Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibfima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sibfima 33635
Description: Any preimage of a singleton by a simple function is measurable. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sibfmbl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
Assertion
Ref Expression
sibfima ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝐴})) ∈ (0[,)+∞))

Proof of Theorem sibfima
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sibfmbl.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
2 sitgval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 sitgval.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
4 sitgval.s . . . . 5 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
5 sitgval.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Š)
6 sitgval.x . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 sitgval.h . . . . 5 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
8 sitgval.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
9 sitgval.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9issibf 33630 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↔ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))))
111, 10mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞)))
1211simp3d 1142 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))
13 sneq 4637 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ {π‘₯} = {𝐴})
1413imaeq2d 6058 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ {𝐴}))
1514fveq2d 6894 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝐴})))
1615eleq1d 2816 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝐴})) ∈ (0[,)+∞)))
1716rspcv 3607 . 2 (𝐴 ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝐴})) ∈ (0[,)+∞)))
1812, 17mpan9 505 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝐴})) ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   βˆ– cdif 3944  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  [,)cico 13330  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  TopOpenctopn 17371  0gc0g 17389  β„Homcrrh 33271  sigaGencsigagen 33434  measurescmeas 33491  MblFnMcmbfm 33545  sitgcsitg 33626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-sitg 33627
This theorem is referenced by:  sibfinima  33636  sitgfval  33638  sitgclg  33639
  Copyright terms: Public domain W3C validator