Theorem djuxpdom 10094

Description: Cartesian product dominates disjoint union for sets with cardinality greater than 1. Similar to Proposition 10.36 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djuxpdom	⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Proof of Theorem djuxpdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9811	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		0ex 5250	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
3		relsdom 8888	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≺
4	3	brrelex2i 5679	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
5		xpsnen2g 8996	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
6	2, 4, 5	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
7		sdomen2 9048	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → (1o ≺ ({∅} × 𝐴) ↔ 1o ≺ 𝐴))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (1o ≺ ({∅} × 𝐴) ↔ 1o ≺ 𝐴))
9	8	ibir 268	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 1o ≺ ({∅} × 𝐴))
10		1on 8407	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
11	3	brrelex2i 5679	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≺ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
12		xpsnen2g 8996	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
13	10, 11, 12	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (1o ≺ 𝐵 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
14		sdomen2 9048	. . . . . 6 ⊢ (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵 → (1o ≺ ({1o} × 𝐵) ↔ 1o ≺ 𝐵))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (1o ≺ 𝐵 → (1o ≺ ({1o} × 𝐵) ↔ 1o ≺ 𝐵))
16	15	ibir 268	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐵 → 1o ≺ ({1o} × 𝐵))
17		unxpdom 9157	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ ({∅} × 𝐴) ∧ 1o ≺ ({1o} × 𝐵)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
18	9, 16, 17	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
19	1, 18	eqbrtrid 5131	. 2 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)))
20		xpen 9066	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵))
21	6, 13, 20	syl2an 596	. 2 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵))
22		domentr 8948	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ∧ (({∅} × 𝐴) × ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
23	19, 21, 22	syl2anc 584	1 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∪ cun 3897  ∅c0 4283  {csn 4578   class class class wbr 5096   × cxp 5620  Oncon0 6315  1_oc1o 8388   ≈ cen 8878   ≼ cdom 8879   ≺ csdm 8880   ⊔ cdju 9808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-dju 9811

This theorem is referenced by:  canthp1lem1  10561