MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrx0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx0 24764
Description: The zero ("origin") in a generalized real Euclidean space. (Contributed by AV, 11-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxsca.r 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrx0.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
Assertion
Ref Expression
rrx0 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜π») = 0 )

Proof of Theorem rrx0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxsca.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
21rrxval 24754 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
32fveq2d 6847 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜π») = (0gβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
4 eqid 2737 . . . . . 6 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
5 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
6 eqid 2737 . . . . . 6 (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
74, 5, 6tcphval 24585 . . . . 5 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))))
87a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯)))))
98fveq2d 6847 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (0gβ€˜((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))))))
10 fvexd 6858 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∈ V)
1110mptexd 7175 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))) ∈ V)
12 eqid 2737 . . . . 5 ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯)))) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))))
13 eqid 2737 . . . . 5 (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
1412, 13tng0 24005 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))) ∈ V β†’ (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0gβ€˜((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))))))
1511, 14syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0gβ€˜((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))))))
16 rrx0.0 . . . 4 0 = (𝐼 Γ— {0})
17 refld 21026 . . . . . 6 ℝfld ∈ Field
18 isfld 20197 . . . . . . 7 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
19 drngring 20193 . . . . . . . 8 (ℝfld ∈ DivRing β†’ ℝfld ∈ Ring)
2019adantr 482 . . . . . . 7 ((ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing) β†’ ℝfld ∈ Ring)
2118, 20sylbi 216 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Field β†’ ℝfld ∈ Ring)
2217, 21ax-mp 5 . . . . 5 ℝfld ∈ Ring
23 eqid 2737 . . . . . 6 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
24 re0g 21019 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜β„fld)
2523, 24frlm0 21163 . . . . 5 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— {0}) = (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2622, 25mpan 689 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}) = (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2716, 26eqtr2id 2790 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = 0 )
289, 15, 273eqtr2d 2783 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) = 0 )
293, 28eqtrd 2777 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜π») = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446  {csn 4587   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  βˆšcsqrt 15119  Basecbs 17084  Β·π‘–cip 17139  0gc0g 17322  Ringcrg 19965  CRingccrg 19966  DivRingcdr 20186  Fieldcfield 20187  β„fldcrefld 21011   freeLMod cfrlm 21155   toNrmGrp ctng 23937  toβ„‚PreHilctcph 24534  β„^crrx 24750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-0g 17324  df-prds 17330  df-pws 17332  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-cmn 19565  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-drng 20188  df-field 20189  df-subrg 20223  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-sra 20636  df-rgmod 20637  df-cnfld 20800  df-refld 21012  df-dsmm 21141  df-frlm 21156  df-tng 23943  df-tcph 24536  df-rrx 24752
This theorem is referenced by:  ehl0  24784
  Copyright terms: Public domain W3C validator