MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrx0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx0 25269
Description: The zero ("origin") in a generalized real Euclidean space. (Contributed by AV, 11-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxsca.r 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrx0.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
Assertion
Ref Expression
rrx0 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜π») = 0 )

Proof of Theorem rrx0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxsca.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
21rrxval 25259 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
32fveq2d 6886 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜π») = (0gβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
4 eqid 2724 . . . . . 6 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
5 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
6 eqid 2724 . . . . . 6 (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
74, 5, 6tcphval 25090 . . . . 5 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))))
87a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯)))))
98fveq2d 6886 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (0gβ€˜((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))))))
10 fvexd 6897 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∈ V)
1110mptexd 7218 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))) ∈ V)
12 eqid 2724 . . . . 5 ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯)))) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))))
13 eqid 2724 . . . . 5 (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
1412, 13tng0 24499 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))) ∈ V β†’ (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0gβ€˜((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))))))
1511, 14syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0gβ€˜((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))))))
16 rrx0.0 . . . 4 0 = (𝐼 Γ— {0})
17 refld 21501 . . . . . 6 ℝfld ∈ Field
18 isfld 20594 . . . . . . 7 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
19 drngring 20590 . . . . . . . 8 (ℝfld ∈ DivRing β†’ ℝfld ∈ Ring)
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing) β†’ ℝfld ∈ Ring)
2118, 20sylbi 216 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Field β†’ ℝfld ∈ Ring)
2217, 21ax-mp 5 . . . . 5 ℝfld ∈ Ring
23 eqid 2724 . . . . . 6 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
24 re0g 21494 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜β„fld)
2523, 24frlm0 21638 . . . . 5 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— {0}) = (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2622, 25mpan 687 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}) = (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2716, 26eqtr2id 2777 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = 0 )
289, 15, 273eqtr2d 2770 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) = 0 )
293, 28eqtrd 2764 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜π») = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  {csn 4621   ↦ cmpt 5222   Γ— cxp 5665  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  βˆšcsqrt 15182  Basecbs 17149  Β·π‘–cip 17207  0gc0g 17390  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135  DivRingcdr 20583  Fieldcfield 20584  β„fldcrefld 21486   freeLMod cfrlm 21630   toNrmGrp ctng 24431  toβ„‚PreHilctcph 25039  β„^crrx 25255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-field 20586  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-cnfld 21235  df-refld 21487  df-dsmm 21616  df-frlm 21631  df-tng 24437  df-tcph 25041  df-rrx 25257
This theorem is referenced by:  ehl0  25289
  Copyright terms: Public domain W3C validator