MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrx0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx0 23572
Description: The zero ("origin") in a generalized real Euclidean space. (Contributed by AV, 11-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxsca.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrx0.0 0 = (𝐼 × {0})
Assertion
Ref Expression
rrx0 (𝐼𝑉 → (0g𝐻) = 0 )

Proof of Theorem rrx0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxsca.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
21rrxval 23562 . . 3 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
32fveq2d 6441 . 2 (𝐼𝑉 → (0g𝐻) = (0g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
4 eqid 2825 . . . . . 6 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
5 eqid 2825 . . . . . 6 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
6 eqid 2825 . . . . . 6 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
74, 5, 6tcphval 23393 . . . . 5 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))
87a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥)))))
98fveq2d 6441 . . 3 (𝐼𝑉 → (0g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (0g‘((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))))
10 fvexd 6452 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∈ V)
1110mptexd 6748 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))) ∈ V)
12 eqid 2825 . . . . 5 ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥)))) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))
13 eqid 2825 . . . . 5 (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
1412, 13tng0 22824 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))) ∈ V → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0g‘((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))))
1511, 14syl 17 . . 3 (𝐼𝑉 → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0g‘((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))))
16 rrx0.0 . . . 4 0 = (𝐼 × {0})
17 refld 20333 . . . . . 6 fld ∈ Field
18 isfld 19119 . . . . . . 7 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
19 drngring 19117 . . . . . . . 8 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
2019adantr 474 . . . . . . 7 ((ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing) → ℝfld ∈ Ring)
2118, 20sylbi 209 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ Ring)
2217, 21ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ Ring
23 eqid 2825 . . . . . 6 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
24 re0g 20326 . . . . . 6 0 = (0g‘ℝfld)
2523, 24frlm0 20468 . . . . 5 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2622, 25mpan 681 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2716, 26syl5req 2874 . . 3 (𝐼𝑉 → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = 0 )
289, 15, 273eqtr2d 2867 . 2 (𝐼𝑉 → (0g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = 0 )
293, 28eqtrd 2861 1 (𝐼𝑉 → (0g𝐻) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  Vcvv 3414  {csn 4399  cmpt 4954   × cxp 5344  cfv 6127  (class class class)co 6910  0cc0 10259  csqrt 14357  Basecbs 16229  ·𝑖cip 16317  0gc0g 16460  Ringcrg 18908  CRingccrg 18909  DivRingcdr 19110  Fieldcfield 19111  fldcrefld 20318   freeLMod cfrlm 20460   toNrmGrp ctng 22760  toℂPreHilctcph 23343  ℝ^crrx 23558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-prds 16468  df-pws 16470  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-cmn 18555  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-drng 19112  df-field 19113  df-subrg 19141  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-cnfld 20114  df-refld 20319  df-dsmm 20446  df-frlm 20461  df-tng 22766  df-tcph 23345  df-rrx 23560
This theorem is referenced by:  ehl0  23592
  Copyright terms: Public domain W3C validator