Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexpen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexpen 15634
 Description: The real numbers are equinumerous to their own Cartesian product, even though it is not necessarily true that ℝ is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 9482 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexpen (ℝ × ℝ) ≈ ℝ

Proof of Theorem rexpen
StepHypRef Expression
1 rpnnen 15633 . . . . . 6 ℝ ≈ 𝒫 ℕ
2 nnenom 13402 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
3 pwen 8717 . . . . . . 7 (ℕ ≈ ω → 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω)
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω
51, 4entri 8586 . . . . 5 ℝ ≈ 𝒫 ω
6 omex 9144 . . . . . 6 ω ∈ V
76pw2en 8650 . . . . 5 𝒫 ω ≈ (2om ω)
85, 7entri 8586 . . . 4 ℝ ≈ (2om ω)
9 xpen 8707 . . . 4 ((ℝ ≈ (2om ω) ∧ ℝ ≈ (2om ω)) → (ℝ × ℝ) ≈ ((2om ω) × (2om ω)))
108, 8, 9mp2an 691 . . 3 (ℝ × ℝ) ≈ ((2om ω) × (2om ω))
11 2onn 8281 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
1211elexi 3429 . . . . . . 7 2o ∈ V
1312, 12, 6xpmapen 8712 . . . . . 6 ((2o × 2o) ↑m ω) ≈ ((2om ω) × (2om ω))
1413ensymi 8582 . . . . 5 ((2om ω) × (2om ω)) ≈ ((2o × 2o) ↑m ω)
15 ssid 3916 . . . . . . . . . . . . 13 2o ⊆ 2o
16 ssnnfi 8744 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o ∈ ω ∧ 2o ⊆ 2o) → 2o ∈ Fin)
1711, 15, 16mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 2o ∈ Fin
18 xpfi 8827 . . . . . . . . . . . 12 ((2o ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → (2o × 2o) ∈ Fin)
1917, 17, 18mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (2o × 2o) ∈ Fin
20 isfinite 9153 . . . . . . . . . . 11 ((2o × 2o) ∈ Fin ↔ (2o × 2o) ≺ ω)
2119, 20mpbi 233 . . . . . . . . . 10 (2o × 2o) ≺ ω
226canth2 8697 . . . . . . . . . 10 ω ≺ 𝒫 ω
23 sdomtr 8682 . . . . . . . . . 10 (((2o × 2o) ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → (2o × 2o) ≺ 𝒫 ω)
2421, 22, 23mp2an 691 . . . . . . . . 9 (2o × 2o) ≺ 𝒫 ω
25 sdomdom 8560 . . . . . . . . 9 ((2o × 2o) ≺ 𝒫 ω → (2o × 2o) ≼ 𝒫 ω)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2o × 2o) ≼ 𝒫 ω
27 domentr 8591 . . . . . . . 8 (((2o × 2o) ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2om ω)) → (2o × 2o) ≼ (2om ω))
2826, 7, 27mp2an 691 . . . . . . 7 (2o × 2o) ≼ (2om ω)
29 mapdom1 8709 . . . . . . 7 ((2o × 2o) ≼ (2om ω) → ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2om ω) ↑m ω))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6 ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2om ω) ↑m ω)
31 mapxpen 8710 . . . . . . . 8 ((2o ∈ ω ∧ ω ∈ V ∧ ω ∈ V) → ((2om ω) ↑m ω) ≈ (2om (ω × ω)))
3211, 6, 6, 31mp3an 1458 . . . . . . 7 ((2om ω) ↑m ω) ≈ (2om (ω × ω))
3312enref 8565 . . . . . . . 8 2o ≈ 2o
34 xpomen 9480 . . . . . . . 8 (ω × ω) ≈ ω
35 mapen 8708 . . . . . . . 8 ((2o ≈ 2o ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (2om (ω × ω)) ≈ (2om ω))
3633, 34, 35mp2an 691 . . . . . . 7 (2om (ω × ω)) ≈ (2om ω)
3732, 36entri 8586 . . . . . 6 ((2om ω) ↑m ω) ≈ (2om ω)
38 domentr 8591 . . . . . 6 ((((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2om ω) ↑m ω) ∧ ((2om ω) ↑m ω) ≈ (2om ω)) → ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2om ω))
3930, 37, 38mp2an 691 . . . . 5 ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2om ω)
40 endomtr 8590 . . . . 5 ((((2om ω) × (2om ω)) ≈ ((2o × 2o) ↑m ω) ∧ ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2om ω)) → ((2om ω) × (2om ω)) ≼ (2om ω))
4114, 39, 40mp2an 691 . . . 4 ((2om ω) × (2om ω)) ≼ (2om ω)
42 ovex 7188 . . . . . . 7 (2om ω) ∈ V
43 0ex 5180 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
4442, 43xpsnen 8627 . . . . . 6 ((2om ω) × {∅}) ≈ (2om ω)
4544ensymi 8582 . . . . 5 (2om ω) ≈ ((2om ω) × {∅})
46 snfi 8619 . . . . . . . . . 10 {∅} ∈ Fin
47 isfinite 9153 . . . . . . . . . 10 ({∅} ∈ Fin ↔ {∅} ≺ ω)
4846, 47mpbi 233 . . . . . . . . 9 {∅} ≺ ω
49 sdomtr 8682 . . . . . . . . 9 (({∅} ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → {∅} ≺ 𝒫 ω)
5048, 22, 49mp2an 691 . . . . . . . 8 {∅} ≺ 𝒫 ω
51 sdomdom 8560 . . . . . . . 8 ({∅} ≺ 𝒫 ω → {∅} ≼ 𝒫 ω)
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . 7 {∅} ≼ 𝒫 ω
53 domentr 8591 . . . . . . 7 (({∅} ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2om ω)) → {∅} ≼ (2om ω))
5452, 7, 53mp2an 691 . . . . . 6 {∅} ≼ (2om ω)
5542xpdom2 8638 . . . . . 6 ({∅} ≼ (2om ω) → ((2om ω) × {∅}) ≼ ((2om ω) × (2om ω)))
5654, 55ax-mp 5 . . . . 5 ((2om ω) × {∅}) ≼ ((2om ω) × (2om ω))
57 endomtr 8590 . . . . 5 (((2om ω) ≈ ((2om ω) × {∅}) ∧ ((2om ω) × {∅}) ≼ ((2om ω) × (2om ω))) → (2om ω) ≼ ((2om ω) × (2om ω)))
5845, 56, 57mp2an 691 . . . 4 (2om ω) ≼ ((2om ω) × (2om ω))
59 sbth 8664 . . . 4 ((((2om ω) × (2om ω)) ≼ (2om ω) ∧ (2om ω) ≼ ((2om ω) × (2om ω))) → ((2om ω) × (2om ω)) ≈ (2om ω))
6041, 58, 59mp2an 691 . . 3 ((2om ω) × (2om ω)) ≈ (2om ω)
6110, 60entri 8586 . 2 (ℝ × ℝ) ≈ (2om ω)
6261, 8entr4i 8589 1 (ℝ × ℝ) ≈ ℝ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  𝒫 cpw 4497  {csn 4525   class class class wbr 5035   × cxp 5525  (class class class)co 7155  ωcom 7584  2oc2o 8111   ↑m cmap 8421   ≈ cen 8529   ≼ cdom 8530   ≺ csdm 8531  Fincfn 8532  ℝcr 10579  ℕcn 11679 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-oadd 8121  df-omul 8122  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-card 9406  df-acn 9409  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-ico 12790  df-icc 12791  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-fl 13216  df-seq 13424  df-exp 13485  df-hash 13746  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-limsup 14881  df-clim 14898  df-rlim 14899  df-sum 15096 This theorem is referenced by:  cpnnen  15635
 Copyright terms: Public domain W3C validator