| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | elif 4569 | . . 3
⊢ (𝑥 ∈ if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ↔ ((𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) ∨ (¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))) | 
| 2 |  | elsni 4643 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)} → 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) | 
| 3 |  | simpr 484 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) | 
| 4 |  | safesnsupfiss.ordered | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴) | 
| 5 | 4 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝑅 Or 𝐴) | 
| 6 |  | safesnsupfiss.finite | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin) | 
| 7 | 6 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin) | 
| 8 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝑂 ≺ 𝐵) | 
| 9 |  | safesnsupfiss.small | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o)) | 
| 10 |  | 0elon 6438 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ∅
∈ On | 
| 11 |  | eleq1 2829 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑂 = ∅ → (𝑂 ∈ On ↔ ∅ ∈
On)) | 
| 12 | 10, 11 | mpbiri 258 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑂 = ∅ → 𝑂 ∈ On) | 
| 13 |  | 1on 8518 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
1o ∈ On | 
| 14 |  | eleq1 2829 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑂 = 1o → (𝑂 ∈ On ↔ 1o
∈ On)) | 
| 15 | 13, 14 | mpbiri 258 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑂 = 1o → 𝑂 ∈ On) | 
| 16 | 12, 15 | jaoi 858 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o) → 𝑂 ∈ On) | 
| 17 | 9, 16 | syl 17 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ On) | 
| 18 | 17 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝑂 ∈ On) | 
| 19 | 8, 18 | sdomne0d 43427 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅) | 
| 20 |  | safesnsupfiss.subset | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴) | 
| 21 | 20 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴) | 
| 22 |  | fisupcl 9509 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵) | 
| 23 | 5, 7, 19, 21, 22 | syl13anc 1374 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵) | 
| 24 | 23 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵) | 
| 25 | 3, 24 | eqeltrd 2841 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐵) | 
| 26 | 25 | ex 412 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → (𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝐵)) | 
| 27 | 2, 26 | syl5 34 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → (𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)} → 𝑥 ∈ 𝐵)) | 
| 28 | 27 | expimpd 453 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) → 𝑥 ∈ 𝐵)) | 
| 29 |  | simpr 484 | . . . . 5
⊢ ((¬
𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵) | 
| 30 | 29 | a1i 11 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ((¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)) | 
| 31 | 28, 30 | jaod 860 | . . 3
⊢ (𝜑 → (((𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) ∨ (¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)) | 
| 32 | 1, 31 | biimtrid 242 | . 2
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)) | 
| 33 | 32 | ssrdv 3989 | 1
⊢ (𝜑 → if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ⊆ 𝐵) |