Theorem rexpen 16322

Description: The real numbers are equinumerous to their own Cartesian product, even though it is not necessarily true that ℝ is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 10024 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rexpen	⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℝ

Proof of Theorem rexpen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen 16321	. . . . . 6 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ
2		nnenom 14048	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3		pwen 9152	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ≈ ω → 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω
5	1, 4	entri 9018	. . . . 5 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ω
6		omex 9626	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
7	6	pw2en 9086	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ω ≈ (2o ↑m ω)
8	5, 7	entri 9018	. . . 4 ⊢ ℝ ≈ (2o ↑m ω)
9		xpen 9142	. . . 4 ⊢ ((ℝ ≈ (2o ↑m ω) ∧ ℝ ≈ (2o ↑m ω)) → (ℝ × ℝ) ≈ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)))
10	8, 8, 9	mp2an 705	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
11		2onn 8634	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
12	11	elexi 3475	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
13	12, 12, 6	xpmapen 9147	. . . . . 6 ⊢ ((2o × 2o) ↑m ω) ≈ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
14	13	ensymi 9014	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ ((2o × 2o) ↑m ω)
15		ssid 3956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ⊆ 2o
16		ssnnfi 9168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 2o ⊆ 2o) → 2o ∈ Fin)
17	11, 15, 16	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2o ∈ Fin
18		xpfi 9293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → (2o × 2o) ∈ Fin)
19	17, 17, 18	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2o × 2o) ∈ Fin
20		isfinite 9635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2o × 2o) ∈ Fin ↔ (2o × 2o) ≺ ω)
21	19, 20	mpbi 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2o × 2o) ≺ ω
22	6	canth2 9132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ω ≺ 𝒫 ω
23		sdomtr 9117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2o × 2o) ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → (2o × 2o) ≺ 𝒫 ω)
24	21, 22, 23	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o × 2o) ≺ 𝒫 ω
25		sdomdom 8990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o × 2o) ≺ 𝒫 ω → (2o × 2o) ≼ 𝒫 ω)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2o × 2o) ≼ 𝒫 ω
27		domentr 9023	. . . . . . . 8 ⊢ (((2o × 2o) ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2o ↑m ω)) → (2o × 2o) ≼ (2o ↑m ω))
28	26, 7, 27	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (2o × 2o) ≼ (2o ↑m ω)
29		mapdom1 9144	. . . . . . 7 ⊢ ((2o × 2o) ≼ (2o ↑m ω) → ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) ↑m ω))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) ↑m ω)
31		mapxpen 9145	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ ω ∈ V ∧ ω ∈ V) → ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m (ω × ω)))
32	11, 6, 6, 31	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m (ω × ω))
33	12	enref 8995	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ≈ 2o
34		xpomen 10022	. . . . . . . 8 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
35		mapen 9143	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (2o ↑m (ω × ω)) ≈ (2o ↑m ω))
36	33, 34, 35	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑m (ω × ω)) ≈ (2o ↑m ω)
37	32, 36	entri 9018	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m ω)
38		domentr 9023	. . . . . 6 ⊢ ((((2o × 2o) ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ∧ ((2o ↑m ω) ↑m ω) ≈ (2o ↑m ω)) → ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2o ↑m ω))
39	30, 37, 38	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2o ↑m ω)
40		endomtr 9022	. . . . 5 ⊢ ((((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ ((2o × 2o) ↑m ω) ∧ ((2o × 2o) ↑m ω) ≼ (2o ↑m ω)) → ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≼ (2o ↑m ω))
41	14, 39, 40	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≼ (2o ↑m ω)
42		ovex 7450	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑m ω) ∈ V
43		0ex 5268	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
44	42, 43	xpsnen 9063	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑m ω) × {∅}) ≈ (2o ↑m ω)
45	44	ensymi 9014	. . . . 5 ⊢ (2o ↑m ω) ≈ ((2o ↑m ω) × {∅})
46		snfi 9054	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ Fin
47		isfinite 9635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({∅} ∈ Fin ↔ {∅} ≺ ω)
48	46, 47	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≺ ω
49		sdomtr 9117	. . . . . . . . 9 ⊢ (({∅} ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → {∅} ≺ 𝒫 ω)
50	48, 22, 49	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ≺ 𝒫 ω
51		sdomdom 8990	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} ≺ 𝒫 ω → {∅} ≼ 𝒫 ω)
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ≼ 𝒫 ω
53		domentr 9023	. . . . . . 7 ⊢ (({∅} ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2o ↑m ω)) → {∅} ≼ (2o ↑m ω))
54	52, 7, 53	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ {∅} ≼ (2o ↑m ω)
55	42	xpdom2 9074	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ≼ (2o ↑m ω) → ((2o ↑m ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑m ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
57		endomtr 9022	. . . . 5 ⊢ (((2o ↑m ω) ≈ ((2o ↑m ω) × {∅}) ∧ ((2o ↑m ω) × {∅}) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))) → (2o ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)))
58	45, 56, 57	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (2o ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))
59		sbth 9099	. . . 4 ⊢ ((((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≼ (2o ↑m ω) ∧ (2o ↑m ω) ≼ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω))) → ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ (2o ↑m ω))
60	41, 58, 59	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((2o ↑m ω) × (2o ↑m ω)) ≈ (2o ↑m ω)
61	10, 60	entri 9018	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ (2o ↑m ω)
62	61, 8	entr4i 9021	1 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4587   class class class wbr 5107   × cxp 5657  (class class class)co 7417  ωcom 7866  2_oc2o 8453   ↑_m cmap 8830   ≈ cen 8953   ≼ cdom 8954   ≺ csdm 8955  Fincfn 8956  ℝcr 11127  ℕcn 12261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-limsup 15562  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778

This theorem is used by:  cpnnen  16323