Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  safesnsupfilb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem safesnsupfilb 42635
Description: If 𝐵 is a finite subset of ordered class 𝐴, we can safely create a small subset with the same largest element and upper bound, if any. (Contributed by RP, 3-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
safesnsupfilb.small (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
safesnsupfilb.finite (𝜑𝐵 ∈ Fin)
safesnsupfilb.subset (𝜑𝐵𝐴)
safesnsupfilb.ordered (𝜑𝑅 Or 𝐴)
Assertion
Ref Expression
safesnsupfilb (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem safesnsupfilb
StepHypRef Expression
1 safesnsupfilb.ordered . . . . . . 7 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
21ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑅 Or 𝐴)
3 safesnsupfilb.subset . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
43ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵𝐴)
5 safesnsupfilb.finite . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
65ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
7 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
8 eqidd 2732 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
92, 4, 6, 7, 8supgtoreq 9471 . . . . 5 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
10 df-or 845 . . . . . 6 ((𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
11 orcom 867 . . . . . 6 ((𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ (𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
12 df-ne 2940 . . . . . . 7 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ¬ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
1312imbi1i 349 . . . . . 6 ((𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
1410, 11, 133bitr4i 303 . . . . 5 ((𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
159, 14sylib 217 . . . 4 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
1615ralrimiva 3145 . . 3 ((𝜑𝑂𝐵) → ∀𝑥𝐵 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
17 iftrue 4534 . . . . . . 7 (𝑂𝐵 → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) = {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})
1817difeq2d 4122 . . . . . 6 (𝑂𝐵 → (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)) = (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}))
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑂𝐵) → (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)) = (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}))
2019raleqdv 3324 . . . 4 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦))
21 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝑂𝐵)
2221iftrued 4536 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑂𝐵) → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) = {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})
2322raleqdv 3324 . . . . . . 7 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}𝑥𝑅𝑦))
245adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
25 safesnsupfilb.small . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑂𝐵) → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
27 0elon 6418 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ On
28 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 = ∅ → (𝑂 ∈ On ↔ ∅ ∈ On))
2927, 28mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂 = ∅ → 𝑂 ∈ On)
30 1on 8484 . . . . . . . . . . . . . 14 1o ∈ On
31 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 = 1o → (𝑂 ∈ On ↔ 1o ∈ On))
3230, 31mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂 = 1o𝑂 ∈ On)
3329, 32jaoi 854 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o) → 𝑂 ∈ On)
3426, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝑂 ∈ On)
3521, 34sdomne0d 42631 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
363adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝐵𝐴)
3724, 35, 363jca 1127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑂𝐵) → (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴))
38 fisupcl 9470 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
391, 37, 38syl2an2r 682 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑂𝐵) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
40 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑦 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
4140ralsng 4677 . . . . . . . 8 (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
4239, 41syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑦 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
4323, 42bitrd 279 . . . . . 6 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
4443ralbidv 3176 . . . . 5 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
45 raldifsnb 4799 . . . . 5 (∀𝑥𝐵 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
4644, 45bitr4di 289 . . . 4 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))))
4720, 46bitrd 279 . . 3 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))))
4816, 47mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑂𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦)
49 ral0 4512 . . 3 𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦
50 iffalse 4537 . . . . . . 7 𝑂𝐵 → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) = 𝐵)
5150adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) = 𝐵)
5251difeq2d 4122 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)) = (𝐵𝐵))
53 difid 4370 . . . . 5 (𝐵𝐵) = ∅
5452, 53eqtrdi 2787 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)) = ∅)
5554raleqdv 3324 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦))
5649, 55mpbiri 258 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦)
5748, 56pm2.61dan 810 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  cdif 3945  wss 3948  c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   Or wor 5587  Oncon0 6364  1oc1o 8465  csdm 8944  Fincfn 8945  supcsup 9441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-om 7860  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator