Theorem sdomne0 44551

Description: A class that strictly dominates any set is not empty. (Suggested by SN, 14-Jan-2025.) (Contributed by RP, 14-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sdomne0	⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8988	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex1i 5707	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
3		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴))
4	3	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
6		0sdomg 9133	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
7		sdomtr 9142	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
8	7	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≺ 𝐵 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
9	6, 8	biimtrrdi 257	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
10	5, 9	pm2.61dne 3041	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
11	2, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
12	1	brrelex2i 5708	. . . . 5 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
13		0sdomg 9133	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
15	14	ibi 270	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
16	11, 15	syl6 36	. 2 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅))
17	16	pm2.43i 53	1 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4277   class class class wbr 5102   ≺ csdm 8980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984

This theorem is used by: (None)