MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hargch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hargch 10668
Description: If 𝐴 + β‰ˆ 𝒫 𝐴, then 𝐴 is a GCH-set. The much simpler converse to gchhar 10674. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
hargch ((harβ€˜π΄) β‰ˆ 𝒫 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ GCH)

Proof of Theorem hargch
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 harcl 9554 . . . . . . . . . . . . . 14 (harβ€˜π΄) ∈ On
2 sdomdom 8976 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ β‰Ί (harβ€˜π΄) β†’ π‘₯ β‰Ό (harβ€˜π΄))
3 ondomen 10032 . . . . . . . . . . . . . 14 (((harβ€˜π΄) ∈ On ∧ π‘₯ β‰Ό (harβ€˜π΄)) β†’ π‘₯ ∈ dom card)
41, 2, 3sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ β‰Ί (harβ€˜π΄) β†’ π‘₯ ∈ dom card)
5 onenon 9944 . . . . . . . . . . . . . 14 ((harβ€˜π΄) ∈ On β†’ (harβ€˜π΄) ∈ dom card)
61, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (harβ€˜π΄) ∈ dom card
7 cardsdom2 9983 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ dom card ∧ (harβ€˜π΄) ∈ dom card) β†’ ((cardβ€˜π‘₯) ∈ (cardβ€˜(harβ€˜π΄)) ↔ π‘₯ β‰Ί (harβ€˜π΄)))
84, 6, 7sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ β‰Ί (harβ€˜π΄) β†’ ((cardβ€˜π‘₯) ∈ (cardβ€˜(harβ€˜π΄)) ↔ π‘₯ β‰Ί (harβ€˜π΄)))
98ibir 268 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ β‰Ί (harβ€˜π΄) β†’ (cardβ€˜π‘₯) ∈ (cardβ€˜(harβ€˜π΄)))
10 harcard 9973 . . . . . . . . . . 11 (cardβ€˜(harβ€˜π΄)) = (harβ€˜π΄)
119, 10eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ β‰Ί (harβ€˜π΄) β†’ (cardβ€˜π‘₯) ∈ (harβ€˜π΄))
12 elharval 9556 . . . . . . . . . . 11 ((cardβ€˜π‘₯) ∈ (harβ€˜π΄) ↔ ((cardβ€˜π‘₯) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘₯) β‰Ό 𝐴))
1312simprbi 498 . . . . . . . . . 10 ((cardβ€˜π‘₯) ∈ (harβ€˜π΄) β†’ (cardβ€˜π‘₯) β‰Ό 𝐴)
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘₯ β‰Ί (harβ€˜π΄) β†’ (cardβ€˜π‘₯) β‰Ό 𝐴)
15 cardid2 9948 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ dom card β†’ (cardβ€˜π‘₯) β‰ˆ π‘₯)
16 domen1 9119 . . . . . . . . . 10 ((cardβ€˜π‘₯) β‰ˆ π‘₯ β†’ ((cardβ€˜π‘₯) β‰Ό 𝐴 ↔ π‘₯ β‰Ό 𝐴))
174, 15, 163syl 18 . . . . . . . . 9 (π‘₯ β‰Ί (harβ€˜π΄) β†’ ((cardβ€˜π‘₯) β‰Ό 𝐴 ↔ π‘₯ β‰Ό 𝐴))
1814, 17mpbid 231 . . . . . . . 8 (π‘₯ β‰Ί (harβ€˜π΄) β†’ π‘₯ β‰Ό 𝐴)
19 domnsym 9099 . . . . . . . 8 (π‘₯ β‰Ό 𝐴 β†’ Β¬ 𝐴 β‰Ί π‘₯)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ β‰Ί (harβ€˜π΄) β†’ Β¬ 𝐴 β‰Ί π‘₯)
2120con2i 139 . . . . . 6 (𝐴 β‰Ί π‘₯ β†’ Β¬ π‘₯ β‰Ί (harβ€˜π΄))
22 sdomen2 9122 . . . . . . 7 ((harβ€˜π΄) β‰ˆ 𝒫 𝐴 β†’ (π‘₯ β‰Ί (harβ€˜π΄) ↔ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴))
2322notbid 318 . . . . . 6 ((harβ€˜π΄) β‰ˆ 𝒫 𝐴 β†’ (Β¬ π‘₯ β‰Ί (harβ€˜π΄) ↔ Β¬ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴))
2421, 23imbitrid 243 . . . . 5 ((harβ€˜π΄) β‰ˆ 𝒫 𝐴 β†’ (𝐴 β‰Ί π‘₯ β†’ Β¬ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴))
25 imnan 401 . . . . 5 ((𝐴 β‰Ί π‘₯ β†’ Β¬ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴) ↔ Β¬ (𝐴 β‰Ί π‘₯ ∧ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴))
2624, 25sylib 217 . . . 4 ((harβ€˜π΄) β‰ˆ 𝒫 𝐴 β†’ Β¬ (𝐴 β‰Ί π‘₯ ∧ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴))
2726alrimiv 1931 . . 3 ((harβ€˜π΄) β‰ˆ 𝒫 𝐴 β†’ βˆ€π‘₯ Β¬ (𝐴 β‰Ί π‘₯ ∧ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴))
2827olcd 873 . 2 ((harβ€˜π΄) β‰ˆ 𝒫 𝐴 β†’ (𝐴 ∈ Fin ∨ βˆ€π‘₯ Β¬ (𝐴 β‰Ί π‘₯ ∧ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴)))
29 relen 8944 . . . . 5 Rel β‰ˆ
3029brrelex2i 5734 . . . 4 ((harβ€˜π΄) β‰ˆ 𝒫 𝐴 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ V)
31 pwexb 7753 . . . 4 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
3230, 31sylibr 233 . . 3 ((harβ€˜π΄) β‰ˆ 𝒫 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ V)
33 elgch 10617 . . 3 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ βˆ€π‘₯ Β¬ (𝐴 β‰Ί π‘₯ ∧ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴))))
3432, 33syl 17 . 2 ((harβ€˜π΄) β‰ˆ 𝒫 𝐴 β†’ (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ βˆ€π‘₯ Β¬ (𝐴 β‰Ί π‘₯ ∧ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴))))
3528, 34mpbird 257 1 ((harβ€˜π΄) β‰ˆ 𝒫 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ GCH)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846  βˆ€wal 1540   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  Oncon0 6365  β€˜cfv 6544   β‰ˆ cen 8936   β‰Ό cdom 8937   β‰Ί csdm 8938  Fincfn 8939  harchar 9551  cardccrd 9930  GCHcgch 10615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-oi 9505  df-har 9552  df-card 9934  df-gch 10616
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator