MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephgch 10665
Description: If (ℵ‘suc 𝐴) is equinumerous to the powerset of (ℵ‘𝐴), then (ℵ‘𝐴) is a GCH-set. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
alephgch ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (ℵ‘𝐴) ∈ GCH)

Proof of Theorem alephgch
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephnbtwn2 10063 . . . . 5 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
2 sdomen2 9118 . . . . . 6 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (𝑥 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))
32anbi2d 628 . . . . 5 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) ↔ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴))))
41, 3mtbii 326 . . . 4 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))
54alrimiv 1922 . . 3 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))
65olcd 871 . 2 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → ((ℵ‘𝐴) ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴))))
7 fvex 6894 . . 3 (ℵ‘𝐴) ∈ V
8 elgch 10613 . . 3 ((ℵ‘𝐴) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) ∈ GCH ↔ ((ℵ‘𝐴) ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))))
97, 8ax-mp 5 . 2 ((ℵ‘𝐴) ∈ GCH ↔ ((ℵ‘𝐴) ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴))))
106, 9sylibr 233 1 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (ℵ‘𝐴) ∈ GCH)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  wal 1531  wcel 2098  Vcvv 3466  𝒫 cpw 4594   class class class wbr 5138  suc csuc 6356  cfv 6533  cen 8932  csdm 8934  Fincfn 8935  cale 9927  GCHcgch 10611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-oi 9501  df-har 9548  df-card 9930  df-aleph 9931  df-gch 10612
This theorem is referenced by:  gch3  10667
  Copyright terms: Public domain W3C validator