Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibfmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sibfmbl 33988
Description: A simple function is measurable. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sibfmbl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
Assertion
Ref Expression
sibfmbl (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))

Proof of Theorem sibfmbl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sibfmbl.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
2 sitgval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 sitgval.j . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
4 sitgval.s . . . 4 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
5 sitgval.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
6 sitgval.x . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 sitgval.h . . . 4 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
8 sitgval.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
9 sitgval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9issibf 33986 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↔ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))))
111, 10mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞)))
1211simp1d 1139 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   βˆ– cdif 3946  {csn 4632  βˆͺ cuni 4912  β—‘ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683   β€œ cima 5685  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  [,)cico 13366  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244  TopOpenctopn 17410  0gc0g 17428  β„Homcrrh 33627  sigaGencsigagen 33790  measurescmeas 33847  MblFnMcmbfm 33901  sitgcsitg 33982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-sitg 33983
This theorem is referenced by:  sibff  33989  sibfinima  33992  sibfof  33993  sitgfval  33994  sitgclg  33995
  Copyright terms: Public domain W3C validator