Theorem smoword 8188

Description: A strictly monotone ordinal function preserves weak ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smoword	⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ⊆ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ⊆ (𝐹‘𝐷)))

Proof of Theorem smoword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smoord 8187	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐷 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
2	1	notbid 318	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝐷 ∈ 𝐶 ↔ ¬ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
3	2	ancom2s 647	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝐷 ∈ 𝐶 ↔ ¬ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
4		smodm2 8177	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
5		simprl 768	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝐴)
6		ordelord 6287	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
7	4, 5, 6	syl2an2r 682	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord 𝐶)
8		simprr 770	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝐴)
9		ordelord 6287	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → Ord 𝐷)
10	4, 8, 9	syl2an2r 682	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord 𝐷)
11		ordtri1 6298	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶 ⊆ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ∈ 𝐶))
12	7, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ⊆ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ∈ 𝐶))
13		simplr 766	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Smo 𝐹)
14		smofvon2 8178	. . . 4 ⊢ (Smo 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ On)
15		eloni 6275	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐶) ∈ On → Ord (𝐹‘𝐶))
16	13, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord (𝐹‘𝐶))
17		smofvon2 8178	. . . 4 ⊢ (Smo 𝐹 → (𝐹‘𝐷) ∈ On)
18		eloni 6275	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐷) ∈ On → Ord (𝐹‘𝐷))
19	13, 17, 18	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord (𝐹‘𝐷))
20		ordtri1 6298	. . 3 ⊢ ((Ord (𝐹‘𝐶) ∧ Ord (𝐹‘𝐷)) → ((𝐹‘𝐶) ⊆ (𝐹‘𝐷) ↔ ¬ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
21	16, 19, 20	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) ⊆ (𝐹‘𝐷) ↔ ¬ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
22	3, 12, 21	3bitr4d 311	1 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ⊆ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ⊆ (𝐹‘𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892  Ord word 6264  Oncon0 6265   Fn wfn 6427  ‘cfv 6432  Smo wsmo 8167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-ord 6268  df-on 6269  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-fv 6440  df-smo 8168

This theorem is referenced by:  cfcoflem  10029  coftr  10030