Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2sphere0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sphere0 47919
Description: The sphere around the origin 0 (see rrx0 25353) with radius 𝑅 in a two dimensional Euclidean space is a circle. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2sphere.i 𝐼 = {1, 2}
2sphere.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
2sphere.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2sphere.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
2sphere0.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
2sphere0.c 𝐢 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)}
Assertion
Ref Expression
2sphere0 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ ( 0 𝑆𝑅) = 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   0 ,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem 2sphere0
StepHypRef Expression
1 2sphere.i . . . . 5 𝐼 = {1, 2}
2 prex 5438 . . . . 5 {1, 2} ∈ V
31, 2eqeltri 2825 . . . 4 𝐼 ∈ V
4 2sphere0.0 . . . . 5 0 = (𝐼 Γ— {0})
5 2sphere.p . . . . 5 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
64, 5rrx0el 25354 . . . 4 (𝐼 ∈ V β†’ 0 ∈ 𝑃)
73, 6ax-mp 5 . . 3 0 ∈ 𝑃
8 2sphere.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
9 2sphere.s . . . 4 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
10 eqid 2728 . . . 4 {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)}
111, 8, 5, 9, 102sphere 47918 . . 3 (( 0 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)})
127, 11mpan 688 . 2 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)})
134fveq1i 6903 . . . . . . . . . . . 12 ( 0 β€˜1) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜1)
14 c0ex 11248 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
15 1ex 11250 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
1615prid1 4771 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ {1, 2}
1716, 1eleqtrri 2828 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ 𝐼
18 fvconst2g 7220 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {0})β€˜1) = 0)
1914, 17, 18mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 Γ— {0})β€˜1) = 0
2013, 19eqtri 2756 . . . . . . . . . . 11 ( 0 β€˜1) = 0
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ( 0 β€˜1) = 0)
2221oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1)) = ((π‘β€˜1) βˆ’ 0))
231, 5rrx2pxel 47880 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
2423recnd 11282 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜1) ∈ β„‚)
2524subid1d 11600 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘β€˜1) βˆ’ 0) = (π‘β€˜1))
2622, 25eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1)) = (π‘β€˜1))
2726oveq1d 7441 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) = ((π‘β€˜1)↑2))
284fveq1i 6903 . . . . . . . . . . . 12 ( 0 β€˜2) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜2)
29 2ex 12329 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ V
3029prid2 4772 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ {1, 2}
3130, 1eleqtrri 2828 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ 𝐼
32 fvconst2g 7220 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ V ∧ 2 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {0})β€˜2) = 0)
3314, 31, 32mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 Γ— {0})β€˜2) = 0
3428, 33eqtri 2756 . . . . . . . . . . 11 ( 0 β€˜2) = 0
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ( 0 β€˜2) = 0)
3635oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2)) = ((π‘β€˜2) βˆ’ 0))
371, 5rrx2pyel 47881 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
3837recnd 11282 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜2) ∈ β„‚)
3938subid1d 11600 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘β€˜2) βˆ’ 0) = (π‘β€˜2))
4036, 39eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2)) = (π‘β€˜2))
4140oveq1d 7441 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2) = ((π‘β€˜2)↑2))
4227, 41oveq12d 7444 . . . . . 6 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)))
4342eqeq1d 2730 . . . . 5 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)))
4443adantl 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)))
4544rabbidva 3437 . . 3 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)})
46 2sphere0.c . . 3 𝐢 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)}
4745, 46eqtr4di 2786 . 2 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)} = 𝐢)
4812, 47eqtrd 2768 1 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ ( 0 𝑆𝑅) = 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  Vcvv 3473  {csn 4632  {cpr 4634   Γ— cxp 5680  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8853  β„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151  +∞cpnf 11285   βˆ’ cmin 11484  2c2 12307  [,)cico 13368  β†‘cexp 14068  β„^crrx 25339  Spherecsph 47897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-sum 15675  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-drng 20640  df-field 20641  df-staf 20739  df-srng 20740  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-xmet 21286  df-met 21287  df-cnfld 21294  df-refld 21551  df-dsmm 21680  df-frlm 21695  df-nm 24519  df-tng 24521  df-tcph 25125  df-rrx 25341  df-ehl 25342  df-sph 47899
This theorem is referenced by:  itsclc0  47940  itsclc0b  47941  itscnhlinecirc02p  47954
  Copyright terms: Public domain W3C validator