Theorem rexpen 15634

Description: The real numbers are equinumerous to their own Cartesian product, even though it is not necessarily true that ℝ is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 9482 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rexpen	⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℝ

Proof of Theorem rexpen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen 15633	. . . . . 6 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ
2		nnenom 13402	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3		pwen 8717	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ≈ ω → 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω
5	1, 4	entri 8586	. . . . 5 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ω
6		omex 9144	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
7	6	pw2en 8650	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ω ≈ (2o ↑m ω)
8	5, 7	entri 8586	. . . 4 ⊢ ℝ ≈ (2o ↑m ω)
9		xpen 8707	. . . 4 ⊢ ((ℝ ≈ (2o ↑m ω) ∧ ℝ ≈ (2o ↑m ω)) → (ℝ × ℝ) ≈ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)))
10	8, 8, 9	mp2an 691	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
11		2onn 8281	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
12	11	elexi 3429	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
13	12, 12, 6	xpmapen 8712	. . . . . 6 ⊢ ((2o × 2o) ↑m ω) ≈ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
14	13	ensymi 8582	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ ((2o × 2o) ↑m ω)
15		ssid 3916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ⊆ 2o
16		ssnnfi 8744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 2o ⊆ 2o) → 2o ∈ Fin)
17	11, 15, 16	mp2an 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2o ∈ Fin
18		xpfi 8827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → (2o × 2o) ∈ Fin)
19	17, 17, 18	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2o × 2o) ∈ Fin
20		isfinite 9153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2o × 2o) ∈ Fin ↔ (2o × 2o) ≺ ω)
21	19, 20	mpbi 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2o × 2o) ≺ ω
22	6	canth2 8697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ω ≺ 𝒫 ω
23		sdomtr 8682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2o × 2o) ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → (2o × 2o) ≺ 𝒫 ω)
24	21, 22, 23	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o × 2o) ≺ 𝒫 ω
25		sdomdom 8560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o × 2o) ≺ 𝒫 ω → (2o × 2o) ≼ 𝒫 ω)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2o × 2o) ≼ 𝒫 ω
27		domentr 8591	. . . . . . . 8 ⊢ (((2o × 2o) ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2o ↑m ω)) → (2o × 2o) ≼ (2o ↑m ω))
28	26, 7, 27	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (2o × 2o) ≼ (2o ↑m ω)
29		mapdom1 8709	. . . . . . 7 ⊢ ((2o × 2o) ≼ (2o ↑m ω) → ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) ↑m ω))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) ↑m ω)
31		mapxpen 8710	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ ω ∈ V ∧ ω ∈ V) → ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m (ω × ω)))
32	11, 6, 6, 31	mp3an 1458	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m (ω × ω))
33	12	enref 8565	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ≈ 2o
34		xpomen 9480	. . . . . . . 8 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
35		mapen 8708	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (2o ↑m (ω × ω)) ≈ (2o ↑m ω))
36	33, 34, 35	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑m (ω × ω)) ≈ (2o ↑m ω)
37	32, 36	entri 8586	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m ω)
38		domentr 8591	. . . . . 6 ⊢ ((((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ∧ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m ω)) → ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2o ↑m ω))
39	30, 37, 38	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2o ↑m ω)
40		endomtr 8590	. . . . 5 ⊢ ((((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ ((2o × 2o) ↑m ω) ∧ ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2o ↑m ω)) → ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≼ (2o ↑m ω))
41	14, 39, 40	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≼ (2o ↑m ω)
42		ovex 7188	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑m ω) ∈ V
43		0ex 5180	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
44	42, 43	xpsnen 8627	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑m ω) × {∅}) ≈ (2o ↑m ω)
45	44	ensymi 8582	. . . . 5 ⊢ (2o ↑m ω) ≈ ((2o ↑m ω) × {∅})
46		snfi 8619	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ Fin
47		isfinite 9153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({∅} ∈ Fin ↔ {∅} ≺ ω)
48	46, 47	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≺ ω
49		sdomtr 8682	. . . . . . . . 9 ⊢ (({∅} ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → {∅} ≺ 𝒫 ω)
50	48, 22, 49	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ≺ 𝒫 ω
51		sdomdom 8560	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} ≺ 𝒫 ω → {∅} ≼ 𝒫 ω)
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ≼ 𝒫 ω
53		domentr 8591	. . . . . . 7 ⊢ (({∅} ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2o ↑m ω)) → {∅} ≼ (2o ↑m ω))
54	52, 7, 53	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ {∅} ≼ (2o ↑m ω)
55	42	xpdom2 8638	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ≼ (2o ↑m ω) → ((2o ↑m ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑m ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
57		endomtr 8590	. . . . 5 ⊢ (((2o ↑m ω) ≈ ((2o ↑m ω) × {∅}) ∧ ((2o ↑m ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))) → (2o ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)))
58	45, 56, 57	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (2o ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
59		sbth 8664	. . . 4 ⊢ ((((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≼ (2o ↑m ω) ∧ (2o ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))) → ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ (2o ↑m ω))
60	41, 58, 59	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ (2o ↑m ω)
61	10, 60	entri 8586	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ (2o ↑m ω)
62	61, 8	entr4i 8589	1 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  𝒫 cpw 4497  {csn 4525   class class class wbr 5035   × cxp 5525  (class class class)co 7155  ωcom 7584  2_oc2o 8111   ↑_m cmap 8421   ≈ cen 8529   ≼ cdom 8530   ≺ csdm 8531  Fincfn 8532  ℝcr 10579  ℕcn 11679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-oadd 8121  df-omul 8122  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-card 9406  df-acn 9409  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-ico 12790  df-icc 12791  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-fl 13216  df-seq 13424  df-exp 13485  df-hash 13746  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-limsup 14881  df-clim 14898  df-rlim 14899  df-sum 15096

This theorem is referenced by:  cpnnen  15635