Theorem hargch 10711

Description: If 𝐴 + ≈ 𝒫 𝐴, then 𝐴 is a GCH-set. The much simpler converse to gchhar 10717. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hargch	⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ GCH)

Proof of Theorem hargch

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harcl 9597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (har‘𝐴) ∈ On
2		sdomdom 9019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ≼ (har‘𝐴))
3		ondomen 10075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝑥 ≼ (har‘𝐴)) → 𝑥 ∈ dom card)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ∈ dom card)
5		onenon 9987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((har‘𝐴) ∈ On → (har‘𝐴) ∈ dom card)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (har‘𝐴) ∈ dom card
7		cardsdom2 10026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ dom card ∧ (har‘𝐴) ∈ dom card) → ((card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)) ↔ 𝑥 ≺ (har‘𝐴)))
8	4, 6, 7	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ((card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)) ↔ 𝑥 ≺ (har‘𝐴)))
9	8	ibir 268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)))
10		harcard 10016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (card‘(har‘𝐴)) = (har‘𝐴)
11	9, 10	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴))
12		elharval 9599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴) ↔ ((card‘𝑥) ∈ On ∧ (card‘𝑥) ≼ 𝐴))
13	12	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ≼ 𝐴)
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ≼ 𝐴)
15		cardid2 9991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ dom card → (card‘𝑥) ≈ 𝑥)
16		domen1 9158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝑥) ≈ 𝑥 → ((card‘𝑥) ≼ 𝐴 ↔ 𝑥 ≼ 𝐴))
17	4, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ((card‘𝑥) ≼ 𝐴 ↔ 𝑥 ≼ 𝐴))
18	14, 17	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ≼ 𝐴)
19		domnsym 9138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝑥)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝑥)
21	20	con2i 139	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ (har‘𝐴))
22		sdomen2 9161	. . . . . . 7 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝑥 ≺ (har‘𝐴) ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
23	22	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (¬ 𝑥 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
24	21, 23	imbitrid 244	. . . . 5 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ≺ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
25		imnan 399	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
26	24, 25	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
27	26	alrimiv 1925	. . 3 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
28	27	olcd 874	. 2 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴)))
29		relen 8989	. . . . 5 ⊢ Rel ≈
30	29	brrelex2i 5746	. . . 4 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
31		pwexb 7785	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
32	30, 31	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
33		elgch 10660	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
34	32, 33	syl 17	. 2 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
35	28, 34	mpbird 257	1 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ GCH)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847  ∀wal 1535   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  Oncon0 6386  ‘cfv 6563   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982   ≺ csdm 8983  Fincfn 8984  harchar 9594  cardccrd 9973  GCHcgch 10658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-oi 9548  df-har 9595  df-card 9977  df-gch 10659

This theorem is referenced by: (None)