Theorem smofvon2 8402

Description: The function values of a strictly monotone ordinal function are ordinals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smofvon2	⊢ (Smo 𝐹 → (𝐹‘𝐵) ∈ On)

Proof of Theorem smofvon2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsmo2 8393	. . . 4 ⊢ (Smo 𝐹 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶On ∧ Ord dom 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥)))
2	1	simp1bi 1163	. . 3 ⊢ (Smo 𝐹 → 𝐹:dom 𝐹⟶On)
3		ffvelcdm 7113	. . . 4 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶On ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐵) ∈ On)
4	3	expcom 419	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐹:dom 𝐹⟶On → (𝐹‘𝐵) ∈ On))
5	2, 4	syl5 35	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (Smo 𝐹 → (𝐹‘𝐵) ∈ On))
6		ndmfv 6948	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐵) = ∅)
7		0elon 6444	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
8	6, 7	eqeltrdi 2872	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐵) ∈ On)
9	8	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹 → (Smo 𝐹 → (𝐹‘𝐵) ∈ On))
10	5, 9	pm2.61i 184	1 ⊢ (Smo 𝐹 → (𝐹‘𝐵) ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∅c0 4281  dom cdm 5658  Ord word 6387  Oncon0 6388  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  Smo wsmo 8391

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-ord 6391  df-on 6392  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-smo 8392

This theorem is used by:  smo11  8410  smoord  8411  smoword  8412  smogt  8413