Theorem sdomentr 9019

Description: Transitivity of strict dominance and equinumerosity. Exercise 11 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdomentr	⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem sdomentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8896	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		sdomdomtr 9018	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5086   ≈ cen 8861   ≼ cdom 8862   ≺ csdm 8863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867

This theorem is referenced by:  sdomen2  9030  unxpdom2  9139  sucxpdom  9140  fofinf1o  9211  sdomsdomcardi  9859  cardsdomel  9862  cardmin2  9887  alephnbtwn2  9958  pwsdompw  10089  infdif2  10095  fin23lem27  10214  axcclem  10343  numthcor  10380  sdomsdomcard  10446  pwcfsdom  10469  cfpwsdom  10470  inawinalem  10575  inatsk  10664  r1tskina  10668  tskuni  10669  rucALT  16134  iunmbl2  25480  dirith2  27461  erdszelem10  35236  mblfinlem1  37697  pellex  42868  rp-isfinite6  43551  harval3  43571