Theorem djuxpdom 10226

Description: Cartesian product dominates disjoint union for sets with cardinality greater than 1. Similar to Proposition 10.36 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djuxpdom	⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Proof of Theorem djuxpdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9941	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		0ex 5307	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
3		relsdom 8992	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≺
4	3	brrelex2i 5742	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
5		xpsnen2g 9105	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
6	2, 4, 5	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
7		sdomen2 9162	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → (1o ≺ ({∅} × 𝐴) ↔ 1o ≺ 𝐴))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (1o ≺ ({∅} × 𝐴) ↔ 1o ≺ 𝐴))
9	8	ibir 268	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 1o ≺ ({∅} × 𝐴))
10		1on 8518	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
11	3	brrelex2i 5742	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≺ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
12		xpsnen2g 9105	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
13	10, 11, 12	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (1o ≺ 𝐵 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
14		sdomen2 9162	. . . . . 6 ⊢ (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵 → (1o ≺ ({1o} × 𝐵) ↔ 1o ≺ 𝐵))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (1o ≺ 𝐵 → (1o ≺ ({1o} × 𝐵) ↔ 1o ≺ 𝐵))
16	15	ibir 268	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐵 → 1o ≺ ({1o} × 𝐵))
17		unxpdom 9289	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ ({∅} × 𝐴) ∧ 1o ≺ ({1o} × 𝐵)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
18	9, 16, 17	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
19	1, 18	eqbrtrid 5178	. 2 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
20		xpen 9180	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵))
21	6, 13, 20	syl2an 596	. 2 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵))
22		domentr 9053	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ∧ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
23	19, 21, 22	syl2anc 584	1 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∪ cun 3949  ∅c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143   × cxp 5683  Oncon0 6384  1_oc1o 8499   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983   ≺ csdm 8984   ⊔ cdju 9938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-dju 9941

This theorem is referenced by:  canthp1lem1  10692