MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djuxpdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djuxpdom 10208
Description: Cartesian product dominates disjoint union for sets with cardinality greater than 1. Similar to Proposition 10.36 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
djuxpdom ((1o𝐴 ∧ 1o𝐵) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Proof of Theorem djuxpdom
StepHypRef Expression
1 df-dju 9924 . . 3 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2 0ex 5307 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
3 relsdom 8970 . . . . . . . 8 Rel ≺
43brrelex2i 5735 . . . . . . 7 (1o𝐴𝐴 ∈ V)
5 xpsnen2g 9089 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
62, 4, 5sylancr 586 . . . . . 6 (1o𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
7 sdomen2 9146 . . . . . 6 (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → (1o ≺ ({∅} × 𝐴) ↔ 1o𝐴))
86, 7syl 17 . . . . 5 (1o𝐴 → (1o ≺ ({∅} × 𝐴) ↔ 1o𝐴))
98ibir 268 . . . 4 (1o𝐴 → 1o ≺ ({∅} × 𝐴))
10 1on 8498 . . . . . . 7 1o ∈ On
113brrelex2i 5735 . . . . . . 7 (1o𝐵𝐵 ∈ V)
12 xpsnen2g 9089 . . . . . . 7 ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
1310, 11, 12sylancr 586 . . . . . 6 (1o𝐵 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
14 sdomen2 9146 . . . . . 6 (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵 → (1o ≺ ({1o} × 𝐵) ↔ 1o𝐵))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (1o𝐵 → (1o ≺ ({1o} × 𝐵) ↔ 1o𝐵))
1615ibir 268 . . . 4 (1o𝐵 → 1o ≺ ({1o} × 𝐵))
17 unxpdom 9277 . . . 4 ((1o ≺ ({∅} × 𝐴) ∧ 1o ≺ ({1o} × 𝐵)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
189, 16, 17syl2an 595 . . 3 ((1o𝐴 ∧ 1o𝐵) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
191, 18eqbrtrid 5183 . 2 ((1o𝐴 ∧ 1o𝐵) → (𝐴𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
20 xpen 9164 . . 3 ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵))
216, 13, 20syl2an 595 . 2 ((1o𝐴 ∧ 1o𝐵) → (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵))
22 domentr 9033 . 2 (((𝐴𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ∧ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
2319, 21, 22syl2anc 583 1 ((1o𝐴 ∧ 1o𝐵) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2099  Vcvv 3471  cun 3945  c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5148   × cxp 5676  Oncon0 6369  1oc1o 8479  cen 8960  cdom 8961  csdm 8962  cdju 9921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-dju 9924
This theorem is referenced by:  canthp1lem1  10675
  Copyright terms: Public domain W3C validator