Theorem alephgch 10139

Description: If (ℵ‘suc 𝐴) is equinumerous to the powerset of (ℵ‘𝐴), then (ℵ‘𝐴) is a GCH-set. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
alephgch	⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (ℵ‘𝐴) ∈ GCH)

Proof of Theorem alephgch

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephnbtwn2 9537	. . . . 5 ⊢ ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
2		sdomen2 8689	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (𝑥 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))
3	2	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) ↔ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴))))
4	1, 3	mtbii 329	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))
5	4	alrimiv 1928	. . 3 ⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))
6	5	olcd 871	. 2 ⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → ((ℵ‘𝐴) ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴))))
7		fvex 6675	. . 3 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
8		elgch 10087	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) ∈ GCH ↔ ((ℵ‘𝐴) ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))))
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ GCH ↔ ((ℵ‘𝐴) ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴))))
10	6, 9	sylibr 237	1 ⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (ℵ‘𝐴) ∈ GCH)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844  ∀wal 1536   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5035  suc csuc 6175  ‘cfv 6339   ≈ cen 8529   ≺ csdm 8531  Fincfn 8532  ℵcale 9403  GCHcgch 10085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-om 7585  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-oi 9012  df-har 9059  df-card 9406  df-aleph 9407  df-gch 10086

This theorem is referenced by:  gch3  10141