Theorem sgnsf 33790

Description: The sign function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sgnsval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
sgnsval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sgnsval.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
sgnsval.s	⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sgnsf	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆:𝐵⟶{ -1, 0, 1})

Proof of Theorem sgnsf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgnsval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		sgnsval.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		sgnsval.l	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝑅)
4		sgnsval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	sgnsv 33788	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1))))
6		c0ex 11324	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7	6	tpid2 4731	. . . 4 ⊢ 0 ∈ { -1, 0, 1}
8		1ex 11327	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
9	8	tpid3 4734	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ { -1, 0, 1}
10		negex 11579	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ V
11	10	tpid1 4729	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ { -1, 0, 1}
12	9, 11	ifcli 4533	. . . 4 ⊢ if( 0 < 𝑥, 1, -1) ∈ { -1, 0, 1}
13	7, 12	ifcli 4533	. . 3 ⊢ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ { -1, 0, 1}
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ { -1, 0, 1})
15	5, 14	fmpt3d 7137	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆:𝐵⟶{ -1, 0, 1})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485  {ctp 4592   class class class wbr 5106  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  0cc0 11224  1c1 11225   -cneg 11566  Basecbs 17413  0_gc0g 17636  ltcplt 18508  sgn_scsgns 33786

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-mulcl 11286  ax-i2m1 11292

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-neg 11568  df-sgns 33787

This theorem is used by: (None)