Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sdomne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomne0d 43427
Description: A class that strictly dominates any set is not empty. (Contributed by RP, 3-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sdomne0d.a (𝜑𝐵𝐴)
sdomne0d.b (𝜑𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
sdomne0d (𝜑𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomne0d
StepHypRef Expression
1 sdomne0d.a . 2 (𝜑𝐵𝐴)
2 sdomne0d.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
3 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝐵 = ∅ → (𝐵𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴))
43biimpd 229 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
54a1i 11 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (𝐵 = ∅ → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
6 0sdomg 9144 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
7 sdomtr 9155 . . . . . . 7 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
87ex 412 . . . . . 6 (∅ ≺ 𝐵 → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
96, 8biimtrrdi 254 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
105, 9pm2.61dne 3028 . . . 4 (𝐵𝑉 → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
112, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
12 relsdom 8992 . . . . . 6 Rel ≺
1312brrelex2i 5742 . . . . 5 (∅ ≺ 𝐴𝐴 ∈ V)
14 0sdomg 9144 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1513, 14syl 17 . . . 4 (∅ ≺ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1615ibi 267 . . 3 (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
1711, 16syl6 35 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴𝐴 ≠ ∅))
181, 17mpd 15 1 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  c0 4333   class class class wbr 5143  csdm 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988
This theorem is referenced by:  safesnsupfiss  43428  safesnsupfilb  43431
  Copyright terms: Public domain W3C validator