Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2sphere0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sphere0 46922
Description: The sphere around the origin 0 (see rrx0 24777) with radius 𝑅 in a two dimensional Euclidean space is a circle. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2sphere.i 𝐼 = {1, 2}
2sphere.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
2sphere.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2sphere.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
2sphere0.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
2sphere0.c 𝐢 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)}
Assertion
Ref Expression
2sphere0 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ ( 0 𝑆𝑅) = 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   0 ,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem 2sphere0
StepHypRef Expression
1 2sphere.i . . . . 5 𝐼 = {1, 2}
2 prex 5390 . . . . 5 {1, 2} ∈ V
31, 2eqeltri 2830 . . . 4 𝐼 ∈ V
4 2sphere0.0 . . . . 5 0 = (𝐼 Γ— {0})
5 2sphere.p . . . . 5 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
64, 5rrx0el 24778 . . . 4 (𝐼 ∈ V β†’ 0 ∈ 𝑃)
73, 6ax-mp 5 . . 3 0 ∈ 𝑃
8 2sphere.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
9 2sphere.s . . . 4 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
10 eqid 2733 . . . 4 {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)}
111, 8, 5, 9, 102sphere 46921 . . 3 (( 0 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)})
127, 11mpan 689 . 2 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)})
134fveq1i 6844 . . . . . . . . . . . 12 ( 0 β€˜1) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜1)
14 c0ex 11154 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
15 1ex 11156 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
1615prid1 4724 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ {1, 2}
1716, 1eleqtrri 2833 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ 𝐼
18 fvconst2g 7152 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {0})β€˜1) = 0)
1914, 17, 18mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 Γ— {0})β€˜1) = 0
2013, 19eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 ( 0 β€˜1) = 0
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ( 0 β€˜1) = 0)
2221oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1)) = ((π‘β€˜1) βˆ’ 0))
231, 5rrx2pxel 46883 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
2423recnd 11188 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜1) ∈ β„‚)
2524subid1d 11506 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘β€˜1) βˆ’ 0) = (π‘β€˜1))
2622, 25eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1)) = (π‘β€˜1))
2726oveq1d 7373 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) = ((π‘β€˜1)↑2))
284fveq1i 6844 . . . . . . . . . . . 12 ( 0 β€˜2) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜2)
29 2ex 12235 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ V
3029prid2 4725 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ {1, 2}
3130, 1eleqtrri 2833 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ 𝐼
32 fvconst2g 7152 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ V ∧ 2 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {0})β€˜2) = 0)
3314, 31, 32mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 Γ— {0})β€˜2) = 0
3428, 33eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 ( 0 β€˜2) = 0
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ( 0 β€˜2) = 0)
3635oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2)) = ((π‘β€˜2) βˆ’ 0))
371, 5rrx2pyel 46884 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
3837recnd 11188 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜2) ∈ β„‚)
3938subid1d 11506 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘β€˜2) βˆ’ 0) = (π‘β€˜2))
4036, 39eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2)) = (π‘β€˜2))
4140oveq1d 7373 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2) = ((π‘β€˜2)↑2))
4227, 41oveq12d 7376 . . . . . 6 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)))
4342eqeq1d 2735 . . . . 5 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)))
4443adantl 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)))
4544rabbidva 3413 . . 3 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)})
46 2sphere0.c . . 3 𝐢 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)}
4745, 46eqtr4di 2791 . 2 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)} = 𝐢)
4812, 47eqtrd 2773 1 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ ( 0 𝑆𝑅) = 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444  {csn 4587  {cpr 4589   Γ— cxp 5632  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  +∞cpnf 11191   βˆ’ cmin 11390  2c2 12213  [,)cico 13272  β†‘cexp 13973  β„^crrx 24763  Spherecsph 46900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-rnghom 20153  df-drng 20199  df-field 20200  df-subrg 20234  df-staf 20318  df-srng 20319  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-xmet 20805  df-met 20806  df-cnfld 20813  df-refld 21025  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-nm 23954  df-tng 23956  df-tcph 24549  df-rrx 24765  df-ehl 24766  df-sph 46902
This theorem is referenced by:  itsclc0  46943  itsclc0b  46944  itscnhlinecirc02p  46957
  Copyright terms: Public domain W3C validator