Theorem 2sphere0 45984

Description: The sphere around the origin 0 (see rrx0 24466) with radius 𝑅 in a two dimensional Euclidean space is a circle. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sphere.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
2sphere.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2sphere.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2sphere.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
2sphere0.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
2sphere0.c	⊢ 𝐶 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}

Assertion

Ref	Expression
2sphere0	⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   0 ,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem 2sphere0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sphere.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		prex 5350	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ V
4		2sphere0.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
5		2sphere.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6	4, 5	rrx0el 24467	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → 0 ∈ 𝑃)
7	3, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝑃
8		2sphere.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
9		2sphere.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)}
11	1, 8, 5, 9, 10	2sphere 45983	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)})
12	7, 11	mpan 686	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)})
13	4	fveq1i 6757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( 0 ‘1) = ((𝐼 × {0})‘1)
14		c0ex 10900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
15		1ex 10902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ V
16	15	prid1 4695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ {1, 2}
17	16, 1	eleqtrri 2838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ 𝐼
18		fvconst2g 7059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {0})‘1) = 0)
19	14, 17, 18	mp2an 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 × {0})‘1) = 0
20	13, 19	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 ‘1) = 0
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ( 0 ‘1) = 0)
22	21	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘1) − ( 0 ‘1)) = ((𝑝‘1) − 0))
23	1, 5	rrx2pxel 45945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
24	23	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
25	24	subid1d 11251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘1) − 0) = (𝑝‘1))
26	22, 25	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘1) − ( 0 ‘1)) = (𝑝‘1))
27	26	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) = ((𝑝‘1)↑2))
28	4	fveq1i 6757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( 0 ‘2) = ((𝐼 × {0})‘2)
29		2ex 11980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ V
30	29	prid2 4696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ {1, 2}
31	30, 1	eleqtrri 2838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ 𝐼
32		fvconst2g 7059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 2 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {0})‘2) = 0)
33	14, 31, 32	mp2an 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 × {0})‘2) = 0
34	28, 33	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 ‘2) = 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ( 0 ‘2) = 0)
36	35	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘2) − ( 0 ‘2)) = ((𝑝‘2) − 0))
37	1, 5	rrx2pyel 45946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
38	37	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
39	38	subid1d 11251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘2) − 0) = (𝑝‘2))
40	36, 39	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘2) − ( 0 ‘2)) = (𝑝‘2))
41	40	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2) = ((𝑝‘2)↑2))
42	27, 41	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)))
43	42	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
44	43	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
45	44	rabbidva 3402	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
46		2sphere0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}
47	45, 46	eqtr4di 2797	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = 𝐶)
48	12, 47	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422  {csn 4558  {cpr 4560   × cxp 5578  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  +∞cpnf 10937   − cmin 11135  2c2 11958  [,)cico 13010  ↑cexp 13710  ℝ^crrx 24452  Spherecsph 45962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-rnghom 19874  df-drng 19908  df-field 19909  df-subrg 19937  df-staf 20020  df-srng 20021  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-xmet 20503  df-met 20504  df-cnfld 20511  df-refld 20722  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-nm 23644  df-tng 23646  df-tcph 24238  df-rrx 24454  df-ehl 24455  df-sph 45964

This theorem is referenced by:  itsclc0  46005  itsclc0b  46006  itscnhlinecirc02p  46019