Theorem 2sphere0 49938

Description: The sphere around the origin 0 (see rrx0 25719) with radius 𝑅 in a two dimensional Euclidean space is a circle. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sphere.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
2sphere.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2sphere.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2sphere.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
2sphere0.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
2sphere0.c	⊢ 𝐶 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}

Assertion

Ref	Expression
2sphere0	⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   0 ,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem 2sphere0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sphere.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		prex 5395	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ V
4		2sphere0.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
5		2sphere.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6	4, 5	rrx0el 25720	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → 0 ∈ 𝑃)
7	3, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝑃
8		2sphere.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
9		2sphere.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)}
11	1, 8, 5, 9, 10	2sphere 49937	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)})
12	7, 11	mpan 703	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)})
13	4	fveq1i 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( 0 ‘1) = ((𝐼 × {0})‘1)
14		c0ex 11301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
15		1ex 11304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ V
16	15	prid1 4722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ {1, 2}
17	16, 1	eleqtrri 2859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ 𝐼
18		fvconst2g 7208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {0})‘1) = 0)
19	14, 17, 18	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 × {0})‘1) = 0
20	13, 19	eqtri 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 ‘1) = 0
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ( 0 ‘1) = 0)
22	21	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘1) − ( 0 ‘1)) = ((𝑝‘1) − 0))
23	1, 5	rrx2pxel 49899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
25	24	subid1d 11659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘1) − 0) = (𝑝‘1))
26	22, 25	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘1) − ( 0 ‘1)) = (𝑝‘1))
27	26	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) = ((𝑝‘1)↑2))
28	4	fveq1i 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( 0 ‘2) = ((𝐼 × {0})‘2)
29		2ex 12421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ V
30	29	prid2 4723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ {1, 2}
31	30, 1	eleqtrri 2859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ 𝐼
32		fvconst2g 7208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 2 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {0})‘2) = 0)
33	14, 31, 32	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 × {0})‘2) = 0
34	28, 33	eqtri 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 ‘2) = 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ( 0 ‘2) = 0)
36	35	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘2) − ( 0 ‘2)) = ((𝑝‘2) − 0))
37	1, 5	rrx2pyel 49900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
39	38	subid1d 11659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘2) − 0) = (𝑝‘2))
40	36, 39	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘2) − ( 0 ‘2)) = (𝑝‘2))
41	40	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2) = ((𝑝‘2)↑2))
42	27, 41	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)))
43	42	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
44	43	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
45	44	rabbidva 3418	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
46		2sphere0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}
47	45, 46	eqtr4di 2813	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = 𝐶)
48	12, 47	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450  {csn 4583  {cpr 4585   × cxp 5648  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8848  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202   + caddc 11204  +∞cpnf 11341   − cmin 11542  2c2 12398  [,)cico 13479  ↑cexp 14205  ℝ^crrx 25705  Spherecsph 49916

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280  ax-mulf 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-sup 9435  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-sum 15855  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-hom 17453  df-cco 17454  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-prds 17619  df-pws 17621  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mhm 18979  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-subg 19334  df-ghm 19429  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-cring 20463  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-invr 20619  df-dvr 20632  df-rhm 20703  df-subrng 20799  df-subrg 20823  df-drng 20983  df-field 20984  df-staf 21097  df-srng 21098  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-sra 21449  df-rgmod 21450  df-xmet 21672  df-met 21673  df-cnfld 21680  df-refld 21912  df-dsmm 22039  df-frlm 22054  df-nm 24902  df-tng 24904  df-tcph 25491  df-rrx 25707  df-ehl 25708  df-sph 49918

This theorem is used by:  itsclc0  49959  itsclc0b  49960  itscnhlinecirc02p  49973