Theorem sgnsval 31330

Description: The sign value. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sgnsval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
sgnsval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sgnsval.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
sgnsval.s	⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sgnsval	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑆‘𝑋) = if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)))

Proof of Theorem sgnsval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgnsval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		sgnsval.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		sgnsval.l	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝑅)
4		sgnsval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	sgnsv 31329	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1))))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑆 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1))))
7		eqeq1 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
8		breq2 5074	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ( 0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑋))
9	8	ifbid 4479	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if( 0 < 𝑥, 1, -1) = if( 0 < 𝑋, 1, -1))
10	7, 9	ifbieq2d 4482	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) = if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)))
11	10	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) = if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)))
12		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		c0ex 10900	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = 0 ) → 0 ∈ V)
15		1ex 10902	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ) ∧ 0 < 𝑋) → 1 ∈ V)
17		negex 11149	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ) ∧ ¬ 0 < 𝑋) → -1 ∈ V)
19	16, 18	ifclda 4491	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ) → if( 0 < 𝑋, 1, -1) ∈ V)
20	14, 19	ifclda 4491	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)) ∈ V)
21	6, 11, 12, 20	fvmptd 6864	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑆‘𝑋) = if(𝑋 = 0 , 0, if( 0 < 𝑋, 1, -1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  0cc0 10802  1c1 10803  -cneg 11136  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  ltcplt 17941  sgn_scsgns 31327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-mulcl 10864  ax-i2m1 10870

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-neg 11138  df-sgns 31328

This theorem is referenced by: (None)