Theorem sdomne0 44254

Description: A class that strictly dominates any set is not empty. (Suggested by SN, 14-Jan-2025.) (Contributed by RP, 14-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sdomne0	⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8960	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex1i 5711	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
3		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴))
4	3	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
6		0sdomg 9105	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
7		sdomtr 9114	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
8	7	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≺ 𝐵 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
9	6, 8	biimtrrdi 257	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
10	5, 9	pm2.61dne 3041	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
11	2, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
12	1	brrelex2i 5712	. . . . 5 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
13		0sdomg 9105	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
15	14	ibi 270	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
16	11, 15	syl6 36	. 2 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅))
17	16	pm2.43i 53	1 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ≺ csdm 8952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956

This theorem is used by: (None)