Theorem hargch 10587

Description: If 𝐴 + ≈ 𝒫 𝐴, then 𝐴 is a GCH-set. The much simpler converse to gchhar 10593. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hargch	⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ GCH)

Proof of Theorem hargch

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harcl 9464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (har‘𝐴) ∈ On
2		sdomdom 8917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ≼ (har‘𝐴))
3		ondomen 9950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝑥 ≼ (har‘𝐴)) → 𝑥 ∈ dom card)
4	1, 2, 3	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ∈ dom card)
5		onenon 9864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((har‘𝐴) ∈ On → (har‘𝐴) ∈ dom card)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (har‘𝐴) ∈ dom card
7		cardsdom2 9903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ dom card ∧ (har‘𝐴) ∈ dom card) → ((card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)) ↔ 𝑥 ≺ (har‘𝐴)))
8	4, 6, 7	sylancl 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ((card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)) ↔ 𝑥 ≺ (har‘𝐴)))
9	8	ibir 269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)))
10		harcard 9893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (card‘(har‘𝐴)) = (har‘𝐴)
11	9, 10	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴))
12		elharval 9466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴) ↔ ((card‘𝑥) ∈ On ∧ (card‘𝑥) ≼ 𝐴))
13	12	simprbi 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ≼ 𝐴)
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ≼ 𝐴)
15		cardid2 9868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ dom card → (card‘𝑥) ≈ 𝑥)
16		domen1 9047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝑥) ≈ 𝑥 → ((card‘𝑥) ≼ 𝐴 ↔ 𝑥 ≼ 𝐴))
17	4, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ((card‘𝑥) ≼ 𝐴 ↔ 𝑥 ≼ 𝐴))
18	14, 17	mpbid 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ≼ 𝐴)
19		domnsym 9031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝑥)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝑥)
21	20	con2i 139	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ (har‘𝐴))
22		sdomen2 9050	. . . . . . 7 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝑥 ≺ (har‘𝐴) ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
23	22	notbid 319	. . . . . 6 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (¬ 𝑥 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
24	21, 23	imbitrid 245	. . . . 5 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ≺ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
25		imnan 400	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
26	24, 25	sylib 219	. . . 4 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
27	26	alrimiv 1934	. . 3 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
28	27	olcd 880	. 2 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴)))
29		relen 8888	. . . . 5 ⊢ Rel ≈
30	29	brrelex2i 5675	. . . 4 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
31		pwexb 7709	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
32	30, 31	sylibr 235	. . 3 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
33		elgch 10536	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
34	32, 33	syl 17	. 2 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
35	28, 34	mpbird 258	1 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ GCH)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853  ∀wal 1545   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  𝒫 cpw 4529   class class class wbr 5072  dom cdm 5618  Oncon0 6310  ‘cfv 6485   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881   ≺ csdm 8882  Fincfn 8883  harchar 9461  cardccrd 9850  GCHcgch 10534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-oi 9415  df-har 9462  df-card 9854  df-gch 10535

This theorem is referenced by: (None)