Theorem sdomne0 42874

Description: A class that strictly dominates any set is not empty. (Suggested by SN, 14-Jan-2025.) (Contributed by RP, 14-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sdomne0	⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8977	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex1i 5738	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
3		breq1 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴))
4	3	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
6		0sdomg 9135	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
7		sdomtr 9146	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
8	7	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≺ 𝐵 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
9	6, 8	syl6bir 253	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
10	5, 9	pm2.61dne 3025	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
11	2, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
12	1	brrelex2i 5739	. . . . 5 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
13		0sdomg 9135	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
15	14	ibi 266	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
16	11, 15	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅))
17	16	pm2.43i 52	1 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  Vcvv 3473  ∅c0 4326   class class class wbr 5152   ≺ csdm 8969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973

This theorem is referenced by: (None)