Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibfmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sibfmbl 33863
Description: A simple function is measurable. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sibfmbl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
Assertion
Ref Expression
sibfmbl (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))

Proof of Theorem sibfmbl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sibfmbl.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
2 sitgval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 sitgval.j . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
4 sitgval.s . . . 4 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
5 sitgval.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
6 sitgval.x . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 sitgval.h . . . 4 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
8 sitgval.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
9 sitgval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9issibf 33861 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↔ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))))
111, 10mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞)))
1211simp1d 1139 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βˆ– cdif 3940  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  0cc0 11109  +∞cpnf 11246  [,)cico 13329  Basecbs 17150  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207  TopOpenctopn 17373  0gc0g 17391  β„Homcrrh 33502  sigaGencsigagen 33665  measurescmeas 33722  MblFnMcmbfm 33776  sitgcsitg 33857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-sitg 33858
This theorem is referenced by:  sibff  33864  sibfinima  33867  sibfof  33868  sitgfval  33869  sitgclg  33870
  Copyright terms: Public domain W3C validator