Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibfima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sibfima 33232
Description: Any preimage of a singleton by a simple function is measurable. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sibfmbl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
Assertion
Ref Expression
sibfima ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝐴})) ∈ (0[,)+∞))

Proof of Theorem sibfima
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sibfmbl.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
2 sitgval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 sitgval.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
4 sitgval.s . . . . 5 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
5 sitgval.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Š)
6 sitgval.x . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 sitgval.h . . . . 5 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
8 sitgval.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
9 sitgval.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9issibf 33227 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↔ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))))
111, 10mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞)))
1211simp3d 1144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))
13 sneq 4633 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ {π‘₯} = {𝐴})
1413imaeq2d 6050 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ {𝐴}))
1514fveq2d 6883 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝐴})))
1615eleq1d 2818 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝐴})) ∈ (0[,)+∞)))
1716rspcv 3606 . 2 (𝐴 ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝐴})) ∈ (0[,)+∞)))
1812, 17mpan9 507 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝐴})) ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3942  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902  β—‘ccnv 5669  dom cdm 5670  ran crn 5671   β€œ cima 5673  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7394  Fincfn 8924  0cc0 11094  +∞cpnf 11229  [,)cico 13310  Basecbs 17128  Scalarcsca 17184   ·𝑠 cvsca 17185  TopOpenctopn 17351  0gc0g 17369  β„Homcrrh 32868  sigaGencsigagen 33031  measurescmeas 33088  MblFnMcmbfm 33142  sitgcsitg 33223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5421
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-sitg 33224
This theorem is referenced by:  sibfinima  33233  sitgfval  33235  sitgclg  33236
  Copyright terms: Public domain W3C validator