Theorem sibfrn 31970

Description: A simple function has finite range. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sibfmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))

Assertion

Ref	Expression
sibfrn	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem sibfrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sibfmbl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
2		sitgval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		sitgval.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
4		sitgval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
5		sitgval.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		sitgval.x	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		sitgval.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
8		sitgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
9		sitgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	issibf 31966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↔ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))))
11	1, 10	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞)))
12	11	simp2d 1145	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051   ∖ cdif 3850  {csn 4527  ∪ cuni 4805  ^◡ccnv 5535  dom cdm 5536  ran crn 5537   “ cima 5539  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Fincfn 8604  0cc0 10694  +∞cpnf 10829  [,)cico 12902  Basecbs 16666  Scalarcsca 16752   ·_𝑠 cvsca 16753  TopOpenctopn 16880  0_gc0g 16898  ℝHomcrrh 31609  sigaGencsigagen 31772  measurescmeas 31829  MblFnMcmbfm 31883  sitgcsitg 31962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-sitg 31963

This theorem is referenced by:  sibfof  31973  sitgfval  31974  sitgclg  31975