Theorem sgnsval 32974

Description: The sign value. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sgnsval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
sgnsval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sgnsval.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
sgnsval.s	⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sgnsval	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑆‘𝑋) = if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)))

Proof of Theorem sgnsval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgnsval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		sgnsval.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		sgnsval.l	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝑅)
4		sgnsval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	sgnsv 32973	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1))))
6	5	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑆 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1))))
7		eqeq1 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
8		breq2 5153	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ( 0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑋))
9	8	ifbid 4553	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if( 0 < 𝑥, 1, -1) = if( 0 < 𝑋, 1, -1))
10	7, 9	ifbieq2d 4556	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) = if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)))
11	10	adantl 480	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) = if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)))
12		simpr 483	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		c0ex 11240	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = 0 ) → 0 ∈ V)
15		1ex 11242	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ) ∧ 0 < 𝑋) → 1 ∈ V)
17		negex 11490	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑋) → -1 ∈ V)
19	16, 18	ifclda 4565	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ) → if( 0 < 𝑋, 1, -1) ∈ V)
20	14, 19	ifclda 4565	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)) ∈ V)
21	6, 11, 12, 20	fvmptd 7011	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑆‘𝑋) = if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461  ifcif 4530   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6549  0cc0 11140  1c1 11141  -cneg 11477  Basecbs 17183  0_gc0g 17424  ltcplt 18303  sgn_scsgns 32971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-mulcl 11202  ax-i2m1 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-neg 11479  df-sgns 32972

This theorem is referenced by: (None)