Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibfrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sibfrn 33060
Description: A simple function has finite range. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sibfmbl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
Assertion
Ref Expression
sibfrn (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem sibfrn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sibfmbl.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
2 sitgval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 sitgval.j . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
4 sitgval.s . . . 4 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
5 sitgval.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
6 sitgval.x . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 sitgval.h . . . 4 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
8 sitgval.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
9 sitgval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9issibf 33056 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↔ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))))
111, 10mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞)))
1211simp2d 1143 1 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3060   βˆ– cdif 3925  {csn 4606  βˆͺ cuni 4885  β—‘ccnv 5652  dom cdm 5653  ran crn 5654   β€œ cima 5656  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Fincfn 8905  0cc0 11075  +∞cpnf 11210  [,)cico 13291  Basecbs 17109  Scalarcsca 17165   ·𝑠 cvsca 17166  TopOpenctopn 17332  0gc0g 17350  β„Homcrrh 32697  sigaGencsigagen 32860  measurescmeas 32917  MblFnMcmbfm 32971  sitgcsitg 33052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pr 5404
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-sitg 33053
This theorem is referenced by:  sibfof  33063  sitgfval  33064  sitgclg  33065
  Copyright terms: Public domain W3C validator