Theorem safesnsupfiss 43428

Description: If 𝐵 is a finite subset of ordered class 𝐴, we can safely create a small subset with the same largest element and upper bound, if any. (Contributed by RP, 1-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
safesnsupfiss.small	⊢ (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
safesnsupfiss.finite	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
safesnsupfiss.subset	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
safesnsupfiss.ordered	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
safesnsupfiss	⊢ (𝜑 → if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem safesnsupfiss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elif 4569	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ↔ ((𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) ∨ (¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
2		elsni 4643	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)} → 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
3		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
4		safesnsupfiss.ordered	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝑅 Or 𝐴)
6		safesnsupfiss.finite	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
8		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝑂 ≺ 𝐵)
9		safesnsupfiss.small	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
10		0elon 6438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∅ ∈ On
11		eleq1 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑂 = ∅ → (𝑂 ∈ On ↔ ∅ ∈ On))
12	10, 11	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑂 = ∅ → 𝑂 ∈ On)
13		1on 8518	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1o ∈ On
14		eleq1 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑂 = 1o → (𝑂 ∈ On ↔ 1o ∈ On))
15	13, 14	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑂 = 1o → 𝑂 ∈ On)
16	12, 15	jaoi 858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o) → 𝑂 ∈ On)
17	9, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ On)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝑂 ∈ On)
19	8, 18	sdomne0d 43427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
20		safesnsupfiss.subset	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
22		fisupcl 9509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
23	5, 7, 19, 21, 22	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
25	3, 24	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26	25	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → (𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝐵))
27	2, 26	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → (𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)} → 𝑥 ∈ 𝐵))
28	27	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) → 𝑥 ∈ 𝐵))
29		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
31	28, 30	jaod 860	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) ∨ (¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵))
32	1, 31	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
33	32	ssrdv 3989	1 ⊢ (𝜑 → if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ⊆ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143   Or wor 5591  Oncon0 6384  1_oc1o 8499   ≺ csdm 8984  Fincfn 8985  supcsup 9480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-om 7888  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482

This theorem is referenced by:  safesnsupfiub  43429