Theorem hargch 10664

Description: If 𝐴 + ≈ 𝒫 𝐴, then 𝐴 is a GCH-set. The much simpler converse to gchhar 10670. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hargch	⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ GCH)

Proof of Theorem hargch

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harcl 9550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (har‘𝐴) ∈ On
2		sdomdom 8972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ≼ (har‘𝐴))
3		ondomen 10028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝑥 ≼ (har‘𝐴)) → 𝑥 ∈ dom card)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ∈ dom card)
5		onenon 9940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((har‘𝐴) ∈ On → (har‘𝐴) ∈ dom card)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (har‘𝐴) ∈ dom card
7		cardsdom2 9979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ dom card ∧ (har‘𝐴) ∈ dom card) → ((card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)) ↔ 𝑥 ≺ (har‘𝐴)))
8	4, 6, 7	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ((card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)) ↔ 𝑥 ≺ (har‘𝐴)))
9	8	ibir 267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)))
10		harcard 9969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (card‘(har‘𝐴)) = (har‘𝐴)
11	9, 10	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴))
12		elharval 9552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴) ↔ ((card‘𝑥) ∈ On ∧ (card‘𝑥) ≼ 𝐴))
13	12	simprbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ≼ 𝐴)
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ≼ 𝐴)
15		cardid2 9944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ dom card → (card‘𝑥) ≈ 𝑥)
16		domen1 9115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝑥) ≈ 𝑥 → ((card‘𝑥) ≼ 𝐴 ↔ 𝑥 ≼ 𝐴))
17	4, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ((card‘𝑥) ≼ 𝐴 ↔ 𝑥 ≼ 𝐴))
18	14, 17	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ≼ 𝐴)
19		domnsym 9095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝑥)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝑥)
21	20	con2i 139	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ (har‘𝐴))
22		sdomen2 9118	. . . . . . 7 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝑥 ≺ (har‘𝐴) ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
23	22	notbid 317	. . . . . 6 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (¬ 𝑥 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
24	21, 23	imbitrid 243	. . . . 5 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ≺ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
25		imnan 400	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
26	24, 25	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
27	26	alrimiv 1930	. . 3 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
28	27	olcd 872	. 2 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴)))
29		relen 8940	. . . . 5 ⊢ Rel ≈
30	29	brrelex2i 5731	. . . 4 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
31		pwexb 7749	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
32	30, 31	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
33		elgch 10613	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
34	32, 33	syl 17	. 2 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
35	28, 34	mpbird 256	1 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ GCH)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845  ∀wal 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  Oncon0 6361  ‘cfv 6540   ≈ cen 8932   ≼ cdom 8933   ≺ csdm 8934  Fincfn 8935  harchar 9547  cardccrd 9926  GCHcgch 10611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-oi 9501  df-har 9548  df-card 9930  df-gch 10612

This theorem is referenced by: (None)