Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  safesnsupfilb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem safesnsupfilb 42771
Description: If 𝐵 is a finite subset of ordered class 𝐴, we can safely create a small subset with the same largest element and upper bound, if any. (Contributed by RP, 3-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
safesnsupfilb.small (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
safesnsupfilb.finite (𝜑𝐵 ∈ Fin)
safesnsupfilb.subset (𝜑𝐵𝐴)
safesnsupfilb.ordered (𝜑𝑅 Or 𝐴)
Assertion
Ref Expression
safesnsupfilb (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem safesnsupfilb
StepHypRef Expression
1 safesnsupfilb.ordered . . . . . . 7 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
21ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑅 Or 𝐴)
3 safesnsupfilb.subset . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
43ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵𝐴)
5 safesnsupfilb.finite . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
65ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
7 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
8 eqidd 2728 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
92, 4, 6, 7, 8supgtoreq 9485 . . . . 5 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
10 df-or 847 . . . . . 6 ((𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
11 orcom 869 . . . . . 6 ((𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ (𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
12 df-ne 2936 . . . . . . 7 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ¬ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
1312imbi1i 349 . . . . . 6 ((𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
1410, 11, 133bitr4i 303 . . . . 5 ((𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
159, 14sylib 217 . . . 4 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
1615ralrimiva 3141 . . 3 ((𝜑𝑂𝐵) → ∀𝑥𝐵 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
17 iftrue 4530 . . . . . . 7 (𝑂𝐵 → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) = {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})
1817difeq2d 4118 . . . . . 6 (𝑂𝐵 → (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)) = (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}))
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑂𝐵) → (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)) = (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}))
2019raleqdv 3320 . . . 4 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦))
21 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝑂𝐵)
2221iftrued 4532 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑂𝐵) → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) = {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})
2322raleqdv 3320 . . . . . . 7 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}𝑥𝑅𝑦))
245adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
25 safesnsupfilb.small . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑂𝐵) → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
27 0elon 6417 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ On
28 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 = ∅ → (𝑂 ∈ On ↔ ∅ ∈ On))
2927, 28mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂 = ∅ → 𝑂 ∈ On)
30 1on 8492 . . . . . . . . . . . . . 14 1o ∈ On
31 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 = 1o → (𝑂 ∈ On ↔ 1o ∈ On))
3230, 31mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂 = 1o𝑂 ∈ On)
3329, 32jaoi 856 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o) → 𝑂 ∈ On)
3426, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝑂 ∈ On)
3521, 34sdomne0d 42767 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
363adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝐵𝐴)
3724, 35, 363jca 1126 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑂𝐵) → (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴))
38 fisupcl 9484 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
391, 37, 38syl2an2r 684 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑂𝐵) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
40 breq2 5146 . . . . . . . . 9 (𝑦 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
4140ralsng 4673 . . . . . . . 8 (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
4239, 41syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑦 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
4323, 42bitrd 279 . . . . . 6 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
4443ralbidv 3172 . . . . 5 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
45 raldifsnb 4795 . . . . 5 (∀𝑥𝐵 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
4644, 45bitr4di 289 . . . 4 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))))
4720, 46bitrd 279 . . 3 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))))
4816, 47mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑂𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦)
49 ral0 4508 . . 3 𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦
50 iffalse 4533 . . . . . . 7 𝑂𝐵 → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) = 𝐵)
5150adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) = 𝐵)
5251difeq2d 4118 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)) = (𝐵𝐵))
53 difid 4366 . . . . 5 (𝐵𝐵) = ∅
5452, 53eqtrdi 2783 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)) = ∅)
5554raleqdv 3320 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦))
5649, 55mpbiri 258 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦)
5748, 56pm2.61dan 812 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  wral 3056  cdif 3941  wss 3944  c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5142   Or wor 5583  Oncon0 6363  1oc1o 8473  csdm 8954  Fincfn 8955  supcsup 9455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-om 7865  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator