Theorem sgnsval 32903

Description: The sign value. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sgnsval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
sgnsval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sgnsval.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
sgnsval.s	⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sgnsval	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑆‘𝑋) = if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)))

Proof of Theorem sgnsval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgnsval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		sgnsval.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		sgnsval.l	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝑅)
4		sgnsval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	sgnsv 32902	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1))))
6	5	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑆 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1))))
7		eqeq1 2732	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
8		breq2 5156	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ( 0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑋))
9	8	ifbid 4555	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if( 0 < 𝑥, 1, -1) = if( 0 < 𝑋, 1, -1))
10	7, 9	ifbieq2d 4558	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) = if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)))
11	10	adantl 480	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) = if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)))
12		simpr 483	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		c0ex 11246	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = 0 ) → 0 ∈ V)
15		1ex 11248	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ) ∧ 0 < 𝑋) → 1 ∈ V)
17		negex 11496	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑋) → -1 ∈ V)
19	16, 18	ifclda 4567	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ) → if( 0 < 𝑋, 1, -1) ∈ V)
20	14, 19	ifclda 4567	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)) ∈ V)
21	6, 11, 12, 20	fvmptd 7017	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑆‘𝑋) = if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  ifcif 4532   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  ‘cfv 6553  0cc0 11146  1c1 11147  -cneg 11483  Basecbs 17187  0_gc0g 17428  ltcplt 18307  sgn_scsgns 32900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-mulcl 11208  ax-i2m1 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-neg 11485  df-sgns 32901

This theorem is referenced by: (None)