Theorem 2sphere0 49320

Description: The sphere around the origin 0 (see rrx0 25432) with radius 𝑅 in a two dimensional Euclidean space is a circle. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sphere.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
2sphere.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2sphere.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2sphere.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
2sphere0.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
2sphere0.c	⊢ 𝐶 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}

Assertion

Ref	Expression
2sphere0	⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   0 ,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem 2sphere0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sphere.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		prex 5389	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2852	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ V
4		2sphere0.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
5		2sphere.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6	4, 5	rrx0el 25433	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → 0 ∈ 𝑃)
7	3, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝑃
8		2sphere.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
9		2sphere.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
10		eqid 2756	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)}
11	1, 8, 5, 9, 10	2sphere 49319	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)})
12	7, 11	mpan 698	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)})
13	4	fveq1i 6857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( 0 ‘1) = ((𝐼 × {0})‘1)
14		c0ex 11163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
15		1ex 11166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ V
16	15	prid1 4715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ {1, 2}
17	16, 1	eleqtrri 2855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ 𝐼
18		fvconst2g 7175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {0})‘1) = 0)
19	14, 17, 18	mp2an 700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 × {0})‘1) = 0
20	13, 19	eqtri 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 ‘1) = 0
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ( 0 ‘1) = 0)
22	21	oveq2d 7401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘1) − ( 0 ‘1)) = ((𝑝‘1) − 0))
23	1, 5	rrx2pxel 49281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
25	24	subid1d 11521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘1) − 0) = (𝑝‘1))
26	22, 25	eqtrd 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘1) − ( 0 ‘1)) = (𝑝‘1))
27	26	oveq1d 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) = ((𝑝‘1)↑2))
28	4	fveq1i 6857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( 0 ‘2) = ((𝐼 × {0})‘2)
29		2ex 12285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ V
30	29	prid2 4716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ {1, 2}
31	30, 1	eleqtrri 2855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ 𝐼
32		fvconst2g 7175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 2 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {0})‘2) = 0)
33	14, 31, 32	mp2an 700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 × {0})‘2) = 0
34	28, 33	eqtri 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 ‘2) = 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ( 0 ‘2) = 0)
36	35	oveq2d 7401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘2) − ( 0 ‘2)) = ((𝑝‘2) − 0))
37	1, 5	rrx2pyel 49282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
39	38	subid1d 11521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘2) − 0) = (𝑝‘2))
40	36, 39	eqtrd 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((𝑝‘2) − ( 0 ‘2)) = (𝑝‘2))
41	40	oveq1d 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2) = ((𝑝‘2)↑2))
42	27, 41	oveq12d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)))
43	42	eqeq1d 2758	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
44	43	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
45	44	rabbidva 3414	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
46		2sphere0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}
47	45, 46	eqtr4di 2809	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = 𝐶)
48	12, 47	eqtrd 2791	1 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  {crab 3408  Vcvv 3448  {csn 4576  {cpr 4578   × cxp 5638  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   ↑_m cmap 8796  ℝcr 11062  0cc0 11063  1c1 11064   + caddc 11066  +∞cpnf 11203   − cmin 11404  2c2 12262  [,)cico 13341  ↑cexp 14064  ℝ^crrx 25418  Spherecsph 49298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141  ax-addf 11142  ax-mulf 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-tpos 8194  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-map 8798  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-sup 9378  df-oi 9448  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-rp 12984  df-xneg 13104  df-xadd 13105  df-xmul 13106  df-ico 13345  df-icc 13346  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14334  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-clim 15491  df-sum 15690  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-hom 17286  df-cco 17287  df-0g 17446  df-gsum 17447  df-prds 17452  df-pws 17454  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-mhm 18793  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19230  df-cntz 19333  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-oppr 20358  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-dvr 20422  df-rhm 20493  df-subrng 20568  df-subrg 20592  df-drng 20753  df-field 20754  df-staf 20861  df-srng 20862  df-lmod 20902  df-lss 20972  df-sra 21213  df-rgmod 21214  df-xmet 21390  df-met 21391  df-cnfld 21398  df-refld 21630  df-dsmm 21757  df-frlm 21772  df-nm 24615  df-tng 24617  df-tcph 25204  df-rrx 25420  df-ehl 25421  df-sph 49300

This theorem is referenced by:  itsclc0  49341  itsclc0b  49342  itscnhlinecirc02p  49355