Theorem csbren 25351

Description: Cauchy-Schwarz-Bunjakovsky inequality for R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
csbrn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
csbrn.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
csbrn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
csbren	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem csbren

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12315	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		csbrn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		csbrn.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		csbrn.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	remulcld 11265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
6	2, 5	fsumrecl 15750	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8		sqmul 14137	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
9	1, 7, 8	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
10		sq2 14215	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
11	10	oveq1i 7415	. . . 4 ⊢ ((2↑2) · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) = (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
12	9, 11	eqtrdi 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
13	3	resqcld 14143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
14	2, 13	fsumrecl 15750	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ)
15		2re 12314	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		remulcl 11214	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
17	15, 6, 16	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
18	4	resqcld 14143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
19	2, 18	fsumrecl 15750	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ)
20	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ Fin)
21	13	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
22		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
23	22	resqcld 14143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
24	21, 23	remulcld 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
25		remulcl 11214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
26	15, 5, 25	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
27	26	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
28	27, 22	remulcld 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℝ)
29	24, 28	readdcld 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℝ)
30	18	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
31	29, 30	readdcld 11264	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
32	3	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
33	32, 22	remulcld 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℝ)
34	4	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
35	33, 34	readdcld 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) ∈ ℝ)
36	35	sqge0d 14155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2))
37	33	recnd 11263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ)
38	34	recnd 11263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
39		binom2 14235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
40	37, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
41	32	recnd 11263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	22	recnd 11263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
43	41, 42	sqmuld 14176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
44	41, 42, 38	mul32d 11445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
45	44	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
46		2cnd 12318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
47	5	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
49	46, 48, 42	mulassd 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
50	45, 49	eqtr4d 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
51	43, 50	oveq12d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) = (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
52	51	oveq1d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
53	40, 52	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
54	36, 53	breqtrd 5145	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
55	20, 31, 54	fsumge0 15811	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
56	24	recnd 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
57	28	recnd 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℂ)
58	56, 57	addcld 11254	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
59	30	recnd 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
60	20, 58, 59	fsumadd 15756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
61	20, 56, 57	fsumadd 15756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
62		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
63	62	recnd 11263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
64	63	sqcld 14162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
65	21	recnd 11263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
66	20, 64, 65	fsummulc1 15801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
67		2cnd 12318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
68	20, 67, 48	fsummulc2 15800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)))
69	68	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
70	26	recnd 11263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
71	70	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
72	20, 63, 71	fsummulc1 15801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
73	69, 72	eqtrd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
74	66, 73	oveq12d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
75	61, 74	eqtr4d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
76	75	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
77	60, 76	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
78	55, 77	breqtrd 5145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
79	14, 17, 19, 78	discr 14258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0)
80	17	resqcld 14143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
81		4re 12324	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
82	14, 19	remulcld 11265	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
83		remulcl 11214	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ) → (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
84	81, 82, 83	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
85	80, 84	suble0d 11828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0 ↔ ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
86	79, 85	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
87	12, 86	eqbrtrrd 5143	. 2 ⊢ (𝜑 → (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
88	6	resqcld 14143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
89	81	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
90		4pos 12347	. . . 4 ⊢ 0 < 4
91	90	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 4)
92		lemul2 12094	. . 3 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
93	88, 82, 89, 91, 92	syl112anc 1376	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
94	87, 93	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129   + caddc 11132   · cmul 11134   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466  2c2 12295  4c4 12297  ↑cexp 14079  Σcsu 15702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-ico 13368  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-sum 15703

This theorem is referenced by:  trirn  25352