Theorem rexpen 16376

Description: The real numbers are equinumerous to their own Cartesian product, even though it is not necessarily true that ℝ is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 10077 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rexpen	⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℝ

Proof of Theorem rexpen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen 16375	. . . . . 6 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ
2		nnenom 14103	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3		pwen 9153	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ≈ ω → 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω
5	1, 4	entri 9019	. . . . 5 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ω
6		omex 9628	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
7	6	pw2en 9087	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ω ≈ (2o ↑m ω)
8	5, 7	entri 9019	. . . 4 ⊢ ℝ ≈ (2o ↑m ω)
9		xpen 9143	. . . 4 ⊢ ((ℝ ≈ (2o ↑m ω) ∧ ℝ ≈ (2o ↑m ω)) → (ℝ × ℝ) ≈ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)))
10	8, 8, 9	mp2an 705	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
11		2onn 8635	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
12	11	elexi 3473	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
13	12, 12, 6	xpmapen 9148	. . . . . 6 ⊢ ((2o × 2o) ↑m ω) ≈ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
14	13	ensymi 9015	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ ((2o × 2o) ↑m ω)
15		ssid 3953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ⊆ 2o
16		ssnnfi 9169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 2o ⊆ 2o) → 2o ∈ Fin)
17	11, 15, 16	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2o ∈ Fin
18		xpfi 9295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → (2o × 2o) ∈ Fin)
19	17, 17, 18	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2o × 2o) ∈ Fin
20		isfinite 9637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2o × 2o) ∈ Fin ↔ (2o × 2o) ≺ ω)
21	19, 20	mpbi 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2o × 2o) ≺ ω
22	6	canth2 9133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ω ≺ 𝒫 ω
23		sdomtr 9118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2o × 2o) ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → (2o × 2o) ≺ 𝒫 ω)
24	21, 22, 23	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o × 2o) ≺ 𝒫 ω
25		sdomdom 8991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o × 2o) ≺ 𝒫 ω → (2o × 2o) ≼ 𝒫 ω)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2o × 2o) ≼ 𝒫 ω
27		domentr 9024	. . . . . . . 8 ⊢ (((2o × 2o) ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2o ↑m ω)) → (2o × 2o) ≼ (2o ↑m ω))
28	26, 7, 27	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (2o × 2o) ≼ (2o ↑m ω)
29		mapdom1 9145	. . . . . . 7 ⊢ ((2o × 2o) ≼ (2o ↑m ω) → ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) ↑m ω))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) ↑m ω)
31		mapxpen 9146	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ ω ∈ V ∧ ω ∈ V) → ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m (ω × ω)))
32	11, 6, 6, 31	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m (ω × ω))
33	12	enref 8996	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ≈ 2o
34		xpomen 10075	. . . . . . . 8 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
35		mapen 9144	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (2o ↑m (ω × ω)) ≈ (2o ↑m ω))
36	33, 34, 35	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑m (ω × ω)) ≈ (2o ↑m ω)
37	32, 36	entri 9019	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m ω)
38		domentr 9024	. . . . . 6 ⊢ ((((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ∧ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m ω)) → ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2o ↑m ω))
39	30, 37, 38	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2o ↑m ω)
40		endomtr 9023	. . . . 5 ⊢ ((((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ ((2o × 2o) ↑m ω) ∧ ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2o ↑m ω)) → ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≼ (2o ↑m ω))
41	14, 39, 40	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≼ (2o ↑m ω)
42		ovex 7445	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑m ω) ∈ V
43		0ex 5261	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
44	42, 43	xpsnen 9064	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑m ω) × {∅}) ≈ (2o ↑m ω)
45	44	ensymi 9015	. . . . 5 ⊢ (2o ↑m ω) ≈ ((2o ↑m ω) × {∅})
46		snfi 9055	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ Fin
47		isfinite 9637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({∅} ∈ Fin ↔ {∅} ≺ ω)
48	46, 47	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≺ ω
49		sdomtr 9118	. . . . . . . . 9 ⊢ (({∅} ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → {∅} ≺ 𝒫 ω)
50	48, 22, 49	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ≺ 𝒫 ω
51		sdomdom 8991	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} ≺ 𝒫 ω → {∅} ≼ 𝒫 ω)
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ≼ 𝒫 ω
53		domentr 9024	. . . . . . 7 ⊢ (({∅} ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2o ↑m ω)) → {∅} ≼ (2o ↑m ω))
54	52, 7, 53	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ {∅} ≼ (2o ↑m ω)
55	42	xpdom2 9075	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ≼ (2o ↑m ω) → ((2o ↑m ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑m ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
57		endomtr 9023	. . . . 5 ⊢ (((2o ↑m ω) ≈ ((2o ↑m ω) × {∅}) ∧ ((2o ↑m ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))) → (2o ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)))
58	45, 56, 57	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (2o ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
59		sbth 9100	. . . 4 ⊢ ((((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≼ (2o ↑m ω) ∧ (2o ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))) → ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ (2o ↑m ω))
60	41, 58, 59	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ (2o ↑m ω)
61	10, 60	entri 9019	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ (2o ↑m ω)
62	61, 8	entr4i 9022	1 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5649  (class class class)co 7412  ωcom 7866  2_oc2o 8454   ↑_m cmap 8831   ≈ cen 8954   ≼ cdom 8955   ≺ csdm 8956  Fincfn 8957  ℝcr 11180  ℕcn 12316

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-acn 10004  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834

This theorem is used by:  cpnnen  16377