MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrx0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx0 23980
Description: The zero ("origin") in a generalized real Euclidean space. (Contributed by AV, 11-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxsca.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrx0.0 0 = (𝐼 × {0})
Assertion
Ref Expression
rrx0 (𝐼𝑉 → (0g𝐻) = 0 )

Proof of Theorem rrx0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxsca.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
21rrxval 23970 . . 3 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
32fveq2d 6650 . 2 (𝐼𝑉 → (0g𝐻) = (0g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
4 eqid 2820 . . . . . 6 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
5 eqid 2820 . . . . . 6 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
6 eqid 2820 . . . . . 6 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
74, 5, 6tcphval 23801 . . . . 5 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))
87a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥)))))
98fveq2d 6650 . . 3 (𝐼𝑉 → (0g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (0g‘((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))))
10 fvexd 6661 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∈ V)
1110mptexd 6963 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))) ∈ V)
12 eqid 2820 . . . . 5 ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥)))) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))
13 eqid 2820 . . . . 5 (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
1412, 13tng0 23228 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))) ∈ V → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0g‘((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))))
1511, 14syl 17 . . 3 (𝐼𝑉 → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0g‘((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))))
16 rrx0.0 . . . 4 0 = (𝐼 × {0})
17 refld 20739 . . . . . 6 fld ∈ Field
18 isfld 19487 . . . . . . 7 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
19 drngring 19485 . . . . . . . 8 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
2019adantr 483 . . . . . . 7 ((ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing) → ℝfld ∈ Ring)
2118, 20sylbi 219 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ Ring)
2217, 21ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ Ring
23 eqid 2820 . . . . . 6 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
24 re0g 20732 . . . . . 6 0 = (0g‘ℝfld)
2523, 24frlm0 20874 . . . . 5 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2622, 25mpan 688 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2716, 26syl5req 2868 . . 3 (𝐼𝑉 → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = 0 )
289, 15, 273eqtr2d 2861 . 2 (𝐼𝑉 → (0g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = 0 )
293, 28eqtrd 2855 1 (𝐼𝑉 → (0g𝐻) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  Vcvv 3473  {csn 4543  cmpt 5122   × cxp 5529  cfv 6331  (class class class)co 7133  0cc0 10515  csqrt 14572  Basecbs 16462  ·𝑖cip 16549  0gc0g 16692  Ringcrg 19276  CRingccrg 19277  DivRingcdr 19478  Fieldcfield 19479  fldcrefld 20724   freeLMod cfrlm 20866   toNrmGrp ctng 23164  toℂPreHilctcph 23751  ℝ^crrx 23966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-addf 10594  ax-mulf 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-tpos 7870  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-sup 8884  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-0g 16694  df-prds 16700  df-pws 16702  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-cmn 18887  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-field 19481  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-sra 19920  df-rgmod 19921  df-cnfld 20522  df-refld 20725  df-dsmm 20852  df-frlm 20867  df-tng 23170  df-tcph 23753  df-rrx 23968
This theorem is referenced by:  ehl0  24000
  Copyright terms: Public domain W3C validator