MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexpen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexpen 16117
Description: The real numbers are equinumerous to their own Cartesian product, even though it is not necessarily true that is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 9960 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexpen (ℝ × ℝ) ≈ ℝ

Proof of Theorem rexpen
StepHypRef Expression
1 rpnnen 16116 . . . . . 6 ℝ ≈ 𝒫 ℕ
2 nnenom 13892 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
3 pwen 9101 . . . . . . 7 (ℕ ≈ ω → 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω)
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω
51, 4entri 8955 . . . . 5 ℝ ≈ 𝒫 ω
6 omex 9586 . . . . . 6 ω ∈ V
76pw2en 9030 . . . . 5 𝒫 ω ≈ (2om ω)
85, 7entri 8955 . . . 4 ℝ ≈ (2om ω)
9 xpen 9091 . . . 4 ((ℝ ≈ (2om ω) ∧ ℝ ≈ (2om ω)) → (ℝ × ℝ) ≈ ((2om ω) × (2om ω)))
108, 8, 9mp2an 691 . . 3 (ℝ × ℝ) ≈ ((2om ω) × (2om ω))
11 2onn 8593 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
1211elexi 3467 . . . . . . 7 2o ∈ V
1312, 12, 6xpmapen 9096 . . . . . 6 ((2o × 2o) ↑m ω) ≈ ((2om ω) × (2om ω))
1413ensymi 8951 . . . . 5 ((2om ω) × (2om ω)) ≈ ((2o × 2o) ↑m ω)
15 ssid 3971 . . . . . . . . . . . . 13 2o ⊆ 2o
16 ssnnfi 9120 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o ∈ ω ∧ 2o ⊆ 2o) → 2o ∈ Fin)
1711, 15, 16mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 2o ∈ Fin
18 xpfi 9268 . . . . . . . . . . . 12 ((2o ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → (2o × 2o) ∈ Fin)
1917, 17, 18mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (2o × 2o) ∈ Fin
20 isfinite 9595 . . . . . . . . . . 11 ((2o × 2o) ∈ Fin ↔ (2o × 2o) ≺ ω)
2119, 20mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (2o × 2o) ≺ ω
226canth2 9081 . . . . . . . . . 10 ω ≺ 𝒫 ω
23 sdomtr 9066 . . . . . . . . . 10 (((2o × 2o) ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → (2o × 2o) ≺ 𝒫 ω)
2421, 22, 23mp2an 691 . . . . . . . . 9 (2o × 2o) ≺ 𝒫 ω
25 sdomdom 8927 . . . . . . . . 9 ((2o × 2o) ≺ 𝒫 ω → (2o × 2o) ≼ 𝒫 ω)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2o × 2o) ≼ 𝒫 ω
27 domentr 8960 . . . . . . . 8 (((2o × 2o) ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2om ω)) → (2o × 2o) ≼ (2om ω))
2826, 7, 27mp2an 691 . . . . . . 7 (2o × 2o) ≼ (2om ω)
29 mapdom1 9093 . . . . . . 7 ((2o × 2o) ≼ (2om ω) → ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2om ω) ↑m ω))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6 ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2om ω) ↑m ω)
31 mapxpen 9094 . . . . . . . 8 ((2o ∈ ω ∧ ω ∈ V ∧ ω ∈ V) → ((2om ω) ↑m ω) ≈ (2om (ω × ω)))
3211, 6, 6, 31mp3an 1462 . . . . . . 7 ((2om ω) ↑m ω) ≈ (2om (ω × ω))
3312enref 8932 . . . . . . . 8 2o ≈ 2o
34 xpomen 9958 . . . . . . . 8 (ω × ω) ≈ ω
35 mapen 9092 . . . . . . . 8 ((2o ≈ 2o ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (2om (ω × ω)) ≈ (2om ω))
3633, 34, 35mp2an 691 . . . . . . 7 (2om (ω × ω)) ≈ (2om ω)
3732, 36entri 8955 . . . . . 6 ((2om ω) ↑m ω) ≈ (2om ω)
38 domentr 8960 . . . . . 6 ((((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2om ω) ↑m ω) ∧ ((2om ω) ↑m ω) ≈ (2om ω)) → ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2om ω))
3930, 37, 38mp2an 691 . . . . 5 ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2om ω)
40 endomtr 8959 . . . . 5 ((((2om ω) × (2om ω)) ≈ ((2o × 2o) ↑m ω) ∧ ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2om ω)) → ((2om ω) × (2om ω)) ≼ (2om ω))
4114, 39, 40mp2an 691 . . . 4 ((2om ω) × (2om ω)) ≼ (2om ω)
42 ovex 7395 . . . . . . 7 (2om ω) ∈ V
43 0ex 5269 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
4442, 43xpsnen 9006 . . . . . 6 ((2om ω) × {∅}) ≈ (2om ω)
4544ensymi 8951 . . . . 5 (2om ω) ≈ ((2om ω) × {∅})
46 snfi 8995 . . . . . . . . . 10 {∅} ∈ Fin
47 isfinite 9595 . . . . . . . . . 10 ({∅} ∈ Fin ↔ {∅} ≺ ω)
4846, 47mpbi 229 . . . . . . . . 9 {∅} ≺ ω
49 sdomtr 9066 . . . . . . . . 9 (({∅} ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → {∅} ≺ 𝒫 ω)
5048, 22, 49mp2an 691 . . . . . . . 8 {∅} ≺ 𝒫 ω
51 sdomdom 8927 . . . . . . . 8 ({∅} ≺ 𝒫 ω → {∅} ≼ 𝒫 ω)
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . 7 {∅} ≼ 𝒫 ω
53 domentr 8960 . . . . . . 7 (({∅} ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2om ω)) → {∅} ≼ (2om ω))
5452, 7, 53mp2an 691 . . . . . 6 {∅} ≼ (2om ω)
5542xpdom2 9018 . . . . . 6 ({∅} ≼ (2om ω) → ((2om ω) × {∅}) ≼ ((2om ω) × (2om ω)))
5654, 55ax-mp 5 . . . . 5 ((2om ω) × {∅}) ≼ ((2om ω) × (2om ω))
57 endomtr 8959 . . . . 5 (((2om ω) ≈ ((2om ω) × {∅}) ∧ ((2om ω) × {∅}) ≼ ((2om ω) × (2om ω))) → (2om ω) ≼ ((2om ω) × (2om ω)))
5845, 56, 57mp2an 691 . . . 4 (2om ω) ≼ ((2om ω) × (2om ω))
59 sbth 9044 . . . 4 ((((2om ω) × (2om ω)) ≼ (2om ω) ∧ (2om ω) ≼ ((2om ω) × (2om ω))) → ((2om ω) × (2om ω)) ≈ (2om ω))
6041, 58, 59mp2an 691 . . 3 ((2om ω) × (2om ω)) ≈ (2om ω)
6110, 60entri 8955 . 2 (ℝ × ℝ) ≈ (2om ω)
6261, 8entr4i 8958 1 (ℝ × ℝ) ≈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  Vcvv 3448  wss 3915  c0 4287  𝒫 cpw 4565  {csn 4591   class class class wbr 5110   × cxp 5636  (class class class)co 7362  ωcom 7807  2oc2o 8411  m cmap 8772  cen 8887  cdom 8888  csdm 8889  Fincfn 8890  cr 11057  cn 12160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  cpnnen  16118
  Copyright terms: Public domain W3C validator