Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  safesnsupfilb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem safesnsupfilb 43408
Description: If 𝐵 is a finite subset of ordered class 𝐴, we can safely create a small subset with the same largest element and upper bound, if any. (Contributed by RP, 3-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
safesnsupfilb.small (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
safesnsupfilb.finite (𝜑𝐵 ∈ Fin)
safesnsupfilb.subset (𝜑𝐵𝐴)
safesnsupfilb.ordered (𝜑𝑅 Or 𝐴)
Assertion
Ref Expression
safesnsupfilb (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem safesnsupfilb
StepHypRef Expression
1 safesnsupfilb.ordered . . . . . . 7 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
21ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑅 Or 𝐴)
3 safesnsupfilb.subset . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
43ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵𝐴)
5 safesnsupfilb.finite . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
65ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
7 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
8 eqidd 2736 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
92, 4, 6, 7, 8supgtoreq 9508 . . . . 5 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
10 df-or 848 . . . . . 6 ((𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
11 orcom 870 . . . . . 6 ((𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ (𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
12 df-ne 2939 . . . . . . 7 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ¬ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
1312imbi1i 349 . . . . . 6 ((𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
1410, 11, 133bitr4i 303 . . . . 5 ((𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
159, 14sylib 218 . . . 4 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
1615ralrimiva 3144 . . 3 ((𝜑𝑂𝐵) → ∀𝑥𝐵 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
17 iftrue 4537 . . . . . . 7 (𝑂𝐵 → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) = {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})
1817difeq2d 4136 . . . . . 6 (𝑂𝐵 → (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)) = (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}))
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑂𝐵) → (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)) = (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}))
2019raleqdv 3324 . . . 4 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦))
21 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝑂𝐵)
2221iftrued 4539 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑂𝐵) → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) = {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})
2322raleqdv 3324 . . . . . . 7 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}𝑥𝑅𝑦))
245adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
25 safesnsupfilb.small . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑂𝐵) → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
27 0elon 6440 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ On
28 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 = ∅ → (𝑂 ∈ On ↔ ∅ ∈ On))
2927, 28mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂 = ∅ → 𝑂 ∈ On)
30 1on 8517 . . . . . . . . . . . . . 14 1o ∈ On
31 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 = 1o → (𝑂 ∈ On ↔ 1o ∈ On))
3230, 31mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂 = 1o𝑂 ∈ On)
3329, 32jaoi 857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o) → 𝑂 ∈ On)
3426, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝑂 ∈ On)
3521, 34sdomne0d 43404 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
363adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝐵𝐴)
3724, 35, 363jca 1127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑂𝐵) → (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴))
38 fisupcl 9507 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
391, 37, 38syl2an2r 685 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑂𝐵) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
40 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑦 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
4140ralsng 4680 . . . . . . . 8 (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
4239, 41syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑦 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
4323, 42bitrd 279 . . . . . 6 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
4443ralbidv 3176 . . . . 5 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
45 raldifsnb 4801 . . . . 5 (∀𝑥𝐵 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
4644, 45bitr4di 289 . . . 4 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))))
4720, 46bitrd 279 . . 3 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))))
4816, 47mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑂𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦)
49 ral0 4519 . . 3 𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦
50 iffalse 4540 . . . . . . 7 𝑂𝐵 → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) = 𝐵)
5150adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) = 𝐵)
5251difeq2d 4136 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)) = (𝐵𝐵))
53 difid 4382 . . . . 5 (𝐵𝐵) = ∅
5452, 53eqtrdi 2791 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)) = ∅)
5554raleqdv 3324 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦))
5649, 55mpbiri 258 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦)
5748, 56pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  cdif 3960  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148   Or wor 5596  Oncon0 6386  1oc1o 8498  csdm 8983  Fincfn 8984  supcsup 9478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-om 7888  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator