Theorem rexpen 15419

Description: The real numbers are equinumerous to their own Cartesian product, even though it is not necessarily true that ℝ is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 9294 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rexpen	⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℝ

Proof of Theorem rexpen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen 15418	. . . . . 6 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ
2		nnenom 13203	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3		pwen 8542	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ≈ ω → 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω
5	1, 4	entri 8416	. . . . 5 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ω
6		omex 8957	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
7	6	pw2en 8476	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ω ≈ (2o ↑𝑚 ω)
8	5, 7	entri 8416	. . . 4 ⊢ ℝ ≈ (2o ↑𝑚 ω)
9		xpen 8532	. . . 4 ⊢ ((ℝ ≈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ℝ ≈ (2o ↑𝑚 ω)) → (ℝ × ℝ) ≈ ((2o ↑𝑚 ω) × (2o ↑𝑚 ω)))
10	8, 8, 9	mp2an 688	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ((2o ↑𝑚 ω) × (2o ↑𝑚 ω))
11		2onn 8121	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
12	11	elexi 3456	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
13	12, 12, 6	xpmapen 8537	. . . . . 6 ⊢ ((2o × 2o) ↑𝑚 ω) ≈ ((2o ↑𝑚 ω) × (2o ↑𝑚 ω))
14	13	ensymi 8412	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑𝑚 ω) × (2o ↑𝑚 ω)) ≈ ((2o × 2o) ↑𝑚 ω)
15		ssid 3914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ⊆ 2o
16		ssnnfi 8588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 2o ⊆ 2o) → 2o ∈ Fin)
17	11, 15, 16	mp2an 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2o ∈ Fin
18		xpfi 8640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → (2o × 2o) ∈ Fin)
19	17, 17, 18	mp2an 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2o × 2o) ∈ Fin
20		isfinite 8966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2o × 2o) ∈ Fin ↔ (2o × 2o) ≺ ω)
21	19, 20	mpbi 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2o × 2o) ≺ ω
22	6	canth2 8522	. . . . . . . . . 10 ⊢ ω ≺ 𝒫 ω
23		sdomtr 8507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2o × 2o) ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → (2o × 2o) ≺ 𝒫 ω)
24	21, 22, 23	mp2an 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o × 2o) ≺ 𝒫 ω
25		sdomdom 8390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o × 2o) ≺ 𝒫 ω → (2o × 2o) ≼ 𝒫 ω)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2o × 2o) ≼ 𝒫 ω
27		domentr 8421	. . . . . . . 8 ⊢ (((2o × 2o) ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2o ↑𝑚 ω)) → (2o × 2o) ≼ (2o ↑𝑚 ω))
28	26, 7, 27	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ (2o × 2o) ≼ (2o ↑𝑚 ω)
29		mapdom1 8534	. . . . . . 7 ⊢ ((2o × 2o) ≼ (2o ↑𝑚 ω) → ((2o × 2o) ↑𝑚 ω) ≼ ((2o ↑𝑚 ω) ↑𝑚 ω))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((2o × 2o) ↑𝑚 ω) ≼ ((2o ↑𝑚 ω) ↑𝑚 ω)
31		mapxpen 8535	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ ω ∈ V ∧ ω ∈ V) → ((2o ↑𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ≈ (2o ↑𝑚 (ω × ω)))
32	11, 6, 6, 31	mp3an 1453	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ↑𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ≈ (2o ↑𝑚 (ω × ω))
33	12	enref 8395	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ≈ 2o
34		xpomen 9292	. . . . . . . 8 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
35		mapen 8533	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (2o ↑𝑚 (ω × ω)) ≈ (2o ↑𝑚 ω))
36	33, 34, 35	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑𝑚 (ω × ω)) ≈ (2o ↑𝑚 ω)
37	32, 36	entri 8416	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ≈ (2o ↑𝑚 ω)
38		domentr 8421	. . . . . 6 ⊢ ((((2o × 2o) ↑𝑚 ω) ≼ ((2o ↑𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ∧ ((2o ↑𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ≈ (2o ↑𝑚 ω)) → ((2o × 2o) ↑𝑚 ω) ≼ (2o ↑𝑚 ω))
39	30, 37, 38	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ ((2o × 2o) ↑𝑚 ω) ≼ (2o ↑𝑚 ω)
40		endomtr 8420	. . . . 5 ⊢ ((((2o ↑𝑚 ω) × (2o ↑𝑚 ω)) ≈ ((2o × 2o) ↑𝑚 ω) ∧ ((2o × 2o) ↑𝑚 ω) ≼ (2o ↑𝑚 ω)) → ((2o ↑𝑚 ω) × (2o ↑𝑚 ω)) ≼ (2o ↑𝑚 ω))
41	14, 39, 40	mp2an 688	. . . 4 ⊢ ((2o ↑𝑚 ω) × (2o ↑𝑚 ω)) ≼ (2o ↑𝑚 ω)
42		ovex 7053	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑𝑚 ω) ∈ V
43		0ex 5107	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
44	42, 43	xpsnen 8453	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑𝑚 ω) × {∅}) ≈ (2o ↑𝑚 ω)
45	44	ensymi 8412	. . . . 5 ⊢ (2o ↑𝑚 ω) ≈ ((2o ↑𝑚 ω) × {∅})
46		snfi 8447	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ Fin
47		isfinite 8966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({∅} ∈ Fin ↔ {∅} ≺ ω)
48	46, 47	mpbi 231	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≺ ω
49		sdomtr 8507	. . . . . . . . 9 ⊢ (({∅} ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → {∅} ≺ 𝒫 ω)
50	48, 22, 49	mp2an 688	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ≺ 𝒫 ω
51		sdomdom 8390	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} ≺ 𝒫 ω → {∅} ≼ 𝒫 ω)
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ≼ 𝒫 ω
53		domentr 8421	. . . . . . 7 ⊢ (({∅} ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2o ↑𝑚 ω)) → {∅} ≼ (2o ↑𝑚 ω))
54	52, 7, 53	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ {∅} ≼ (2o ↑𝑚 ω)
55	42	xpdom2 8464	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ≼ (2o ↑𝑚 ω) → ((2o ↑𝑚 ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑𝑚 ω) × (2o ↑𝑚 ω)))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑𝑚 ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑𝑚 ω) × (2o ↑𝑚 ω))
57		endomtr 8420	. . . . 5 ⊢ (((2o ↑𝑚 ω) ≈ ((2o ↑𝑚 ω) × {∅}) ∧ ((2o ↑𝑚 ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑𝑚 ω) × (2o ↑𝑚 ω))) → (2o ↑𝑚 ω) ≼ ((2o ↑𝑚 ω) × (2o ↑𝑚 ω)))
58	45, 56, 57	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (2o ↑𝑚 ω) ≼ ((2o ↑𝑚 ω) × (2o ↑𝑚 ω))
59		sbth 8489	. . . 4 ⊢ ((((2o ↑𝑚 ω) × (2o ↑𝑚 ω)) ≼ (2o ↑𝑚 ω) ∧ (2o ↑𝑚 ω) ≼ ((2o ↑𝑚 ω) × (2o ↑𝑚 ω))) → ((2o ↑𝑚 ω) × (2o ↑𝑚 ω)) ≈ (2o ↑𝑚 ω))
60	41, 58, 59	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((2o ↑𝑚 ω) × (2o ↑𝑚 ω)) ≈ (2o ↑𝑚 ω)
61	10, 60	entri 8416	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ (2o ↑𝑚 ω)
62	61, 8	entr4i 8419	1 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437   ⊆ wss 3863  ∅c0 4215  𝒫 cpw 4457  {csn 4476   class class class wbr 4966   × cxp 5446  (class class class)co 7021  ωcom 7441  2_oc2o 7952   ↑_𝑚 cmap 8261   ≈ cen 8359   ≼ cdom 8360   ≺ csdm 8361  Fincfn 8362  ℝcr 10387  ℕcn 11491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-omul 7963  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-card 9219  df-acn 9222  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-limsup 14667  df-clim 14684  df-rlim 14685  df-sum 14882

This theorem is referenced by:  cpnnen  15420