqge0d 14177 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2)) |
| 37 | 33 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ) |
| 38 | 34 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 39 | | binom2 14256 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2))) |
| 40 | 37, 38, 39 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2))) |
| 41 | 32 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 42 | 22 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 43 | 41, 42 | sqmuld 14198 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑥↑2))) |
| 44 | 41, 42, 38 | mul32d 11471 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)) |
| 45 | 44 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))) |
| 46 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℂ) |
| 47 | 5 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) |
| 48 | 47 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) |
| 49 | 46, 48, 42 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))) |
| 50 | 45, 49 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) |
| 51 | 43, 50 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) = (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))) |
| 52 | 51 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2))) |
| 53 | 40, 52 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2))) |
| 54 | 36, 53 | breqtrd 5169 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2))) |
| 55 | 20, 31, 54 | fsumge0 15831 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2))) |
| 56 | 24 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℂ) |
| 57 | 28 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℂ) |
| 58 | 56, 57 | addcld 11280 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℂ) |
| 59 | 30 | recnd 11289 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ) |
| 60 | 20, 58, 59 | fsumadd 15776 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) |
| 61 | 20, 56, 57 | fsumadd 15776 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))) |
| 62 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 63 | 62 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 64 | 63 | sqcld 14184 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ) |
| 65 | 21 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ) |
| 66 | 20, 64, 65 | fsummulc1 15821 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2))) |
| 67 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈
ℂ) |
| 68 | 20, 67, 48 | fsummulc2 15820 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 ·
Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶))) |
| 69 | 68 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 ·
Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) |
| 70 | 26 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ) |
| 71 | 70 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ) |
| 72 | 20, 63, 71 | fsummulc1 15821 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) |
| 73 | 69, 72 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 ·
Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) |
| 74 | 66, 73 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))) |
| 75 | 61, 74 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))) |
| 76 | 75 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) |
| 77 | 60, 76 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) |
| 78 | 55, 77 | breqtrd 5169 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤
(((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) |
| 79 | 14, 17, 19, 78 | discr 14279 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0) |
| 80 | 17 | resqcld 14165 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ∈ ℝ) |
| 81 | | 4re 12350 |
. . . . . 6
⊢ 4 ∈
ℝ |
| 82 | 14, 19 | remulcld 11291 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ) |
| 83 | | remulcl 11240 |
. . . . . 6
⊢ ((4
∈ ℝ ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ) → (4 ·
(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ) |
| 84 | 81, 82, 83 | sylancr 587 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ) |
| 85 | 80, 84 | suble0d 11854 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((2 ·
Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0 ↔ ((2 ·
Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) |
| 86 | 79, 85 | mpbid 232 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) |
| 87 | 12, 86 | eqbrtrrd 5167 |
. 2
⊢ (𝜑 → (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) |
| 88 | 6 | resqcld 14165 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ) |
| 89 | 81 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 4 ∈
ℝ) |
| 90 | | 4pos 12373 |
. . . 4
⊢ 0 <
4 |
| 91 | 90 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 0 < 4) |
| 92 | | lemul2 12120 |
. . 3
⊢
(((Σ𝑘 ∈
𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ (4 ∈
ℝ ∧ 0 < 4)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) |
| 93 | 88, 82, 89, 91, 92 | syl112anc 1376 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) |
| 94 | 87, 93 | mpbird 257 |
1
⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) |