Theorem hargch 10530

Description: If 𝐴 + ≈ 𝒫 𝐴, then 𝐴 is a GCH-set. The much simpler converse to gchhar 10536. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hargch	⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ GCH)

Proof of Theorem hargch

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harcl 9416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (har‘𝐴) ∈ On
2		sdomdom 8841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ≼ (har‘𝐴))
3		ondomen 9894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝑥 ≼ (har‘𝐴)) → 𝑥 ∈ dom card)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ∈ dom card)
5		onenon 9806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((har‘𝐴) ∈ On → (har‘𝐴) ∈ dom card)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (har‘𝐴) ∈ dom card
7		cardsdom2 9845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ dom card ∧ (har‘𝐴) ∈ dom card) → ((card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)) ↔ 𝑥 ≺ (har‘𝐴)))
8	4, 6, 7	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ((card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)) ↔ 𝑥 ≺ (har‘𝐴)))
9	8	ibir 267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)))
10		harcard 9835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (card‘(har‘𝐴)) = (har‘𝐴)
11	9, 10	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴))
12		elharval 9418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴) ↔ ((card‘𝑥) ∈ On ∧ (card‘𝑥) ≼ 𝐴))
13	12	simprbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ≼ 𝐴)
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ≼ 𝐴)
15		cardid2 9810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ dom card → (card‘𝑥) ≈ 𝑥)
16		domen1 8984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝑥) ≈ 𝑥 → ((card‘𝑥) ≼ 𝐴 ↔ 𝑥 ≼ 𝐴))
17	4, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ((card‘𝑥) ≼ 𝐴 ↔ 𝑥 ≼ 𝐴))
18	14, 17	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ≼ 𝐴)
19		domnsym 8964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝑥)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝑥)
21	20	con2i 139	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ (har‘𝐴))
22		sdomen2 8987	. . . . . . 7 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝑥 ≺ (har‘𝐴) ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
23	22	notbid 317	. . . . . 6 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (¬ 𝑥 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
24	21, 23	syl5ib 243	. . . . 5 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ≺ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
25		imnan 400	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
26	24, 25	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
27	26	alrimiv 1929	. . 3 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
28	27	olcd 871	. 2 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴)))
29		relen 8809	. . . . 5 ⊢ Rel ≈
30	29	brrelex2i 5675	. . . 4 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
31		pwexb 7678	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
32	30, 31	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
33		elgch 10479	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
34	32, 33	syl 17	. 2 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
35	28, 34	mpbird 256	1 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ GCH)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844  ∀wal 1538   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441  𝒫 cpw 4547   class class class wbr 5092  dom cdm 5620  Oncon0 6302  ‘cfv 6479   ≈ cen 8801   ≼ cdom 8802   ≺ csdm 8803  Fincfn 8804  harchar 9413  cardccrd 9792  GCHcgch 10477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-oi 9367  df-har 9414  df-card 9796  df-gch 10478

This theorem is referenced by: (None)