Theorem 2sphere0 50067

Description: The sphere around the origin 0 (see rrx0 25748) with radius 𝑅 in a two dimensional Euclidean space is a circle. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sphere.i	⊢ 𝐼 = (0..^2)
2sphere.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2sphere.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2sphere.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
2sphere0.0	⊢ 0 = ⟨“00”⟩
2sphere0.c	⊢ 𝐶 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘0)↑2) + ((𝑝‘1)↑2)) = (𝑅↑2)}

Assertion

Ref	Expression
2sphere0	⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   0 ,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem 2sphere0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sphere0.0	. . . 4 ⊢ 0 = ⟨“00”⟩
2		0re 11337	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		2sphere.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (0..^2)
4		2sphere.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
5	3, 4	prelrrx2 50030	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ⟨“00”⟩ ∈ 𝑃)
6	2, 2, 5	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ⟨“00”⟩ ∈ 𝑃
7	1, 6	eqeltri 2860	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝑃
8		2sphere.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
9		2sphere.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘0) − ( 0 ‘0))↑2) + (((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘0) − ( 0 ‘0))↑2) + (((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2)) = (𝑅↑2)}
11	3, 8, 4, 9, 10	2sphere 50066	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘0) − ( 0 ‘0))↑2) + (((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2)) = (𝑅↑2)})
12	7, 11	mpan 703	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘0) − ( 0 ‘0))↑2) + (((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2)) = (𝑅↑2)})
13	1	fveq1i 6909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( 0 ‘0) = (⟨“00”⟩‘0)
14		c0ex 11327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
15		s2fv0 15066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V → (⟨“00”⟩‘0) = 0)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“00”⟩‘0) = 0
17	13, 16	eqtri 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 ‘0) = 0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ( 0 ‘0) = 0)
19	18	oveq2d 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘0) − ( 0 ‘0)) = ((𝑝‘0) − 0))
20	3, 4	rrx2pxel 50028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘0) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘0) ∈ ℂ)
22	21	subid1d 11685	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘0) − 0) = (𝑝‘0))
23	19, 22	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘0) − ( 0 ‘0)) = (𝑝‘0))
24	23	oveq1d 7458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (((𝑝‘0) − ( 0 ‘0))↑2) = ((𝑝‘0)↑2))
25	1	fveq1i 6909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( 0 ‘1) = (⟨“00”⟩‘1)
26		s2fv1 15067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V → (⟨“00”⟩‘1) = 0)
27	14, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“00”⟩‘1) = 0
28	25, 27	eqtri 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 ‘1) = 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ( 0 ‘1) = 0)
30	29	oveq2d 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘1) − ( 0 ‘1)) = ((𝑝‘1) − 0))
31	3, 4	rrx2pyel 50029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
33	32	subid1d 11685	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘1) − 0) = (𝑝‘1))
34	30, 33	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘1) − ( 0 ‘1)) = (𝑝‘1))
35	34	oveq1d 7458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) = ((𝑝‘1)↑2))
36	24, 35	oveq12d 7461	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((((𝑝‘0) − ( 0 ‘0))↑2) + (((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2)) = (((𝑝‘0)↑2) + ((𝑝‘1)↑2)))
37	36	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (((((𝑝‘0) − ( 0 ‘0))↑2) + (((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑝‘0)↑2) + ((𝑝‘1)↑2)) = (𝑅↑2)))
38	37	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((((𝑝‘0) − ( 0 ‘0))↑2) + (((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑝‘0)↑2) + ((𝑝‘1)↑2)) = (𝑅↑2)))
39	38	rabbidva 3422	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘0) − ( 0 ‘0))↑2) + (((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘0)↑2) + ((𝑝‘1)↑2)) = (𝑅↑2)})
40		2sphere0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘0)↑2) + ((𝑝‘1)↑2)) = (𝑅↑2)}
41	39, 40	eqtr4di 2816	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘0) − ( 0 ‘0))↑2) + (((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2)) = (𝑅↑2)} = 𝐶)
42	12, 41	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230  +∞cpnf 11367   − cmin 11568  2c2 12424  [,)cico 13505  ..^cfzo 13815  ↑cexp 14231  ⟨“cs2 15020  ℝ^crrx 25734  Spherecsph 50046

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306  ax-mulf 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-sum 15883  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-prds 17647  df-pws 17649  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-dvr 20661  df-rhm 20732  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-drng 21012  df-field 21013  df-staf 21126  df-srng 21127  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-xmet 21701  df-met 21702  df-cnfld 21709  df-refld 21941  df-dsmm 22068  df-frlm 22083  df-nm 24931  df-tng 24933  df-tcph 25520  df-rrx 25736  df-ehl 25737  df-sph 50048

This theorem is used by:  itsclc0  50088  itsclc0b  50089  itscnhlinecirc02p  50102