Theorem sdomne0 43375

Description: A class that strictly dominates any set is not empty. (Suggested by SN, 14-Jan-2025.) (Contributed by RP, 14-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sdomne0	⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8902	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex1i 5687	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
3		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴))
4	3	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
6		0sdomg 9047	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
7		sdomtr 9056	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≺ 𝐵 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
9	6, 8	biimtrrdi 254	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
10	5, 9	pm2.61dne 3011	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
11	2, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
12	1	brrelex2i 5688	. . . . 5 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
13		0sdomg 9047	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
15	14	ibi 267	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
16	11, 15	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅))
17	16	pm2.43i 52	1 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444  ∅c0 4292   class class class wbr 5102   ≺ csdm 8894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898

This theorem is referenced by: (None)