Theorem sdomne0 43402

Description: A class that strictly dominates any set is not empty. (Suggested by SN, 14-Jan-2025.) (Contributed by RP, 14-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sdomne0	⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8925	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex1i 5694	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
3		breq1 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴))
4	3	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
6		0sdomg 9070	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
7		sdomtr 9079	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≺ 𝐵 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
9	6, 8	biimtrrdi 254	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
10	5, 9	pm2.61dne 3011	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
11	2, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
12	1	brrelex2i 5695	. . . . 5 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
13		0sdomg 9070	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
15	14	ibi 267	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
16	11, 15	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅))
17	16	pm2.43i 52	1 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3447  ∅c0 4296   class class class wbr 5107   ≺ csdm 8917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921

This theorem is referenced by: (None)