MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smo11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smo11 8023
Description: A strictly monotone ordinal function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
smo11 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)

Proof of Theorem smo11
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴𝐵)
2 ffn 6498 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
3 smodm2 8014 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
4 ordelord 6188 . . . . . . . 8 ((Ord 𝐴𝑧𝐴) → Ord 𝑧)
54ex 416 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝑧𝐴 → Ord 𝑧))
63, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → (𝑧𝐴 → Ord 𝑧))
7 ordelord 6188 . . . . . . . 8 ((Ord 𝐴𝑤𝐴) → Ord 𝑤)
87ex 416 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝑤𝐴 → Ord 𝑤))
93, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → (𝑤𝐴 → Ord 𝑤))
106, 9anim12d 612 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → (Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤)))
11 ordtri3or 6198 . . . . . . 7 ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤) → (𝑧𝑤𝑧 = 𝑤𝑤𝑧))
12 simp1rr 1240 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑤𝐴)
13 smoel2 8022 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝑥)) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
1413ralrimivva 3103 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
1514adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
16153ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
17 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑧𝑤)
18 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤))
19 fveq2 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
2019eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑤)))
2120raleqbi1dv 3307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑦𝑤 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑤)))
2221rspcv 3519 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) → ∀𝑦𝑤 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑤)))
23 fveq2 6668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
2423eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤)))
2524rspccv 3521 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑦𝑤 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑤) → (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤)))
2622, 25syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) → (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤))))
27263imp 1112 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑧𝑤) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤))
28 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤)))
2928biimpac 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
3027, 29sylan 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑧𝑤) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
3112, 16, 17, 18, 30syl31anc 1374 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
32 smofvon2 8015 . . . . . . . . . . . . 13 (Smo 𝐹 → (𝐹𝑤) ∈ On)
33 eloni 6176 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑤) ∈ On → Ord (𝐹𝑤))
34 ordirr 6184 . . . . . . . . . . . . 13 (Ord (𝐹𝑤) → ¬ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (Smo 𝐹 → ¬ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
3635ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → ¬ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
37363ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → ¬ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
3831, 37pm2.21dd 198 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑧 = 𝑤)
39383exp 1120 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → (𝑧𝑤 → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
40 ax-1 6 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤))
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
42 simp1rl 1239 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑧𝐴)
43153ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
44 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑤𝑧)
45 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤))
46 fveq2 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
4746eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧)))
4847raleqbi1dv 3307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧)))
4948rspcv 3519 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) → ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧)))
50 fveq2 6668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑤))
5150eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧)))
5251rspccv 3521 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧) → (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧)))
5349, 52syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) → (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧))))
54533imp 1112 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤𝑧) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧))
55 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤)))
5655biimpac 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
5754, 56sylan 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤𝑧) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
5842, 43, 44, 45, 57syl31anc 1374 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
59363ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → ¬ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
6058, 59pm2.21dd 198 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑧 = 𝑤)
61603exp 1120 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → (𝑤𝑧 → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
6239, 41, 613jaod 1429 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑧𝑤𝑧 = 𝑤𝑤𝑧) → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
6311, 62syl5 34 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤) → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
6463ex 416 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤) → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤))))
6510, 64mpdd 43 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
6665ralrimivv 3102 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤))
672, 66sylan 583 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤))
68 dff13 7018 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
691, 67, 68sylanbrc 586 1 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3o 1087  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  Ord word 6165  Oncon0 6166   Fn wfn 6328  wf 6329  1-1wf1 6330  cfv 6333  Smo wsmo 8004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pr 5293
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-ord 6169  df-on 6170  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fv 6341  df-smo 8005
This theorem is referenced by:  smoiso2  8028  alephf1ALT  9596
  Copyright terms: Public domain W3C validator