Theorem sibfmbl 35020

Description: A simple function is measurable. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sibfmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))

Assertion

Ref	Expression
sibfmbl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))

Proof of Theorem sibfmbl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sibfmbl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
2		sitgval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		sitgval.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
4		sitgval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
5		sitgval.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		sitgval.x	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		sitgval.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
8		sitgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
9		sitgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	issibf 35018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↔ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))))
11	1, 10	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞)))
12	11	simp1d 1160	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079   ∖ cdif 4047  {csn 4587  ∪ cuni 4869  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654  ran crn 5655   “ cima 5657  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Fincfn 8984  0cc0 11210  +∞cpnf 11350  [,)cico 13488  Basecbs 17399  Scalarcsca 17443   ·_𝑠 cvsca 17444  TopOpenctopn 17604  0_gc0g 17622  ℝHomcrrh 34678  sigaGencsigagen 34824  measurescmeas 34881  MblFnMcmbfm 34935  sitgcsitg 35014

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-sitg 35015

This theorem is used by:  sibff  35021  sibfinima  35024  sibfof  35025  sitgfval  35026  sitgclg  35027