Theorem sibfrn 34751

Description: A simple function has finite range. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sibfmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))

Assertion

Ref	Expression
sibfrn	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem sibfrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sibfmbl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
2		sitgval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		sitgval.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
4		sitgval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
5		sitgval.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		sitgval.x	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		sitgval.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
8		sitgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
9		sitgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	issibf 34747	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↔ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))))
11	1, 10	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞)))
12	11	simp2d 1161	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ∖ cdif 3905  {csn 4594  ∪ cuni 4877  ^◡ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667   “ cima 5669  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Fincfn 8952  0cc0 11118  +∞cpnf 11258  [,)cico 13392  Basecbs 17294  Scalarcsca 17338   ·_𝑠 cvsca 17339  TopOpenctopn 17499  0_gc0g 17517  ℝHomcrrh 34407  sigaGencsigagen 34552  measurescmeas 34609  MblFnMcmbfm 34663  sitgcsitg 34743

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-sitg 34744

This theorem is used by:  sibfof  34754  sitgfval  34755  sitgclg  34756