Theorem sgnsf 33723

Description: The sign function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sgnsval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
sgnsval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sgnsval.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
sgnsval.s	⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sgnsf	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆:𝐵⟶{ -1, 0, 1})

Proof of Theorem sgnsf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgnsval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		sgnsval.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		sgnsval.l	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝑅)
4		sgnsval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	sgnsv 33721	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1))))
6		c0ex 11300	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7	6	tpid2 4730	. . . 4 ⊢ 0 ∈ { -1, 0, 1}
8		1ex 11303	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
9	8	tpid3 4733	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ { -1, 0, 1}
10		negex 11555	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ V
11	10	tpid1 4728	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ { -1, 0, 1}
12	9, 11	ifcli 4529	. . . 4 ⊢ if( 0 < 𝑥, 1, -1) ∈ { -1, 0, 1}
13	7, 12	ifcli 4529	. . 3 ⊢ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ { -1, 0, 1}
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ { -1, 0, 1})
15	5, 14	fmpt3d 7116	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆:𝐵⟶{ -1, 0, 1})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481  {ctp 4587   class class class wbr 5102  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  0cc0 11200  1c1 11201   -cneg 11542  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  ltcplt 18482  sgn_scsgns 33719

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-mulcl 11262  ax-i2m1 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-neg 11544  df-sgns 33720

This theorem is used by: (None)