Theorem sdomne0d 43427

Description: A class that strictly dominates any set is not empty. (Contributed by RP, 3-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdomne0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≺ 𝐴)
sdomne0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
sdomne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomne0d.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≺ 𝐴)
2		sdomne0d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		breq1 5146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴))
4	3	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
6		0sdomg 9144	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
7		sdomtr 9155	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≺ 𝐵 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
9	6, 8	biimtrrdi 254	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)))
10	5, 9	pm2.61dne 3028	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
11	2, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≺ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
12		relsdom 8992	. . . . . 6 ⊢ Rel ≺
13	12	brrelex2i 5742	. . . . 5 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
14		0sdomg 9144	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
16	15	ibi 267	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
17	11, 16	syl6 35	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅))
18	1, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480  ∅c0 4333   class class class wbr 5143   ≺ csdm 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988

This theorem is referenced by:  safesnsupfiss  43428  safesnsupfilb  43431