Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sdomne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomne0 42149
Description: A class that strictly dominates any set is not empty. (Suggested by SN, 14-Jan-2025.) (Contributed by RP, 14-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
sdomne0 (𝐵𝐴𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomne0
StepHypRef Expression
1 relsdom 8942 . . . . 5 Rel ≺
21brrelex1i 5730 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
3 breq1 5150 . . . . . . 7 (𝐵 = ∅ → (𝐵𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴))
43biimpd 228 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
54a1i 11 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐵 = ∅ → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
6 0sdomg 9100 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
7 sdomtr 9111 . . . . . . 7 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
87ex 413 . . . . . 6 (∅ ≺ 𝐵 → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
96, 8syl6bir 253 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
105, 9pm2.61dne 3028 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
112, 10syl 17 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
121brrelex2i 5731 . . . . 5 (∅ ≺ 𝐴𝐴 ∈ V)
13 0sdomg 9100 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1412, 13syl 17 . . . 4 (∅ ≺ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1514ibi 266 . . 3 (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
1611, 15syl6 35 . 2 (𝐵𝐴 → (𝐵𝐴𝐴 ≠ ∅))
1716pm2.43i 52 1 (𝐵𝐴𝐴 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  Vcvv 3474  c0 4321   class class class wbr 5147  csdm 8934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator