Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sdomne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomne0d 43404
Description: A class that strictly dominates any set is not empty. (Contributed by RP, 3-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sdomne0d.a (𝜑𝐵𝐴)
sdomne0d.b (𝜑𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
sdomne0d (𝜑𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomne0d
StepHypRef Expression
1 sdomne0d.a . 2 (𝜑𝐵𝐴)
2 sdomne0d.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
3 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝐵 = ∅ → (𝐵𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴))
43biimpd 229 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
54a1i 11 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (𝐵 = ∅ → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
6 0sdomg 9143 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
7 sdomtr 9154 . . . . . . 7 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
87ex 412 . . . . . 6 (∅ ≺ 𝐵 → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
96, 8biimtrrdi 254 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
105, 9pm2.61dne 3026 . . . 4 (𝐵𝑉 → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
112, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
12 relsdom 8991 . . . . . 6 Rel ≺
1312brrelex2i 5746 . . . . 5 (∅ ≺ 𝐴𝐴 ∈ V)
14 0sdomg 9143 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1513, 14syl 17 . . . 4 (∅ ≺ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1615ibi 267 . . 3 (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
1711, 16syl6 35 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴𝐴 ≠ ∅))
181, 17mpd 15 1 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  c0 4339   class class class wbr 5148  csdm 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987
This theorem is referenced by:  safesnsupfiss  43405  safesnsupfilb  43408
  Copyright terms: Public domain W3C validator