MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smo11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smo11 8310
Description: A strictly monotone ordinal function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
smo11 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)

Proof of Theorem smo11
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴𝐵)
2 ffn 6668 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
3 smodm2 8301 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
4 ordelord 6339 . . . . . . . 8 ((Ord 𝐴𝑧𝐴) → Ord 𝑧)
54ex 413 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝑧𝐴 → Ord 𝑧))
63, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → (𝑧𝐴 → Ord 𝑧))
7 ordelord 6339 . . . . . . . 8 ((Ord 𝐴𝑤𝐴) → Ord 𝑤)
87ex 413 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝑤𝐴 → Ord 𝑤))
93, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → (𝑤𝐴 → Ord 𝑤))
106, 9anim12d 609 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → (Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤)))
11 ordtri3or 6349 . . . . . . 7 ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤) → (𝑧𝑤𝑧 = 𝑤𝑤𝑧))
12 simp1rr 1239 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑤𝐴)
13 smoel2 8309 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝑥)) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
1413ralrimivva 3197 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
16153ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
17 simp2 1137 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑧𝑤)
18 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤))
19 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
2019eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑤)))
2120raleqbi1dv 3307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑦𝑤 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑤)))
2221rspcv 3577 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) → ∀𝑦𝑤 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑤)))
23 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
2423eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤)))
2524rspccv 3578 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑦𝑤 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑤) → (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤)))
2622, 25syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) → (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤))))
27263imp 1111 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑧𝑤) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤))
28 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤)))
2928biimpac 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
3027, 29sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑧𝑤) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
3112, 16, 17, 18, 30syl31anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
32 smofvon2 8302 . . . . . . . . . . . . 13 (Smo 𝐹 → (𝐹𝑤) ∈ On)
33 eloni 6327 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑤) ∈ On → Ord (𝐹𝑤))
34 ordirr 6335 . . . . . . . . . . . . 13 (Ord (𝐹𝑤) → ¬ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (Smo 𝐹 → ¬ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
3635ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → ¬ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
37363ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → ¬ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
3831, 37pm2.21dd 194 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑧 = 𝑤)
39383exp 1119 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → (𝑧𝑤 → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
40 ax-1 6 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤))
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
42 simp1rl 1238 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑧𝐴)
43153ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
44 simp2 1137 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑤𝑧)
45 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤))
46 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
4746eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧)))
4847raleqbi1dv 3307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧)))
4948rspcv 3577 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) → ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧)))
50 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑤))
5150eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧)))
5251rspccv 3578 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧) → (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧)))
5349, 52syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) → (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧))))
54533imp 1111 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤𝑧) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧))
55 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤)))
5655biimpac 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
5754, 56sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤𝑧) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
5842, 43, 44, 45, 57syl31anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
59363ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → ¬ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
6058, 59pm2.21dd 194 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑧 = 𝑤)
61603exp 1119 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → (𝑤𝑧 → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
6239, 41, 613jaod 1428 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑧𝑤𝑧 = 𝑤𝑤𝑧) → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
6311, 62syl5 34 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤) → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
6463ex 413 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤) → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤))))
6510, 64mpdd 43 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
6665ralrimivv 3195 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤))
672, 66sylan 580 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤))
68 dff13 7202 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
691, 67, 68sylanbrc 583 1 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Ord word 6316  Oncon0 6317   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1wf1 6493  cfv 6496  Smo wsmo 8291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-ord 6320  df-on 6321  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fv 6504  df-smo 8292
This theorem is referenced by:  smoiso2  8315  alephf1ALT  10039
  Copyright terms: Public domain W3C validator