Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrx0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx0 23980
 Description: The zero ("origin") in a generalized real Euclidean space. (Contributed by AV, 11-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxsca.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrx0.0 0 = (𝐼 × {0})
Assertion
Ref Expression
rrx0 (𝐼𝑉 → (0g𝐻) = 0 )

Proof of Theorem rrx0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxsca.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
21rrxval 23970 . . 3 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
32fveq2d 6650 . 2 (𝐼𝑉 → (0g𝐻) = (0g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
4 eqid 2820 . . . . . 6 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
5 eqid 2820 . . . . . 6 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
6 eqid 2820 . . . . . 6 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
74, 5, 6tcphval 23801 . . . . 5 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))
87a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥)))))
98fveq2d 6650 . . 3 (𝐼𝑉 → (0g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (0g‘((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))))
10 fvexd 6661 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∈ V)
1110mptexd 6963 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))) ∈ V)
12 eqid 2820 . . . . 5 ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥)))) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))
13 eqid 2820 . . . . 5 (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
1412, 13tng0 23228 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))) ∈ V → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0g‘((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))))
1511, 14syl 17 . . 3 (𝐼𝑉 → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0g‘((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑥))))))
16 rrx0.0 . . . 4 0 = (𝐼 × {0})
17 refld 20739 . . . . . 6 fld ∈ Field
18 isfld 19487 . . . . . . 7 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
19 drngring 19485 . . . . . . . 8 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
2019adantr 483 . . . . . . 7 ((ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing) → ℝfld ∈ Ring)
2118, 20sylbi 219 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ Ring)
2217, 21ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ Ring
23 eqid 2820 . . . . . 6 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
24 re0g 20732 . . . . . 6 0 = (0g‘ℝfld)
2523, 24frlm0 20874 . . . . 5 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2622, 25mpan 688 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2716, 26syl5req 2868 . . 3 (𝐼𝑉 → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = 0 )
289, 15, 273eqtr2d 2861 . 2 (𝐼𝑉 → (0g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = 0 )
293, 28eqtrd 2855 1 (𝐼𝑉 → (0g𝐻) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3473  {csn 4543   ↦ cmpt 5122   × cxp 5529  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  0cc0 10515  √csqrt 14572  Basecbs 16462  ·𝑖cip 16549  0gc0g 16692  Ringcrg 19276  CRingccrg 19277  DivRingcdr 19478  Fieldcfield 19479  ℝfldcrefld 20724   freeLMod cfrlm 20866   toNrmGrp ctng 23164  toℂPreHilctcph 23751  ℝ^crrx 23966 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-addf 10594  ax-mulf 10595 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-tpos 7870  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-sup 8884  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-0g 16694  df-prds 16700  df-pws 16702  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-cmn 18887  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-field 19481  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-sra 19920  df-rgmod 19921  df-cnfld 20522  df-refld 20725  df-dsmm 20852  df-frlm 20867  df-tng 23170  df-tcph 23753  df-rrx 23968 This theorem is referenced by:  ehl0  24000
 Copyright terms: Public domain W3C validator