MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephgch 10618
Description: If (ℵ‘suc 𝐴) is equinumerous to the powerset of (ℵ‘𝐴), then (ℵ‘𝐴) is a GCH-set. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
alephgch ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (ℵ‘𝐴) ∈ GCH)

Proof of Theorem alephgch
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephnbtwn2 10016 . . . . 5 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
2 sdomen2 9072 . . . . . 6 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (𝑥 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))
32anbi2d 630 . . . . 5 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) ↔ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴))))
41, 3mtbii 326 . . . 4 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))
54alrimiv 1931 . . 3 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))
65olcd 873 . 2 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → ((ℵ‘𝐴) ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴))))
7 fvex 6859 . . 3 (ℵ‘𝐴) ∈ V
8 elgch 10566 . . 3 ((ℵ‘𝐴) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) ∈ GCH ↔ ((ℵ‘𝐴) ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))))
97, 8ax-mp 5 . 2 ((ℵ‘𝐴) ∈ GCH ↔ ((ℵ‘𝐴) ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴))))
106, 9sylibr 233 1 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (ℵ‘𝐴) ∈ GCH)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  wal 1540  wcel 2107  Vcvv 3447  𝒫 cpw 4564   class class class wbr 5109  suc csuc 6323  cfv 6500  cen 8886  csdm 8888  Fincfn 8889  cale 9880  GCHcgch 10564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-oi 9454  df-har 9501  df-card 9883  df-aleph 9884  df-gch 10565
This theorem is referenced by:  gch3  10620
  Copyright terms: Public domain W3C validator