MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephgch 10090
Description: If (ℵ‘suc 𝐴) is equinumerous to the powerset of (ℵ‘𝐴), then (ℵ‘𝐴) is a GCH-set. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
alephgch ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (ℵ‘𝐴) ∈ GCH)

Proof of Theorem alephgch
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephnbtwn2 9492 . . . . 5 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
2 sdomen2 8656 . . . . . 6 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (𝑥 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))
32anbi2d 628 . . . . 5 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) ↔ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴))))
41, 3mtbii 327 . . . 4 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))
54alrimiv 1921 . . 3 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))
65olcd 872 . 2 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → ((ℵ‘𝐴) ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴))))
7 fvex 6682 . . 3 (ℵ‘𝐴) ∈ V
8 elgch 10038 . . 3 ((ℵ‘𝐴) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) ∈ GCH ↔ ((ℵ‘𝐴) ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)))))
97, 8ax-mp 5 . 2 ((ℵ‘𝐴) ∈ GCH ↔ ((ℵ‘𝐴) ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝑥𝑥 ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴))))
106, 9sylibr 235 1 ((ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴) → (ℵ‘𝐴) ∈ GCH)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  wal 1528  wcel 2107  Vcvv 3500  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5063  suc csuc 6192  cfv 6354  cen 8500  csdm 8502  Fincfn 8503  cale 9359  GCHcgch 10036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-om 7574  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-oi 8968  df-har 9016  df-card 9362  df-aleph 9363  df-gch 10037
This theorem is referenced by:  gch3  10092
  Copyright terms: Public domain W3C validator