Theorem alephgch 10745

Description: If (ℵ‘suc 𝐴) is equinumerous to the powerset of (ℵ‘𝐴), then (ℵ‘𝐴) is a GCH-set. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
alephgch	⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (ℵ‘𝐴) ∈ GCH)

Proof of Theorem alephgch

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephnbtwn2 10143	. . . . 5 ⊢ ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
2		sdomen2 9190	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (𝑥 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))
3	2	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) ↔ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴))))
4	1, 3	mtbii 326	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))
5	4	alrimiv 1926	. . 3 ⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))
6	5	olcd 873	. 2 ⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → ((ℵ‘𝐴) ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴))))
7		fvex 6935	. . 3 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
8		elgch 10693	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) ∈ GCH ↔ ((ℵ‘𝐴) ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))))
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ GCH ↔ ((ℵ‘𝐴) ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴))))
10	6, 9	sylibr 234	1 ⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (ℵ‘𝐴) ∈ GCH)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846  ∀wal 1535   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  𝒫 cpw 4622   class class class wbr 5166  suc csuc 6399  ‘cfv 6575   ≈ cen 9002   ≺ csdm 9004  Fincfn 9005  ℵcale 10007  GCHcgch 10691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-inf2 9712

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-oi 9581  df-har 9628  df-card 10010  df-aleph 10011  df-gch 10692

This theorem is referenced by:  gch3  10747