Theorem sdomne0d 42150

Description: A class that strictly dominates any set is not empty. (Contributed by RP, 3-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdomne0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≺ 𝐴)
sdomne0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
sdomne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomne0d.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≺ 𝐴)
2		sdomne0d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		breq1 5150	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴))
4	3	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
6		0sdomg 9100	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
7		sdomtr 9111	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
8	7	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≺ 𝐵 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
9	6, 8	syl6bir 253	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
10	5, 9	pm2.61dne 3028	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
11	2, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
12		relsdom 8942	. . . . . 6 ⊢ Rel ≺
13	12	brrelex2i 5731	. . . . 5 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
14		0sdomg 9100	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
16	15	ibi 266	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
17	11, 16	syl6 35	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅))
18	1, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474  ∅c0 4321   class class class wbr 5147   ≺ csdm 8934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938

This theorem is referenced by:  safesnsupfiss  42151  safesnsupfilb  42154