Theorem sdomne0d 43991

Description: A class that strictly dominates any set is not empty. (Contributed by RP, 3-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdomne0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≺ 𝐴)
sdomne0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
sdomne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomne0d.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≺ 𝐴)
2		sdomne0d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		breq1 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴))
4	3	biimpd 231	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
6		0sdomg 9079	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
7		sdomtr 9088	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
8	7	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≺ 𝐵 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
9	6, 8	biimtrrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
10	5, 9	pm2.61dne 3044	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
11	2, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
12		relsdom 8935	. . . . . 6 ⊢ Rel ≺
13	12	brrelex2i 5705	. . . . 5 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
14		0sdomg 9079	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
16	15	ibi 269	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
17	11, 16	syl6 35	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅))
18	1, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  ∅c0 4286   class class class wbr 5101   ≺ csdm 8927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931

This theorem is referenced by:  safesnsupfiss  43992  safesnsupfilb  43995