Theorem 2sphere0 44744

Description: The sphere around the origin 0 (see rrx0 24002) with radius 𝑅 in a two dimensional Euclidean space is a circle. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sphere.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
2sphere.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2sphere.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2sphere.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
2sphere0.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
2sphere0.c	⊢ 𝐶 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}

Assertion

Ref	Expression
2sphere0	⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   0 ,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem 2sphere0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sphere.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		prex 5335	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2911	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ V
4		2sphere0.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
5		2sphere.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6	4, 5	rrx0el 24003	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → 0 ∈ 𝑃)
7	3, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝑃
8		2sphere.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
9		2sphere.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
10		eqid 2823	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)}
11	1, 8, 5, 9, 10	2sphere 44743	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)})
12	7, 11	mpan 688	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)})
13	4	fveq1i 6673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( 0 ‘1) = ((𝐼 × {0})‘1)
14		c0ex 10637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
15		1ex 10639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ V
16	15	prid1 4700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ {1, 2}
17	16, 1	eleqtrri 2914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ 𝐼
18		fvconst2g 6966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {0})‘1) = 0)
19	14, 17, 18	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 × {0})‘1) = 0
20	13, 19	eqtri 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 ‘1) = 0
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ( 0 ‘1) = 0)
22	21	oveq2d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘1) − ( 0 ‘1)) = ((𝑝‘1) − 0))
23	1, 5	rrx2pxel 44705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
24	23	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
25	24	subid1d 10988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘1) − 0) = (𝑝‘1))
26	22, 25	eqtrd 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘1) − ( 0 ‘1)) = (𝑝‘1))
27	26	oveq1d 7173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) = ((𝑝‘1)↑2))
28	4	fveq1i 6673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( 0 ‘2) = ((𝐼 × {0})‘2)
29		2ex 11717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ V
30	29	prid2 4701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ {1, 2}
31	30, 1	eleqtrri 2914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ 𝐼
32		fvconst2g 6966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 2 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {0})‘2) = 0)
33	14, 31, 32	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 × {0})‘2) = 0
34	28, 33	eqtri 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 ‘2) = 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ( 0 ‘2) = 0)
36	35	oveq2d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘2) − ( 0 ‘2)) = ((𝑝‘2) − 0))
37	1, 5	rrx2pyel 44706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
38	37	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
39	38	subid1d 10988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘2) − 0) = (𝑝‘2))
40	36, 39	eqtrd 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘2) − ( 0 ‘2)) = (𝑝‘2))
41	40	oveq1d 7173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2) = ((𝑝‘2)↑2))
42	27, 41	oveq12d 7176	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)))
43	42	eqeq1d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
44	43	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
45	44	rabbidva 3480	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
46		2sphere0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}
47	45, 46	syl6eqr 2876	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = 𝐶)
48	12, 47	eqtrd 2858	1 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3144  Vcvv 3496  {csn 4569  {cpr 4571   × cxp 5555  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↑_m cmap 8408  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542  +∞cpnf 10674   − cmin 10872  2c2 11695  [,)cico 12743  ↑cexp 13432  ℝ^crrx 23988  Spherecsph 44722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-sum 15045  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-prds 16723  df-pws 16725  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-rnghom 19469  df-drng 19506  df-field 19507  df-subrg 19535  df-staf 19618  df-srng 19619  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-xmet 20540  df-met 20541  df-cnfld 20548  df-refld 20751  df-dsmm 20878  df-frlm 20893  df-nm 23194  df-tng 23196  df-tcph 23775  df-rrx 23990  df-ehl 23991  df-sph 44724

This theorem is referenced by:  itsclc0  44765  itsclc0b  44766  itscnhlinecirc02p  44779