Theorem sdomne0d 42741

Description: A class that strictly dominates any set is not empty. (Contributed by RP, 3-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdomne0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≺ 𝐴)
sdomne0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
sdomne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomne0d.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≺ 𝐴)
2		sdomne0d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		breq1 5144	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴))
4	3	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
6		0sdomg 9106	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
7		sdomtr 9117	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≺ 𝐵 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
9	6, 8	syl6bir 254	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
10	5, 9	pm2.61dne 3022	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
11	2, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
12		relsdom 8948	. . . . . 6 ⊢ Rel ≺
13	12	brrelex2i 5726	. . . . 5 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
14		0sdomg 9106	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
16	15	ibi 267	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
17	11, 16	syl6 35	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅))
18	1, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  Vcvv 3468  ∅c0 4317   class class class wbr 5141   ≺ csdm 8940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944

This theorem is referenced by:  safesnsupfiss  42742  safesnsupfilb  42745