Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2sphere0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sphere0 48671
Description: The sphere around the origin 0 (see rrx0 25431) with radius 𝑅 in a two dimensional Euclidean space is a circle. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2sphere.i 𝐼 = {1, 2}
2sphere.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2sphere.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2sphere.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
2sphere0.0 0 = (𝐼 × {0})
2sphere0.c 𝐶 = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}
Assertion
Ref Expression
2sphere0 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   0 ,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem 2sphere0
StepHypRef Expression
1 2sphere.i . . . . 5 𝐼 = {1, 2}
2 prex 5437 . . . . 5 {1, 2} ∈ V
31, 2eqeltri 2837 . . . 4 𝐼 ∈ V
4 2sphere0.0 . . . . 5 0 = (𝐼 × {0})
5 2sphere.p . . . . 5 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
64, 5rrx0el 25432 . . . 4 (𝐼 ∈ V → 0𝑃)
73, 6ax-mp 5 . . 3 0𝑃
8 2sphere.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
9 2sphere.s . . . 4 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
10 eqid 2737 . . . 4 {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)}
111, 8, 5, 9, 102sphere 48670 . . 3 (( 0𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)})
127, 11mpan 690 . 2 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)})
134fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . 12 ( 0 ‘1) = ((𝐼 × {0})‘1)
14 c0ex 11255 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
15 1ex 11257 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
1615prid1 4762 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ {1, 2}
1716, 1eleqtrri 2840 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ 𝐼
18 fvconst2g 7222 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {0})‘1) = 0)
1914, 17, 18mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 × {0})‘1) = 0
2013, 19eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 ( 0 ‘1) = 0
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝑃 → ( 0 ‘1) = 0)
2221oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → ((𝑝‘1) − ( 0 ‘1)) = ((𝑝‘1) − 0))
231, 5rrx2pxel 48632 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
2423recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
2524subid1d 11609 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → ((𝑝‘1) − 0) = (𝑝‘1))
2622, 25eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑝𝑃 → ((𝑝‘1) − ( 0 ‘1)) = (𝑝‘1))
2726oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑝𝑃 → (((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) = ((𝑝‘1)↑2))
284fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . 12 ( 0 ‘2) = ((𝐼 × {0})‘2)
29 2ex 12343 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ V
3029prid2 4763 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ {1, 2}
3130, 1eleqtrri 2840 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ 𝐼
32 fvconst2g 7222 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ V ∧ 2 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {0})‘2) = 0)
3314, 31, 32mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 × {0})‘2) = 0
3428, 33eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 ( 0 ‘2) = 0
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝑃 → ( 0 ‘2) = 0)
3635oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → ((𝑝‘2) − ( 0 ‘2)) = ((𝑝‘2) − 0))
371, 5rrx2pyel 48633 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
3837recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
3938subid1d 11609 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → ((𝑝‘2) − 0) = (𝑝‘2))
4036, 39eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑝𝑃 → ((𝑝‘2) − ( 0 ‘2)) = (𝑝‘2))
4140oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑝𝑃 → (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2) = ((𝑝‘2)↑2))
4227, 41oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑝𝑃 → ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)))
4342eqeq1d 2739 . . . . 5 (𝑝𝑃 → (((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
4443adantl 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
4544rabbidva 3443 . . 3 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
46 2sphere0.c . . 3 𝐶 = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}
4745, 46eqtr4di 2795 . 2 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = 𝐶)
4812, 47eqtrd 2777 1 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  {csn 4626  {cpr 4628   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  cmin 11492  2c2 12321  [,)cico 13389  cexp 14102  ℝ^crrx 25417  Spherecsph 48649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-xmet 21357  df-met 21358  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-nm 24595  df-tng 24597  df-tcph 25203  df-rrx 25419  df-ehl 25420  df-sph 48651
This theorem is referenced by:  itsclc0  48692  itsclc0b  48693  itscnhlinecirc02p  48706
  Copyright terms: Public domain W3C validator