MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrx0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx0 24559
Description: The zero ("origin") in a generalized real Euclidean space. (Contributed by AV, 11-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxsca.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrx0.0 0 = (𝐼 × {0})
Assertion
Ref Expression
rrx0 (𝐼𝑉 → (0g𝐻) = 0 )

Proof of Theorem rrx0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxsca.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
21rrxval 24549 . . 3 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
32fveq2d 6775 . 2 (𝐼𝑉 → (0g𝐻) = (0g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
4 eqid 2740 . . . . . 6 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
5 eqid 2740 . . . . . 6 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
6 eqid 2740 . . . . . 6 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
74, 5, 6tcphval 24380 . . . . 5 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))
87a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥)))))
98fveq2d 6775 . . 3 (𝐼𝑉 → (0g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (0g‘((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))))
10 fvexd 6786 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∈ V)
1110mptexd 7097 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))) ∈ V)
12 eqid 2740 . . . . 5 ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥)))) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))
13 eqid 2740 . . . . 5 (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
1412, 13tng0 23800 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))) ∈ V → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0g‘((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))))
1511, 14syl 17 . . 3 (𝐼𝑉 → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0g‘((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))))
16 rrx0.0 . . . 4 0 = (𝐼 × {0})
17 refld 20822 . . . . . 6 fld ∈ Field
18 isfld 19998 . . . . . . 7 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
19 drngring 19996 . . . . . . . 8 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
2019adantr 481 . . . . . . 7 ((ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing) → ℝfld ∈ Ring)
2118, 20sylbi 216 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ Ring)
2217, 21ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ Ring
23 eqid 2740 . . . . . 6 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
24 re0g 20815 . . . . . 6 0 = (0g‘ℝfld)
2523, 24frlm0 20959 . . . . 5 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2622, 25mpan 687 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2716, 26eqtr2id 2793 . . 3 (𝐼𝑉 → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = 0 )
289, 15, 273eqtr2d 2786 . 2 (𝐼𝑉 → (0g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = 0 )
293, 28eqtrd 2780 1 (𝐼𝑉 → (0g𝐻) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  Vcvv 3431  {csn 4567  cmpt 5162   × cxp 5588  cfv 6432  (class class class)co 7271  0cc0 10872  csqrt 14942  Basecbs 16910  ·𝑖cip 16965  0gc0g 17148  Ringcrg 19781  CRingccrg 19782  DivRingcdr 19989  Fieldcfield 19990  fldcrefld 20807   freeLMod cfrlm 20951   toNrmGrp ctng 23732  toℂPreHilctcph 24329  ℝ^crrx 24545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-addf 10951  ax-mulf 10952
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-tpos 8033  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-0g 17150  df-prds 17156  df-pws 17158  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-subg 18750  df-cmn 19386  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882  df-invr 19912  df-dvr 19923  df-drng 19991  df-field 19992  df-subrg 20020  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-sra 20432  df-rgmod 20433  df-cnfld 20596  df-refld 20808  df-dsmm 20937  df-frlm 20952  df-tng 23738  df-tcph 24331  df-rrx 24547
This theorem is referenced by:  ehl0  24579
  Copyright terms: Public domain W3C validator