Theorem sibfrn 34644

Description: A simple function has finite range. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sibfmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))

Assertion

Ref	Expression
sibfrn	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem sibfrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sibfmbl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
2		sitgval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		sitgval.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
4		sitgval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
5		sitgval.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		sitgval.x	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		sitgval.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
8		sitgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
9		sitgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	issibf 34640	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↔ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))))
11	1, 10	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞)))
12	11	simp2d 1159	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   ∖ cdif 3904  {csn 4585  ∪ cuni 4868  ^◡ccnv 5651  dom cdm 5652  ran crn 5653   “ cima 5655  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Fincfn 8931  0cc0 11088  +∞cpnf 11228  [,)cico 13365  Basecbs 17259  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304  TopOpenctopn 17464  0_gc0g 17482  ℝHomcrrh 34300  sigaGencsigagen 34445  measurescmeas 34502  MblFnMcmbfm 34556  sitgcsitg 34636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-sitg 34637

This theorem is referenced by:  sibfof  34647  sitgfval  34648  sitgclg  34649