Theorem djuxpdom 10139

Description: Cartesian product dominates disjoint union for sets with cardinality greater than 1. Similar to Proposition 10.36 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djuxpdom	⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Proof of Theorem djuxpdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9854	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		0ex 5262	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
3		relsdom 8925	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≺
4	3	brrelex2i 5695	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
5		xpsnen2g 9034	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
6	2, 4, 5	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
7		sdomen2 9086	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → (1o ≺ ({∅} × 𝐴) ↔ 1o ≺ 𝐴))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (1o ≺ ({∅} × 𝐴) ↔ 1o ≺ 𝐴))
9	8	ibir 268	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 1o ≺ ({∅} × 𝐴))
10		1on 8446	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
11	3	brrelex2i 5695	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≺ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
12		xpsnen2g 9034	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
13	10, 11, 12	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (1o ≺ 𝐵 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
14		sdomen2 9086	. . . . . 6 ⊢ (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵 → (1o ≺ ({1o} × 𝐵) ↔ 1o ≺ 𝐵))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (1o ≺ 𝐵 → (1o ≺ ({1o} × 𝐵) ↔ 1o ≺ 𝐵))
16	15	ibir 268	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐵 → 1o ≺ ({1o} × 𝐵))
17		unxpdom 9200	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ ({∅} × 𝐴) ∧ 1o ≺ ({1o} × 𝐵)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
18	9, 16, 17	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
19	1, 18	eqbrtrid 5142	. 2 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
20		xpen 9104	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵))
21	6, 13, 20	syl2an 596	. 2 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵))
22		domentr 8984	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ∧ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
23	19, 21, 22	syl2anc 584	1 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∪ cun 3912  ∅c0 4296  {csn 4589   class class class wbr 5107   × cxp 5636  Oncon0 6332  1_oc1o 8427   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917   ⊔ cdju 9851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-dju 9854

This theorem is referenced by:  canthp1lem1  10605