MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomentr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomentr 9110
Description: Transitivity of strict dominance and equinumerosity. Exercise 11 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdomentr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem sdomentr
StepHypRef Expression
1 endom 8974 . 2 (𝐵𝐶𝐵𝐶)
2 sdomdomtr 9109 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan2 593 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   class class class wbr 5148  cen 8935  cdom 8936  csdm 8937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941
This theorem is referenced by:  sdomen2  9121  unxpdom2  9253  sucxpdom  9254  findcard3OLD  9285  fofinf1o  9326  sdomsdomcardi  9965  cardsdomel  9968  cardmin2  9993  alephnbtwn2  10066  pwsdompw  10198  infdif2  10204  fin23lem27  10322  axcclem  10451  numthcor  10488  sdomsdomcard  10554  pwcfsdom  10577  cfpwsdom  10578  inawinalem  10683  inatsk  10772  r1tskina  10776  tskuni  10777  rucALT  16172  iunmbl2  25073  dirith2  27028  erdszelem10  34186  mblfinlem1  36520  pellex  41563  rp-isfinite6  42259  harval3  42279
  Copyright terms: Public domain W3C validator