Theorem rexpen 16155

Description: The real numbers are equinumerous to their own Cartesian product, even though it is not necessarily true that ℝ is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 9930 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rexpen	⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℝ

Proof of Theorem rexpen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen 16154	. . . . . 6 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ
2		nnenom 13905	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3		pwen 9074	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ≈ ω → 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω
5	1, 4	entri 8940	. . . . 5 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ω
6		omex 9558	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
7	6	pw2en 9008	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ω ≈ (2o ↑m ω)
8	5, 7	entri 8940	. . . 4 ⊢ ℝ ≈ (2o ↑m ω)
9		xpen 9064	. . . 4 ⊢ ((ℝ ≈ (2o ↑m ω) ∧ ℝ ≈ (2o ↑m ω)) → (ℝ × ℝ) ≈ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)))
10	8, 8, 9	mp2an 692	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
11		2onn 8567	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
12	11	elexi 3461	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
13	12, 12, 6	xpmapen 9069	. . . . . 6 ⊢ ((2o × 2o) ↑m ω) ≈ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
14	13	ensymi 8936	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ ((2o × 2o) ↑m ω)
15		ssid 3960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ⊆ 2o
16		ssnnfi 9093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 2o ⊆ 2o) → 2o ∈ Fin)
17	11, 15, 16	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2o ∈ Fin
18		xpfi 9227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → (2o × 2o) ∈ Fin)
19	17, 17, 18	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2o × 2o) ∈ Fin
20		isfinite 9567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2o × 2o) ∈ Fin ↔ (2o × 2o) ≺ ω)
21	19, 20	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2o × 2o) ≺ ω
22	6	canth2 9054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ω ≺ 𝒫 ω
23		sdomtr 9039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2o × 2o) ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → (2o × 2o) ≺ 𝒫 ω)
24	21, 22, 23	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o × 2o) ≺ 𝒫 ω
25		sdomdom 8912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o × 2o) ≺ 𝒫 ω → (2o × 2o) ≼ 𝒫 ω)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2o × 2o) ≼ 𝒫 ω
27		domentr 8945	. . . . . . . 8 ⊢ (((2o × 2o) ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2o ↑m ω)) → (2o × 2o) ≼ (2o ↑m ω))
28	26, 7, 27	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (2o × 2o) ≼ (2o ↑m ω)
29		mapdom1 9066	. . . . . . 7 ⊢ ((2o × 2o) ≼ (2o ↑m ω) → ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) ↑m ω))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) ↑m ω)
31		mapxpen 9067	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ ω ∈ V ∧ ω ∈ V) → ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m (ω × ω)))
32	11, 6, 6, 31	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m (ω × ω))
33	12	enref 8917	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ≈ 2o
34		xpomen 9928	. . . . . . . 8 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
35		mapen 9065	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (2o ↑m (ω × ω)) ≈ (2o ↑m ω))
36	33, 34, 35	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑m (ω × ω)) ≈ (2o ↑m ω)
37	32, 36	entri 8940	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m ω)
38		domentr 8945	. . . . . 6 ⊢ ((((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ∧ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m ω)) → ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2o ↑m ω))
39	30, 37, 38	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2o ↑m ω)
40		endomtr 8944	. . . . 5 ⊢ ((((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ ((2o × 2o) ↑m ω) ∧ ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2o ↑m ω)) → ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≼ (2o ↑m ω))
41	14, 39, 40	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≼ (2o ↑m ω)
42		ovex 7386	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑m ω) ∈ V
43		0ex 5249	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
44	42, 43	xpsnen 8985	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑m ω) × {∅}) ≈ (2o ↑m ω)
45	44	ensymi 8936	. . . . 5 ⊢ (2o ↑m ω) ≈ ((2o ↑m ω) × {∅})
46		snfi 8975	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ Fin
47		isfinite 9567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({∅} ∈ Fin ↔ {∅} ≺ ω)
48	46, 47	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≺ ω
49		sdomtr 9039	. . . . . . . . 9 ⊢ (({∅} ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → {∅} ≺ 𝒫 ω)
50	48, 22, 49	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ≺ 𝒫 ω
51		sdomdom 8912	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} ≺ 𝒫 ω → {∅} ≼ 𝒫 ω)
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ≼ 𝒫 ω
53		domentr 8945	. . . . . . 7 ⊢ (({∅} ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2o ↑m ω)) → {∅} ≼ (2o ↑m ω))
54	52, 7, 53	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ {∅} ≼ (2o ↑m ω)
55	42	xpdom2 8996	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ≼ (2o ↑m ω) → ((2o ↑m ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑m ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
57		endomtr 8944	. . . . 5 ⊢ (((2o ↑m ω) ≈ ((2o ↑m ω) × {∅}) ∧ ((2o ↑m ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))) → (2o ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)))
58	45, 56, 57	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (2o ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
59		sbth 9021	. . . 4 ⊢ ((((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≼ (2o ↑m ω) ∧ (2o ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))) → ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ (2o ↑m ω))
60	41, 58, 59	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ (2o ↑m ω)
61	10, 60	entri 8940	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ (2o ↑m ω)
62	61, 8	entr4i 8943	1 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4553  {csn 4579   class class class wbr 5095   × cxp 5621  (class class class)co 7353  ωcom 7806  2_oc2o 8389   ↑_m cmap 8760   ≈ cen 8876   ≼ cdom 8877   ≺ csdm 8878  Fincfn 8879  ℝcr 11027  ℕcn 12146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612

This theorem is referenced by:  cpnnen  16156