MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djuxpdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djuxpdom 10224
Description: Cartesian product dominates disjoint union for sets with cardinality greater than 1. Similar to Proposition 10.36 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
djuxpdom ((1o𝐴 ∧ 1o𝐵) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Proof of Theorem djuxpdom
StepHypRef Expression
1 df-dju 9939 . . 3 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2 0ex 5313 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
3 relsdom 8991 . . . . . . . 8 Rel ≺
43brrelex2i 5746 . . . . . . 7 (1o𝐴𝐴 ∈ V)
5 xpsnen2g 9104 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
62, 4, 5sylancr 587 . . . . . 6 (1o𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
7 sdomen2 9161 . . . . . 6 (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → (1o ≺ ({∅} × 𝐴) ↔ 1o𝐴))
86, 7syl 17 . . . . 5 (1o𝐴 → (1o ≺ ({∅} × 𝐴) ↔ 1o𝐴))
98ibir 268 . . . 4 (1o𝐴 → 1o ≺ ({∅} × 𝐴))
10 1on 8517 . . . . . . 7 1o ∈ On
113brrelex2i 5746 . . . . . . 7 (1o𝐵𝐵 ∈ V)
12 xpsnen2g 9104 . . . . . . 7 ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
1310, 11, 12sylancr 587 . . . . . 6 (1o𝐵 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
14 sdomen2 9161 . . . . . 6 (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵 → (1o ≺ ({1o} × 𝐵) ↔ 1o𝐵))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (1o𝐵 → (1o ≺ ({1o} × 𝐵) ↔ 1o𝐵))
1615ibir 268 . . . 4 (1o𝐵 → 1o ≺ ({1o} × 𝐵))
17 unxpdom 9287 . . . 4 ((1o ≺ ({∅} × 𝐴) ∧ 1o ≺ ({1o} × 𝐵)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
189, 16, 17syl2an 596 . . 3 ((1o𝐴 ∧ 1o𝐵) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
191, 18eqbrtrid 5183 . 2 ((1o𝐴 ∧ 1o𝐵) → (𝐴𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
20 xpen 9179 . . 3 ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵))
216, 13, 20syl2an 596 . 2 ((1o𝐴 ∧ 1o𝐵) → (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵))
22 domentr 9052 . 2 (((𝐴𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ∧ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
2319, 21, 22syl2anc 584 1 ((1o𝐴 ∧ 1o𝐵) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  Vcvv 3478  cun 3961  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  Oncon0 6386  1oc1o 8498  cen 8981  cdom 8982  csdm 8983  cdju 9936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-dju 9939
This theorem is referenced by:  canthp1lem1  10690
  Copyright terms: Public domain W3C validator