Theorem safesnsupfiss 44111

Description: If 𝐵 is a finite subset of ordered class 𝐴, we can safely create a small subset with the same largest element and upper bound, if any. (Contributed by RP, 1-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
safesnsupfiss.small	⊢ (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
safesnsupfiss.finite	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
safesnsupfiss.subset	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
safesnsupfiss.ordered	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
safesnsupfiss	⊢ (𝜑 → if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem safesnsupfiss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elif 4530	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ↔ ((𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) ∨ (¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
2		elsni 4605	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)} → 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
3		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
4		safesnsupfiss.ordered	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
5	4	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝑅 Or 𝐴)
6		safesnsupfiss.finite	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
7	6	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
8		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝑂 ≺ 𝐵)
9		safesnsupfiss.small	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
10		0elon 6416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∅ ∈ On
11		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑂 = ∅ → (𝑂 ∈ On ↔ ∅ ∈ On))
12	10, 11	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑂 = ∅ → 𝑂 ∈ On)
13		1on 8465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1o ∈ On
14		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑂 = 1o → (𝑂 ∈ On ↔ 1o ∈ On))
15	13, 14	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑂 = 1o → 𝑂 ∈ On)
16	12, 15	jaoi 870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o) → 𝑂 ∈ On)
17	9, 16	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ On)
18	17	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝑂 ∈ On)
19	8, 18	sdomne0d 44110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
20		safesnsupfiss.subset	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
21	20	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
22		fisupcl 9429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
23	5, 7, 19, 21, 22	syl13anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
24	23	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
25	3, 24	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) ∧ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26	25	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → (𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝐵))
27	2, 26	syl5 35	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ≺ 𝐵) → (𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)} → 𝑥 ∈ 𝐵))
28	27	expimpd 458	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) → 𝑥 ∈ 𝐵))
29		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
31	28, 30	jaod 872	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}) ∨ (¬ 𝑂 ≺ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵))
32	1, 31	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
33	32	ssrdv 3942	1 ⊢ (𝜑 → if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ⊆ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ifcif 4486  {csn 4588   class class class wbr 5108   Or wor 5568  Oncon0 6360  1_oc1o 8445   ≺ csdm 8941  Fincfn 8942  supcsup 9399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-om 7862  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401

This theorem is referenced by:  safesnsupfiub  44112