Theorem safesnsupfiss 43842

Description: If 𝐵 is a finite subset of ordered class 𝐴, we can safely create a small subset with the same largest element and upper bound, if any. (Contributed by RP, 1-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
safesnsupfiss.small	⊢ (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
safesnsupfiss.finite	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
safesnsupfiss.subset	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
safesnsupfiss.ordered	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
safesnsupfiss	⊢ (𝜑 → if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem safesnsupfiss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elif 4511	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ↔ ((𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) ∨ (¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
2		elsni 4585	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)} → 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
3		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
4		safesnsupfiss.ordered	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝑅 Or 𝐴)
6		safesnsupfiss.finite	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
8		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝑂 ≺ 𝐵)
9		safesnsupfiss.small	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
10		0elon 6379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∅ ∈ On
11		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑂 = ∅ → (𝑂 ∈ On ↔ ∅ ∈ On))
12	10, 11	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑂 = ∅ → 𝑂 ∈ On)
13		1on 8417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1o ∈ On
14		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑂 = 1o → (𝑂 ∈ On ↔ 1o ∈ On))
15	13, 14	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑂 = 1o → 𝑂 ∈ On)
16	12, 15	jaoi 858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o) → 𝑂 ∈ On)
17	9, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ On)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝑂 ∈ On)
19	8, 18	sdomne0d 43841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
20		safesnsupfiss.subset	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
22		fisupcl 9383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
23	5, 7, 19, 21, 22	syl13anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
25	3, 24	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26	25	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → (𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝐵))
27	2, 26	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → (𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)} → 𝑥 ∈ 𝐵))
28	27	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) → 𝑥 ∈ 𝐵))
29		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
31	28, 30	jaod 860	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) ∨ (¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵))
32	1, 31	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
33	32	ssrdv 3928	1 ⊢ (𝜑 → if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ⊆ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ifcif 4467  {csn 4568   class class class wbr 5086   Or wor 5538  Oncon0 6324  1_oc1o 8398   ≺ csdm 8892  Fincfn 8893  supcsup 9353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-om 7818  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355

This theorem is referenced by:  safesnsupfiub  43843