Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibfrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sibfrn 31705
Description: A simple function has finite range. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sibfmbl.1 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
Assertion
Ref Expression
sibfrn (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem sibfrn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sibfmbl.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
2 sitgval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
3 sitgval.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
4 sitgval.s . . . 4 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
5 sitgval.0 . . . 4 0 = (0g𝑊)
6 sitgval.x . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
7 sitgval.h . . . 4 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
8 sitgval.1 . . . 4 (𝜑𝑊𝑉)
9 sitgval.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ran measures)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9issibf 31701 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↔ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))))
111, 10mpbid 235 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞)))
1211simp2d 1140 1 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  cdif 3878  {csn 4525   cuni 4800  ccnv 5518  dom cdm 5519  ran crn 5520  cima 5522  cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  [,)cico 12728  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  TopOpenctopn 16687  0gc0g 16705  ℝHomcrrh 31344  sigaGencsigagen 31507  measurescmeas 31564  MblFnMcmbfm 31618  sitgcsitg 31697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-sitg 31698
This theorem is referenced by:  sibfof  31708  sitgfval  31709  sitgclg  31710
  Copyright terms: Public domain W3C validator