Theorem sdomne0d 44066

Description: A class that strictly dominates any set is not empty. (Contributed by RP, 3-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdomne0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≺ 𝐴)
sdomne0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
sdomne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomne0d.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≺ 𝐴)
2		sdomne0d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		breq1 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴))
4	3	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
6		0sdomg 9094	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
7		sdomtr 9103	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
8	7	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≺ 𝐵 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
9	6, 8	biimtrrdi 257	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
10	5, 9	pm2.61dne 3050	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
11	2, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
12		relsdom 8950	. . . . . 6 ⊢ Rel ≺
13	12	brrelex2i 5719	. . . . 5 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
14		0sdomg 9094	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
16	15	ibi 270	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
17	11, 16	syl6 36	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅))
18	1, 17	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463  ∅c0 4294   class class class wbr 5113   ≺ csdm 8942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946

This theorem is referenced by:  safesnsupfiss  44067  safesnsupfilb  44070