Theorem safesnsupfiss 43522

Description: If 𝐵 is a finite subset of ordered class 𝐴, we can safely create a small subset with the same largest element and upper bound, if any. (Contributed by RP, 1-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
safesnsupfiss.small	⊢ (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
safesnsupfiss.finite	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
safesnsupfiss.subset	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
safesnsupfiss.ordered	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
safesnsupfiss	⊢ (𝜑 → if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem safesnsupfiss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elif 4520	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ↔ ((𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) ∨ (¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
2		elsni 4594	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)} → 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
3		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
4		safesnsupfiss.ordered	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝑅 Or 𝐴)
6		safesnsupfiss.finite	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
8		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝑂 ≺ 𝐵)
9		safesnsupfiss.small	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
10		0elon 6369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∅ ∈ On
11		eleq1 2821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑂 = ∅ → (𝑂 ∈ On ↔ ∅ ∈ On))
12	10, 11	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑂 = ∅ → 𝑂 ∈ On)
13		1on 8406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1o ∈ On
14		eleq1 2821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑂 = 1o → (𝑂 ∈ On ↔ 1o ∈ On))
15	13, 14	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑂 = 1o → 𝑂 ∈ On)
16	12, 15	jaoi 857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o) → 𝑂 ∈ On)
17	9, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ On)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝑂 ∈ On)
19	8, 18	sdomne0d 43521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
20		safesnsupfiss.subset	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
22		fisupcl 9364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
23	5, 7, 19, 21, 22	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
25	3, 24	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26	25	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → (𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝐵))
27	2, 26	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → (𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)} → 𝑥 ∈ 𝐵))
28	27	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) → 𝑥 ∈ 𝐵))
29		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
31	28, 30	jaod 859	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) ∨ (¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵))
32	1, 31	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
33	32	ssrdv 3937	1 ⊢ (𝜑 → if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ⊆ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ⊆ wss 3899  ∅c0 4284  ifcif 4476  {csn 4577   class class class wbr 5095   Or wor 5528  Oncon0 6314  1_oc1o 8387   ≺ csdm 8877  Fincfn 8878  supcsup 9334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-om 7806  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-sup 9336

This theorem is referenced by:  safesnsupfiub  43523