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Theorem csbren 24006
Description: Cauchy-Schwarz-Bunjakovsky inequality for R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
csbrn.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
csbrn.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
csbren (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem csbren
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cn 11704 . . . . 5 2 ∈ ℂ
2 csbrn.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 csbrn.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 csbrn.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
53, 4remulcld 10664 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
62, 5fsumrecl 15086 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
76recnd 10662 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8 sqmul 13485 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
91, 7, 8sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
10 sq2 13560 . . . . 5 (2↑2) = 4
1110oveq1i 7149 . . . 4 ((2↑2) · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) = (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
129, 11eqtrdi 2852 . . 3 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
133resqcld 13611 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
142, 13fsumrecl 15086 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ)
15 2re 11703 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
16 remulcl 10615 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
1715, 6, 16sylancr 590 . . . . 5 (𝜑 → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
184resqcld 13611 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
192, 18fsumrecl 15086 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ)
202adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ Fin)
2113adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
22 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
2322resqcld 13611 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
2421, 23remulcld 10664 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
25 remulcl 10615 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2615, 5, 25sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2726adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2827, 22remulcld 10664 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℝ)
2924, 28readdcld 10663 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℝ)
3018adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
3129, 30readdcld 10663 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
323adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3332, 22remulcld 10664 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℝ)
344adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3533, 34readdcld 10663 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) ∈ ℝ)
3635sqge0d 13612 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2))
3733recnd 10662 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ)
3834recnd 10662 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
39 binom2 13579 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
4037, 38, 39syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
4132recnd 10662 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4222recnd 10662 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
4341, 42sqmuld 13522 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵 · 𝑥)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
4441, 42, 38mul32d 10843 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
4544oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
46 2cnd 11707 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 2 ∈ ℂ)
475adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
4847recnd 10662 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
4946, 48, 42mulassd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
5045, 49eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
5143, 50oveq12d 7157 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) = (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
5251oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5340, 52eqtrd 2836 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5436, 53breqtrd 5059 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5520, 31, 54fsumge0 15145 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5624recnd 10662 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
5728recnd 10662 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℂ)
5856, 57addcld 10653 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
5930recnd 10662 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
6020, 58, 59fsumadd 15091 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
6120, 56, 57fsumadd 15091 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
62 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
6362recnd 10662 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
6463sqcld 13508 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
6521recnd 10662 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
6620, 64, 65fsummulc1 15135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) = Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
67 2cnd 11707 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
6820, 67, 48fsummulc2 15134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)))
6968oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
7026recnd 10662 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
7170adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
7220, 63, 71fsummulc1 15135 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
7369, 72eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
7466, 73oveq12d 7157 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
7561, 74eqtr4d 2839 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
7675oveq1d 7154 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7760, 76eqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7855, 77breqtrd 5059 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7914, 17, 19, 78discr 13601 . . . 4 (𝜑 → (((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0)
8017resqcld 13611 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
81 4re 11713 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8214, 19remulcld 10664 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
83 remulcl 10615 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ) → (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
8481, 82, 83sylancr 590 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
8580, 84suble0d 11224 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0 ↔ ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
8679, 85mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
8712, 86eqbrtrrd 5057 . 2 (𝜑 → (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
886resqcld 13611 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
8981a1i 11 . . 3 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
90 4pos 11736 . . . 4 0 < 4
9190a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 < 4)
92 lemul2 11486 . . 3 (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
9388, 82, 89, 91, 92syl112anc 1371 . 2 (𝜑 → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
9487, 93mpbird 260 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  2c2 11684  4c4 11686  cexp 13429  Σcsu 15037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038
This theorem is referenced by:  trirn  24007
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