Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2sphere0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sphere0 43312
Description: The sphere around the origin 0 (see rrx0 23572) with radius 𝑅 in a two dimensional Euclidean space is a circle. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2sphere.i 𝐼 = {1, 2}
2sphere.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2sphere.p 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
2sphere.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
2sphere0.0 0 = (𝐼 × {0})
2sphere0.c 𝐶 = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}
Assertion
Ref Expression
2sphere0 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   0 ,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem 2sphere0
StepHypRef Expression
1 2sphere.i . . . . 5 𝐼 = {1, 2}
2 prex 5132 . . . . 5 {1, 2} ∈ V
31, 2eqeltri 2902 . . . 4 𝐼 ∈ V
4 2sphere0.0 . . . . 5 0 = (𝐼 × {0})
5 2sphere.p . . . . 5 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
64, 5rrx0el 23573 . . . 4 (𝐼 ∈ V → 0𝑃)
73, 6ax-mp 5 . . 3 0𝑃
8 2sphere.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
9 2sphere.s . . . 4 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
10 eqid 2825 . . . 4 {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)}
111, 8, 5, 9, 102sphere 43311 . . 3 (( 0𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)})
127, 11mpan 681 . 2 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)})
134fveq1i 6438 . . . . . . . . . . . 12 ( 0 ‘1) = ((𝐼 × {0})‘1)
14 c0ex 10357 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
15 1ex 10359 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
1615prid1 4517 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ {1, 2}
1716, 1eleqtrri 2905 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ 𝐼
18 fvconst2g 6728 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {0})‘1) = 0)
1914, 17, 18mp2an 683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 × {0})‘1) = 0
2013, 19eqtri 2849 . . . . . . . . . . 11 ( 0 ‘1) = 0
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝑃 → ( 0 ‘1) = 0)
2221oveq2d 6926 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → ((𝑝‘1) − ( 0 ‘1)) = ((𝑝‘1) − 0))
231, 5rrx2pxel 42271 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
2423recnd 10392 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
2524subid1d 10709 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → ((𝑝‘1) − 0) = (𝑝‘1))
2622, 25eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (𝑝𝑃 → ((𝑝‘1) − ( 0 ‘1)) = (𝑝‘1))
2726oveq1d 6925 . . . . . . 7 (𝑝𝑃 → (((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) = ((𝑝‘1)↑2))
284fveq1i 6438 . . . . . . . . . . . 12 ( 0 ‘2) = ((𝐼 × {0})‘2)
29 2ex 11435 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ V
3029prid2 4518 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ {1, 2}
3130, 1eleqtrri 2905 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ 𝐼
32 fvconst2g 6728 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ V ∧ 2 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {0})‘2) = 0)
3314, 31, 32mp2an 683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 × {0})‘2) = 0
3428, 33eqtri 2849 . . . . . . . . . . 11 ( 0 ‘2) = 0
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝑃 → ( 0 ‘2) = 0)
3635oveq2d 6926 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → ((𝑝‘2) − ( 0 ‘2)) = ((𝑝‘2) − 0))
371, 5rrx2pyel 42272 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
3837recnd 10392 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
3938subid1d 10709 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → ((𝑝‘2) − 0) = (𝑝‘2))
4036, 39eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (𝑝𝑃 → ((𝑝‘2) − ( 0 ‘2)) = (𝑝‘2))
4140oveq1d 6925 . . . . . . 7 (𝑝𝑃 → (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2) = ((𝑝‘2)↑2))
4227, 41oveq12d 6928 . . . . . 6 (𝑝𝑃 → ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)))
4342eqeq1d 2827 . . . . 5 (𝑝𝑃 → (((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
4443adantl 475 . . . 4 ((𝑅 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
4544rabbidva 3401 . . 3 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
46 2sphere0.c . . 3 𝐶 = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}
4745, 46syl6eqr 2879 . 2 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = 𝐶)
4812, 47eqtrd 2861 1 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1656  wcel 2164  {crab 3121  Vcvv 3414  {csn 4399  {cpr 4401   × cxp 5344  cfv 6127  (class class class)co 6910  𝑚 cmap 8127  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262  +∞cpnf 10395  cmin 10592  2c2 11413  [,)cico 12472  cexp 13161  ℝ^crrx 23558  Spherecsph 43292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-sum 14801  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-prds 16468  df-pws 16470  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-rnghom 19078  df-drng 19112  df-field 19113  df-subrg 19141  df-staf 19208  df-srng 19209  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-xmet 20106  df-met 20107  df-cnfld 20114  df-refld 20319  df-dsmm 20446  df-frlm 20461  df-nm 22764  df-tng 22766  df-tcph 23345  df-rrx 23560  df-ehl 23561  df-sph 43294
This theorem is referenced by:  itsclc0  43323
  Copyright terms: Public domain W3C validator