Theorem djuxpdom 10185

Description: Cartesian product dominates disjoint union for sets with cardinality greater than 1. Similar to Proposition 10.36 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djuxpdom	⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Proof of Theorem djuxpdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9903	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		0ex 5272	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
3		relsdom 8956	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≺
4	3	brrelex2i 5720	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
5		xpsnen2g 9065	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
6	2, 4, 5	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
7		sdomen2 9117	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → (1o ≺ ({∅} × 𝐴) ↔ 1o ≺ 𝐴))
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (1o ≺ ({∅} × 𝐴) ↔ 1o ≺ 𝐴))
9	8	ibir 271	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 1o ≺ ({∅} × 𝐴))
10		1on 8472	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
11	3	brrelex2i 5720	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≺ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
12		xpsnen2g 9065	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
13	10, 11, 12	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (1o ≺ 𝐵 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
14		sdomen2 9117	. . . . . 6 ⊢ (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵 → (1o ≺ ({1o} × 𝐵) ↔ 1o ≺ 𝐵))
15	13, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (1o ≺ 𝐵 → (1o ≺ ({1o} × 𝐵) ↔ 1o ≺ 𝐵))
16	15	ibir 271	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐵 → 1o ≺ ({1o} × 𝐵))
17		unxpdom 9226	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ ({∅} × 𝐴) ∧ 1o ≺ ({1o} × 𝐵)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
18	9, 16, 17	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
19	1, 18	eqbrtrid 5148	. 2 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
20		xpen 9135	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵))
21	6, 13, 20	syl2an 608	. 2 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵))
22		domentr 9016	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ∧ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
23	19, 21, 22	syl2anc 596	1 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∪ cun 3904  ∅c0 4286  {csn 4591   class class class wbr 5111   × cxp 5661  Oncon0 6364  1_oc1o 8452   ≈ cen 8946   ≼ cdom 8947   ≺ csdm 8948   ⊔ cdju 9900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-dju 9903

This theorem is used by:  canthp1lem1  10654