Theorem rexpen 16171

Description: The real numbers are equinumerous to their own Cartesian product, even though it is not necessarily true that ℝ is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 10012 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rexpen	⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℝ

Proof of Theorem rexpen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen 16170	. . . . . 6 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ
2		nnenom 13945	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3		pwen 9150	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ≈ ω → 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω
5	1, 4	entri 9004	. . . . 5 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ω
6		omex 9638	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
7	6	pw2en 9079	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ω ≈ (2o ↑m ω)
8	5, 7	entri 9004	. . . 4 ⊢ ℝ ≈ (2o ↑m ω)
9		xpen 9140	. . . 4 ⊢ ((ℝ ≈ (2o ↑m ω) ∧ ℝ ≈ (2o ↑m ω)) → (ℝ × ℝ) ≈ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)))
10	8, 8, 9	mp2an 691	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
11		2onn 8641	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
12	11	elexi 3494	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
13	12, 12, 6	xpmapen 9145	. . . . . 6 ⊢ ((2o × 2o) ↑m ω) ≈ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
14	13	ensymi 9000	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ ((2o × 2o) ↑m ω)
15		ssid 4005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ⊆ 2o
16		ssnnfi 9169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 2o ⊆ 2o) → 2o ∈ Fin)
17	11, 15, 16	mp2an 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2o ∈ Fin
18		xpfi 9317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → (2o × 2o) ∈ Fin)
19	17, 17, 18	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2o × 2o) ∈ Fin
20		isfinite 9647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2o × 2o) ∈ Fin ↔ (2o × 2o) ≺ ω)
21	19, 20	mpbi 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2o × 2o) ≺ ω
22	6	canth2 9130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ω ≺ 𝒫 ω
23		sdomtr 9115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2o × 2o) ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → (2o × 2o) ≺ 𝒫 ω)
24	21, 22, 23	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o × 2o) ≺ 𝒫 ω
25		sdomdom 8976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o × 2o) ≺ 𝒫 ω → (2o × 2o) ≼ 𝒫 ω)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2o × 2o) ≼ 𝒫 ω
27		domentr 9009	. . . . . . . 8 ⊢ (((2o × 2o) ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2o ↑m ω)) → (2o × 2o) ≼ (2o ↑m ω))
28	26, 7, 27	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (2o × 2o) ≼ (2o ↑m ω)
29		mapdom1 9142	. . . . . . 7 ⊢ ((2o × 2o) ≼ (2o ↑m ω) → ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) ↑m ω))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) ↑m ω)
31		mapxpen 9143	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ ω ∈ V ∧ ω ∈ V) → ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m (ω × ω)))
32	11, 6, 6, 31	mp3an 1462	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m (ω × ω))
33	12	enref 8981	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ≈ 2o
34		xpomen 10010	. . . . . . . 8 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
35		mapen 9141	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (2o ↑m (ω × ω)) ≈ (2o ↑m ω))
36	33, 34, 35	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑m (ω × ω)) ≈ (2o ↑m ω)
37	32, 36	entri 9004	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m ω)
38		domentr 9009	. . . . . 6 ⊢ ((((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ∧ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m ω)) → ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2o ↑m ω))
39	30, 37, 38	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2o ↑m ω)
40		endomtr 9008	. . . . 5 ⊢ ((((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ ((2o × 2o) ↑m ω) ∧ ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2o ↑m ω)) → ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≼ (2o ↑m ω))
41	14, 39, 40	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≼ (2o ↑m ω)
42		ovex 7442	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑m ω) ∈ V
43		0ex 5308	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
44	42, 43	xpsnen 9055	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑m ω) × {∅}) ≈ (2o ↑m ω)
45	44	ensymi 9000	. . . . 5 ⊢ (2o ↑m ω) ≈ ((2o ↑m ω) × {∅})
46		snfi 9044	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ Fin
47		isfinite 9647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({∅} ∈ Fin ↔ {∅} ≺ ω)
48	46, 47	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≺ ω
49		sdomtr 9115	. . . . . . . . 9 ⊢ (({∅} ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → {∅} ≺ 𝒫 ω)
50	48, 22, 49	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ≺ 𝒫 ω
51		sdomdom 8976	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} ≺ 𝒫 ω → {∅} ≼ 𝒫 ω)
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ≼ 𝒫 ω
53		domentr 9009	. . . . . . 7 ⊢ (({∅} ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2o ↑m ω)) → {∅} ≼ (2o ↑m ω))
54	52, 7, 53	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ {∅} ≼ (2o ↑m ω)
55	42	xpdom2 9067	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ≼ (2o ↑m ω) → ((2o ↑m ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑m ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
57		endomtr 9008	. . . . 5 ⊢ (((2o ↑m ω) ≈ ((2o ↑m ω) × {∅}) ∧ ((2o ↑m ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))) → (2o ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)))
58	45, 56, 57	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (2o ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
59		sbth 9093	. . . 4 ⊢ ((((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≼ (2o ↑m ω) ∧ (2o ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))) → ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ (2o ↑m ω))
60	41, 58, 59	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ (2o ↑m ω)
61	10, 60	entri 9004	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ (2o ↑m ω)
62	61, 8	entr4i 9007	1 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149   × cxp 5675  (class class class)co 7409  ωcom 7855  2_oc2o 8460   ↑_m cmap 8820   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938  Fincfn 8939  ℝcr 11109  ℕcn 12212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633

This theorem is referenced by:  cpnnen  16172