Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibfima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sibfima 33636
Description: Any preimage of a singleton by a simple function is measurable. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sibfmbl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
Assertion
Ref Expression
sibfima ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝐴})) ∈ (0[,)+∞))

Proof of Theorem sibfima
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sibfmbl.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
2 sitgval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 sitgval.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
4 sitgval.s . . . . 5 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
5 sitgval.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Š)
6 sitgval.x . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 sitgval.h . . . . 5 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
8 sitgval.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
9 sitgval.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9issibf 33631 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↔ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))))
111, 10mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞)))
1211simp3d 1143 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))
13 sneq 4638 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ {π‘₯} = {𝐴})
1413imaeq2d 6059 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ {𝐴}))
1514fveq2d 6895 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝐴})))
1615eleq1d 2817 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝐴})) ∈ (0[,)+∞)))
1716rspcv 3608 . 2 (𝐴 ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝐴})) ∈ (0[,)+∞)))
1812, 17mpan9 506 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝐴})) ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   βˆ– cdif 3945  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  0cc0 11113  +∞cpnf 11250  [,)cico 13331  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  TopOpenctopn 17372  0gc0g 17390  β„Homcrrh 33272  sigaGencsigagen 33435  measurescmeas 33492  MblFnMcmbfm 33546  sitgcsitg 33627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-sitg 33628
This theorem is referenced by:  sibfinima  33637  sitgfval  33639  sitgclg  33640
  Copyright terms: Public domain W3C validator