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Theorem safesnsupfiss 43405
Description: If 𝐵 is a finite subset of ordered class 𝐴, we can safely create a small subset with the same largest element and upper bound, if any. (Contributed by RP, 1-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
safesnsupfiss.small (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
safesnsupfiss.finite (𝜑𝐵 ∈ Fin)
safesnsupfiss.subset (𝜑𝐵𝐴)
safesnsupfiss.ordered (𝜑𝑅 Or 𝐴)
Assertion
Ref Expression
safesnsupfiss (𝜑 → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem safesnsupfiss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elif 4574 . . 3 (𝑥 ∈ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ↔ ((𝑂𝐵𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) ∨ (¬ 𝑂𝐵𝑥𝐵)))
2 elsni 4648 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)} → 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
3 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
4 safesnsupfiss.ordered . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
54adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝑅 Or 𝐴)
6 safesnsupfiss.finite . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
8 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝑂𝐵)
9 safesnsupfiss.small . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
10 0elon 6440 . . . . . . . . . . . . . . 15 ∅ ∈ On
11 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑂 = ∅ → (𝑂 ∈ On ↔ ∅ ∈ On))
1210, 11mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 = ∅ → 𝑂 ∈ On)
13 1on 8517 . . . . . . . . . . . . . . 15 1o ∈ On
14 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑂 = 1o → (𝑂 ∈ On ↔ 1o ∈ On))
1513, 14mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 = 1o𝑂 ∈ On)
1612, 15jaoi 857 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o) → 𝑂 ∈ On)
179, 16syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑂 ∈ On)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝑂 ∈ On)
198, 18sdomne0d 43404 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
20 safesnsupfiss.subset . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝐴)
2120adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝐵𝐴)
22 fisupcl 9507 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
235, 7, 19, 21, 22syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑂𝐵) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
2423adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
253, 24eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥𝐵)
2625ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑂𝐵) → (𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝐵))
272, 26syl5 34 . . . . 5 ((𝜑𝑂𝐵) → (𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)} → 𝑥𝐵))
2827expimpd 453 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝐵𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) → 𝑥𝐵))
29 simpr 484 . . . . 5 ((¬ 𝑂𝐵𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((¬ 𝑂𝐵𝑥𝐵) → 𝑥𝐵))
3128, 30jaod 859 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝐵𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) ∨ (¬ 𝑂𝐵𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵))
321, 31biimtrid 242 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → 𝑥𝐵))
3332ssrdv 4001 1 (𝜑 → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ⊆ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148   Or wor 5596  Oncon0 6386  1oc1o 8498  csdm 8983  Fincfn 8984  supcsup 9478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-om 7888  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480
This theorem is referenced by:  safesnsupfiub  43406
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