Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issibf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issibf 33332
Description: The predicate "𝐹 is a simple function" relative to the Bochner integral. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
Assertion
Ref Expression
issibf (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↔ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑀   π‘₯,π‘Š   π‘₯, 0
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   Β· (π‘₯)   𝐻(π‘₯)   𝐽(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem issibf
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 sitgval.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
3 sitgval.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
4 sitgval.0 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘Š)
5 sitgval.x . . . . . . . . 9 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6 sitgval.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
7 sitgval.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
8 sitgval.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8sitgval 33331 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Šsitg𝑀) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ↦ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)))))
109dmeqd 5906 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom (π‘Šsitg𝑀) = dom (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ↦ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)))))
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ↦ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)))) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ↦ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))))
1211dmmpt 6240 . . . . . . 7 dom (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ↦ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)))) = {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ∣ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))) ∈ V}
1310, 12eqtrdi 2789 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (π‘Šsitg𝑀) = {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ∣ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))) ∈ V})
1413eleq2d 2820 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ∣ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))) ∈ V}))
15 rneq 5936 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 β†’ ran 𝑓 = ran 𝐹)
1615difeq1d 4122 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 β†’ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) = (ran 𝐹 βˆ– { 0 }))
17 cnveq 5874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐹 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐹)
1817imaeq1d 6059 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹 β†’ (◑𝑓 β€œ {π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))
1918fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯})) = (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
2019fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) = (π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
2120oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯) = ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))
2216, 21mpteq12dv 5240 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)))
2322oveq2d 7425 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))) = (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))))
2423eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))) ∈ V ↔ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))) ∈ V))
2524elrab 3684 . . . . 5 (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ∣ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))) ∈ V} ↔ (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))) ∈ V))
2614, 25bitrdi 287 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↔ (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))) ∈ V)))
27 ovex 7442 . . . . 5 (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))) ∈ V
2827biantru 531 . . . 4 (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ↔ (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))) ∈ V))
2926, 28bitr4di 289 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↔ 𝐹 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))}))
30 rneq 5936 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐹 β†’ ran 𝑔 = ran 𝐹)
3130eleq1d 2819 . . . . 5 (𝑔 = 𝐹 β†’ (ran 𝑔 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
3230difeq1d 4122 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐹 β†’ (ran 𝑔 βˆ– { 0 }) = (ran 𝐹 βˆ– { 0 }))
33 cnveq 5874 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐹 β†’ ◑𝑔 = ◑𝐹)
3433imaeq1d 6059 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐹 β†’ (◑𝑔 β€œ {π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))
3534fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐹 β†’ (π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) = (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
3635eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐹 β†’ ((π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞)))
3732, 36raleqbidv 3343 . . . . 5 (𝑔 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞)))
3831, 37anbi12d 632 . . . 4 (𝑔 = 𝐹 β†’ ((ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞)) ↔ (ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))))
3938elrab 3684 . . 3 (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ↔ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ (ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))))
4029, 39bitrdi 287 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↔ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ (ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞)))))
41 3anass 1096 . 2 ((𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞)) ↔ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ (ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))))
4240, 41bitr4di 289 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↔ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  [,)cico 13326  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  TopOpenctopn 17367  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  β„Homcrrh 32973  sigaGencsigagen 33136  measurescmeas 33193  MblFnMcmbfm 33247  sitgcsitg 33328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-sitg 33329
This theorem is referenced by:  sibf0  33333  sibfmbl  33334  sibfrn  33336  sibfima  33337  sibfof  33339
  Copyright terms: Public domain W3C validator