Theorem sgnsval 32823

Description: The sign value. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sgnsval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
sgnsval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sgnsval.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
sgnsval.s	⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sgnsval	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑆‘𝑋) = if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)))

Proof of Theorem sgnsval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgnsval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		sgnsval.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		sgnsval.l	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝑅)
4		sgnsval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	sgnsv 32822	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1))))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑆 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1))))
7		eqeq1 2730	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
8		breq2 5145	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ( 0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑋))
9	8	ifbid 4546	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if( 0 < 𝑥, 1, -1) = if( 0 < 𝑋, 1, -1))
10	7, 9	ifbieq2d 4549	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) = if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)))
11	10	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) = if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)))
12		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		c0ex 11209	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = 0 ) → 0 ∈ V)
15		1ex 11211	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ) ∧ 0 < 𝑋) → 1 ∈ V)
17		negex 11459	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑋) → -1 ∈ V)
19	16, 18	ifclda 4558	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ) → if( 0 < 𝑋, 1, -1) ∈ V)
20	14, 19	ifclda 4558	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)) ∈ V)
21	6, 11, 12, 20	fvmptd 6998	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑆‘𝑋) = if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6536  0cc0 11109  1c1 11110  -cneg 11446  Basecbs 17150  0_gc0g 17391  ltcplt 18270  sgn_scsgns 32820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-mulcl 11171  ax-i2m1 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-neg 11448  df-sgns 32821

This theorem is referenced by: (None)