Theorem sdomentr 9039

Description: Transitivity of strict dominance and equinumerosity. Exercise 11 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdomentr	⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem sdomentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8916	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		sdomdomtr 9038	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 599	1 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   class class class wbr 5072   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881   ≺ csdm 8882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886

This theorem is referenced by:  sdomen2  9050  unxpdom2  9160  sucxpdom  9161  fofinf1o  9232  sdomsdomcardi  9886  cardsdomel  9889  cardmin2  9914  alephnbtwn2  9985  pwsdompw  10116  infdif2  10122  fin23lem27  10241  axcclem  10370  numthcor  10407  sdomsdomcard  10473  pwcfsdom  10497  cfpwsdom  10498  inawinalem  10603  inatsk  10692  r1tskina  10696  tskuni  10697  rucALT  16188  iunmbl2  25542  dirith2  27509  erdszelem10  35428  mblfinlem1  38024  pellex  43280  rp-isfinite6  43962  harval3  43982