Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnsf 32883
Description: The sign function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sgnsval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
sgnsval.0 0 = (0g𝑅)
sgnsval.l < = (lt‘𝑅)
sgnsval.s 𝑆 = (sgns𝑅)
Assertion
Ref Expression
sgnsf (𝑅𝑉𝑆:𝐵⟶{-1, 0, 1})

Proof of Theorem sgnsf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgnsval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 sgnsval.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
3 sgnsval.l . . 3 < = (lt‘𝑅)
4 sgnsval.s . . 3 𝑆 = (sgns𝑅)
51, 2, 3, 4sgnsv 32881 . 2 (𝑅𝑉𝑆 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1))))
6 c0ex 11238 . . . . 5 0 ∈ V
76tpid2 4775 . . . 4 0 ∈ {-1, 0, 1}
8 1ex 11240 . . . . . 6 1 ∈ V
98tpid3 4778 . . . . 5 1 ∈ {-1, 0, 1}
10 negex 11488 . . . . . 6 -1 ∈ V
1110tpid1 4773 . . . . 5 -1 ∈ {-1, 0, 1}
129, 11ifcli 4576 . . . 4 if( 0 < 𝑥, 1, -1) ∈ {-1, 0, 1}
137, 12ifcli 4576 . . 3 if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ {-1, 0, 1}
1413a1i 11 . 2 ((𝑅𝑉𝑥𝐵) → if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ {-1, 0, 1})
155, 14fmpt3d 7126 1 (𝑅𝑉𝑆:𝐵⟶{-1, 0, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  ifcif 4529  {ctp 4633   class class class wbr 5148  wf 6544  cfv 6548  0cc0 11138  1c1 11139  -cneg 11475  Basecbs 17179  0gc0g 17420  ltcplt 18299  sgnscsgns 32879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-mulcl 11200  ax-i2m1 11206
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-neg 11477  df-sgns 32880
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator