Theorem sdomentr 9150

Description: Transitivity of strict dominance and equinumerosity. Exercise 11 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdomentr	⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem sdomentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 9018	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		sdomdomtr 9149	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5148   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982   ≺ csdm 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987

This theorem is referenced by:  sdomen2  9161  unxpdom2  9288  sucxpdom  9289  findcard3OLD  9317  fofinf1o  9370  sdomsdomcardi  10009  cardsdomel  10012  cardmin2  10037  alephnbtwn2  10110  pwsdompw  10241  infdif2  10247  fin23lem27  10366  axcclem  10495  numthcor  10532  sdomsdomcard  10598  pwcfsdom  10621  cfpwsdom  10622  inawinalem  10727  inatsk  10816  r1tskina  10820  tskuni  10821  rucALT  16263  iunmbl2  25606  dirith2  27587  erdszelem10  35185  mblfinlem1  37644  pellex  42823  rp-isfinite6  43508  harval3  43528