Theorem smo11 8347

Description: A strictly monotone ordinal function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smo11	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)

Proof of Theorem smo11

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		ffn 6705	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		smodm2 8338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
4		ordelord 6382	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Ord 𝑧)
5	4	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → Ord 𝑧))
6	3, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → (𝑧 ∈ 𝐴 → Ord 𝑧))
7		ordelord 6382	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → Ord 𝑤)
8	7	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐴 → Ord 𝑤))
9	3, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → (𝑤 ∈ 𝐴 → Ord 𝑤))
10	6, 9	anim12d 620	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤)))
11		ordtri3or 6393	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝑤 ∨ 𝑧 = 𝑤 ∨ 𝑤 ∈ 𝑧))
12		simp1rr 1258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
13		smoel2 8346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥))
14	13	ralrimivva 3208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥))
15	14	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥))
16	15	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥))
17		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
18		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤))
19		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑤))
20	19	eleq2d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑤)))
21	20	raleqbi1dv 3333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑤)))
22	21	rspcv 3577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑤)))
23		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))
24	23	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (𝐹‘𝑤)))
25	24	rspccv 3578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑤) → (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝐹‘𝑧) ∈ (𝐹‘𝑤)))
26	22, 25	syl6 36	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥) → (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝐹‘𝑧) ∈ (𝐹‘𝑤))))
27	26	3imp 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) → (𝐹‘𝑧) ∈ (𝐹‘𝑤))
28		eleq1 2851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤) → ((𝐹‘𝑧) ∈ (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑤)))
29	28	biimpac 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ (𝐹‘𝑤) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → (𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑤))
30	27, 29	sylan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → (𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑤))
31	12, 16, 17, 18, 30	syl31anc 1400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → (𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑤))
32		smofvon2 8339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Smo 𝐹 → (𝐹‘𝑤) ∈ On)
33		eloni 6370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑤) ∈ On → Ord (𝐹‘𝑤))
34		ordirr 6378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Ord (𝐹‘𝑤) → ¬ (𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑤))
35	32, 33, 34	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Smo 𝐹 → ¬ (𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑤))
36	35	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑤))
37	36	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → ¬ (𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑤))
38	31, 37	pm2.21dd 198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → 𝑧 = 𝑤)
39	38	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑧 ∈ 𝑤 → ((𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
40		ax1w 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
41		simp1rl 1257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
42	15	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥))
43		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑧)
44		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤))
45		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
46	45	eleq2d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑧)))
47	46	raleqbi1dv 3333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑧)))
48	47	rspcv 3577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑧)))
49		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑤))
50	49	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑧)))
51	50	rspccv 3578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑧)))
52	48, 51	syl6 36	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥) → (𝑤 ∈ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑧))))
53	52	3imp 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝑧) → (𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑧))
54		eleq2 2852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤) → ((𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑤)))
55	54	biimpac 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → (𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑤))
56	53, 55	sylan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → (𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑤))
57	41, 42, 43, 44, 56	syl31anc 1400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → (𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑤))
58	36	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → ¬ (𝐹‘𝑤) ∈ (𝐹‘𝑤))
59	57, 58	pm2.21dd 198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤)) → 𝑧 = 𝑤)
60	59	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑤 ∈ 𝑧 → ((𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
61	39, 40, 60	3jaod 1456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝑧 ∈ 𝑤 ∨ 𝑧 = 𝑤 ∨ 𝑤 ∈ 𝑧) → ((𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
62	11, 61	syl5 35	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤) → ((𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
63	62	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤) → ((𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤) → 𝑧 = 𝑤))))
64	10, 63	mpdd 44	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
65	64	ralrimivv 3206	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤) → 𝑧 = 𝑤))
66	2, 65	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤) → 𝑧 = 𝑤))
67		dff13 7252	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
68	1, 66, 67	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Ord word 6359  Oncon0 6360   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  Smo wsmo 8328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-ord 6363  df-on 6364  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fv 6544  df-smo 8329

This theorem is referenced by:  smoiso2  8352  alephf1ALT  10083