Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  safesnsupfilb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem safesnsupfilb 43431
Description: If 𝐵 is a finite subset of ordered class 𝐴, we can safely create a small subset with the same largest element and upper bound, if any. (Contributed by RP, 3-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
safesnsupfilb.small (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
safesnsupfilb.finite (𝜑𝐵 ∈ Fin)
safesnsupfilb.subset (𝜑𝐵𝐴)
safesnsupfilb.ordered (𝜑𝑅 Or 𝐴)
Assertion
Ref Expression
safesnsupfilb (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem safesnsupfilb
StepHypRef Expression
1 safesnsupfilb.ordered . . . . . . 7 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
21ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑅 Or 𝐴)
3 safesnsupfilb.subset . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
43ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵𝐴)
5 safesnsupfilb.finite . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
65ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
7 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
8 eqidd 2738 . . . . . 6 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
92, 4, 6, 7, 8supgtoreq 9510 . . . . 5 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
10 df-or 849 . . . . . 6 ((𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
11 orcom 871 . . . . . 6 ((𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ (𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
12 df-ne 2941 . . . . . . 7 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ¬ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
1312imbi1i 349 . . . . . 6 ((𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
1410, 11, 133bitr4i 303 . . . . 5 ((𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
159, 14sylib 218 . . . 4 (((𝜑𝑂𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
1615ralrimiva 3146 . . 3 ((𝜑𝑂𝐵) → ∀𝑥𝐵 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
17 iftrue 4531 . . . . . . 7 (𝑂𝐵 → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) = {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})
1817difeq2d 4126 . . . . . 6 (𝑂𝐵 → (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)) = (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}))
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑂𝐵) → (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)) = (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}))
2019raleqdv 3326 . . . 4 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦))
21 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝑂𝐵)
2221iftrued 4533 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑂𝐵) → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) = {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})
2322raleqdv 3326 . . . . . . 7 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}𝑥𝑅𝑦))
245adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
25 safesnsupfilb.small . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑂𝐵) → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
27 0elon 6438 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ On
28 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 = ∅ → (𝑂 ∈ On ↔ ∅ ∈ On))
2927, 28mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂 = ∅ → 𝑂 ∈ On)
30 1on 8518 . . . . . . . . . . . . . 14 1o ∈ On
31 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 = 1o → (𝑂 ∈ On ↔ 1o ∈ On))
3230, 31mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂 = 1o𝑂 ∈ On)
3329, 32jaoi 858 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o) → 𝑂 ∈ On)
3426, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝑂 ∈ On)
3521, 34sdomne0d 43427 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
363adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑂𝐵) → 𝐵𝐴)
3724, 35, 363jca 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑂𝐵) → (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴))
38 fisupcl 9509 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
391, 37, 38syl2an2r 685 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑂𝐵) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
40 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (𝑦 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
4140ralsng 4675 . . . . . . . 8 (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
4239, 41syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑦 ∈ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
4323, 42bitrd 279 . . . . . 6 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
4443ralbidv 3178 . . . . 5 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
45 raldifsnb 4796 . . . . 5 (∀𝑥𝐵 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
4644, 45bitr4di 289 . . . 4 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)})∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))))
4720, 46bitrd 279 . . 3 ((𝜑𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑥 ≠ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))))
4816, 47mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑂𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦)
49 ral0 4513 . . 3 𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦
50 iffalse 4534 . . . . . . 7 𝑂𝐵 → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) = 𝐵)
5150adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) = 𝐵)
5251difeq2d 4126 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)) = (𝐵𝐵))
53 difid 4376 . . . . 5 (𝐵𝐵) = ∅
5452, 53eqtrdi 2793 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)) = ∅)
5554raleqdv 3326 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦))
5649, 55mpbiri 258 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑂𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦)
5748, 56pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵))∀𝑦 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)𝑥𝑅𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  cdif 3948  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143   Or wor 5591  Oncon0 6384  1oc1o 8499  csdm 8984  Fincfn 8985  supcsup 9480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-om 7888  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator