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Theorem csbren 25340
Description: Cauchy-Schwarz-Bunjakovsky inequality for R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
csbrn.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
csbrn.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
csbren (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem csbren
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cn 12318 . . . . 5 2 ∈ ℂ
2 csbrn.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 csbrn.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 csbrn.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
53, 4remulcld 11275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
62, 5fsumrecl 15713 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
76recnd 11273 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8 sqmul 14116 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
91, 7, 8sylancr 586 . . . 4 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
10 sq2 14193 . . . . 5 (2↑2) = 4
1110oveq1i 7430 . . . 4 ((2↑2) · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) = (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
129, 11eqtrdi 2784 . . 3 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
133resqcld 14122 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
142, 13fsumrecl 15713 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ)
15 2re 12317 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
16 remulcl 11224 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
1715, 6, 16sylancr 586 . . . . 5 (𝜑 → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
184resqcld 14122 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
192, 18fsumrecl 15713 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ)
202adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ Fin)
2113adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
22 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
2322resqcld 14122 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
2421, 23remulcld 11275 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
25 remulcl 11224 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2615, 5, 25sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2726adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2827, 22remulcld 11275 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℝ)
2924, 28readdcld 11274 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℝ)
3018adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
3129, 30readdcld 11274 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
323adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3332, 22remulcld 11275 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℝ)
344adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3533, 34readdcld 11274 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) ∈ ℝ)
3635sqge0d 14134 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2))
3733recnd 11273 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ)
3834recnd 11273 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
39 binom2 14213 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
4037, 38, 39syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
4132recnd 11273 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4222recnd 11273 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
4341, 42sqmuld 14155 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵 · 𝑥)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
4441, 42, 38mul32d 11455 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
4544oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
46 2cnd 12321 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 2 ∈ ℂ)
475adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
4847recnd 11273 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
4946, 48, 42mulassd 11268 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
5045, 49eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
5143, 50oveq12d 7438 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) = (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
5251oveq1d 7435 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5340, 52eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5436, 53breqtrd 5174 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5520, 31, 54fsumge0 15774 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5624recnd 11273 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
5728recnd 11273 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℂ)
5856, 57addcld 11264 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
5930recnd 11273 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
6020, 58, 59fsumadd 15719 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
6120, 56, 57fsumadd 15719 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
62 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
6362recnd 11273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
6463sqcld 14141 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
6521recnd 11273 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
6620, 64, 65fsummulc1 15764 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) = Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
67 2cnd 12321 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
6820, 67, 48fsummulc2 15763 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)))
6968oveq1d 7435 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
7026recnd 11273 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
7170adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
7220, 63, 71fsummulc1 15764 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
7369, 72eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
7466, 73oveq12d 7438 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
7561, 74eqtr4d 2771 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
7675oveq1d 7435 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7760, 76eqtrd 2768 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7855, 77breqtrd 5174 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7914, 17, 19, 78discr 14235 . . . 4 (𝜑 → (((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0)
8017resqcld 14122 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
81 4re 12327 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8214, 19remulcld 11275 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
83 remulcl 11224 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ) → (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
8481, 82, 83sylancr 586 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
8580, 84suble0d 11836 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0 ↔ ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
8679, 85mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
8712, 86eqbrtrrd 5172 . 2 (𝜑 → (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
886resqcld 14122 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
8981a1i 11 . . 3 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
90 4pos 12350 . . . 4 0 < 4
9190a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 < 4)
92 lemul2 12098 . . 3 (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
9388, 82, 89, 91, 92syl112anc 1372 . 2 (𝜑 → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
9487, 93mpbird 257 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  cc 11137  cr 11138  0cc0 11139   + caddc 11142   · cmul 11144   < clt 11279  cle 11280  cmin 11475  2c2 12298  4c4 12300  cexp 14059  Σcsu 15665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13363  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666
This theorem is referenced by:  trirn  25341
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