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Theorem csbren 25447
Description: Cauchy-Schwarz-Bunjakovsky inequality for R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
csbrn.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
csbrn.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
csbren (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem csbren
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cn 12339 . . . . 5 2 ∈ ℂ
2 csbrn.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 csbrn.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 csbrn.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
53, 4remulcld 11289 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
62, 5fsumrecl 15767 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
76recnd 11287 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8 sqmul 14156 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
91, 7, 8sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
10 sq2 14233 . . . . 5 (2↑2) = 4
1110oveq1i 7441 . . . 4 ((2↑2) · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) = (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
129, 11eqtrdi 2791 . . 3 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
133resqcld 14162 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
142, 13fsumrecl 15767 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ)
15 2re 12338 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
16 remulcl 11238 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
1715, 6, 16sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
184resqcld 14162 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
192, 18fsumrecl 15767 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ)
202adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ Fin)
2113adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
22 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
2322resqcld 14162 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
2421, 23remulcld 11289 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
25 remulcl 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2615, 5, 25sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2726adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2827, 22remulcld 11289 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℝ)
2924, 28readdcld 11288 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℝ)
3018adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
3129, 30readdcld 11288 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
323adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3332, 22remulcld 11289 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℝ)
344adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3533, 34readdcld 11288 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) ∈ ℝ)
3635sqge0d 14174 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2))
3733recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ)
3834recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
39 binom2 14253 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
4037, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
4132recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4222recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
4341, 42sqmuld 14195 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵 · 𝑥)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
4441, 42, 38mul32d 11469 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
4544oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
46 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 2 ∈ ℂ)
475adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
4847recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
4946, 48, 42mulassd 11282 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
5045, 49eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
5143, 50oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) = (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
5251oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5340, 52eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5436, 53breqtrd 5174 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5520, 31, 54fsumge0 15828 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5624recnd 11287 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
5728recnd 11287 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℂ)
5856, 57addcld 11278 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
5930recnd 11287 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
6020, 58, 59fsumadd 15773 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
6120, 56, 57fsumadd 15773 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
62 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
6362recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
6463sqcld 14181 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
6521recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
6620, 64, 65fsummulc1 15818 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) = Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
67 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
6820, 67, 48fsummulc2 15817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)))
6968oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
7026recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
7170adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
7220, 63, 71fsummulc1 15818 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
7369, 72eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
7466, 73oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
7561, 74eqtr4d 2778 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
7675oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7760, 76eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7855, 77breqtrd 5174 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7914, 17, 19, 78discr 14276 . . . 4 (𝜑 → (((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0)
8017resqcld 14162 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
81 4re 12348 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8214, 19remulcld 11289 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
83 remulcl 11238 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ) → (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
8481, 82, 83sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
8580, 84suble0d 11852 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0 ↔ ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
8679, 85mpbid 232 . . 3 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
8712, 86eqbrtrrd 5172 . 2 (𝜑 → (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
886resqcld 14162 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
8981a1i 11 . . 3 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
90 4pos 12371 . . . 4 0 < 4
9190a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 < 4)
92 lemul2 12118 . . 3 (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
9388, 82, 89, 91, 92syl112anc 1373 . 2 (𝜑 → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
9487, 93mpbird 257 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  2c2 12319  4c4 12321  cexp 14099  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  trirn  25448
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