Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnsf 32814
Description: The sign function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sgnsval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
sgnsval.0 0 = (0g𝑅)
sgnsval.l < = (lt‘𝑅)
sgnsval.s 𝑆 = (sgns𝑅)
Assertion
Ref Expression
sgnsf (𝑅𝑉𝑆:𝐵⟶{-1, 0, 1})

Proof of Theorem sgnsf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgnsval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 sgnsval.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
3 sgnsval.l . . 3 < = (lt‘𝑅)
4 sgnsval.s . . 3 𝑆 = (sgns𝑅)
51, 2, 3, 4sgnsv 32812 . 2 (𝑅𝑉𝑆 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1))))
6 c0ex 11207 . . . . 5 0 ∈ V
76tpid2 4767 . . . 4 0 ∈ {-1, 0, 1}
8 1ex 11209 . . . . . 6 1 ∈ V
98tpid3 4770 . . . . 5 1 ∈ {-1, 0, 1}
10 negex 11457 . . . . . 6 -1 ∈ V
1110tpid1 4765 . . . . 5 -1 ∈ {-1, 0, 1}
129, 11ifcli 4568 . . . 4 if( 0 < 𝑥, 1, -1) ∈ {-1, 0, 1}
137, 12ifcli 4568 . . 3 if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ {-1, 0, 1}
1413a1i 11 . 2 ((𝑅𝑉𝑥𝐵) → if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ {-1, 0, 1})
155, 14fmpt3d 7108 1 (𝑅𝑉𝑆:𝐵⟶{-1, 0, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  ifcif 4521  {ctp 4625   class class class wbr 5139  wf 6530  cfv 6534  0cc0 11107  1c1 11108  -cneg 11444  Basecbs 17149  0gc0g 17390  ltcplt 18269  sgnscsgns 32810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-mulcl 11169  ax-i2m1 11175
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-neg 11446  df-sgns 32811
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator