MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomentr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomentr 8639
Description: Transitivity of strict dominance and equinumerosity. Exercise 11 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdomentr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem sdomentr
StepHypRef Expression
1 endom 8524 . 2 (𝐵𝐶𝐵𝐶)
2 sdomdomtr 8638 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan2 592 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   class class class wbr 5057  cen 8494  cdom 8495  csdm 8496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500
This theorem is referenced by:  sdomen2  8650  unxpdom2  8714  sucxpdom  8715  findcard3  8749  fofinf1o  8787  sdomsdomcardi  9388  cardsdomel  9391  cardmin2  9415  alephnbtwn2  9486  pwsdompw  9614  infdif2  9620  fin23lem27  9738  axcclem  9867  numthcor  9904  sdomsdomcard  9970  pwcfsdom  9993  cfpwsdom  9994  inawinalem  10099  inatsk  10188  r1tskina  10192  tskuni  10193  rucALT  15571  iunmbl2  24085  dirith2  26031  erdszelem10  32344  mblfinlem1  34810  pellex  39310  rp-isfinite6  39762  harval3  39782
  Copyright terms: Public domain W3C validator