MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smoword Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smoword 8388
Description: A strictly monotone ordinal function preserves weak ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smoword (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)))

Proof of Theorem smoword
StepHypRef Expression
1 smoord 8387 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷𝐴𝐶𝐴)) → (𝐷𝐶 ↔ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
21notbid 317 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷𝐴𝐶𝐴)) → (¬ 𝐷𝐶 ↔ ¬ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
32ancom2s 648 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (¬ 𝐷𝐶 ↔ ¬ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
4 smodm2 8377 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
5 simprl 769 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐶𝐴)
6 ordelord 6390 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐶𝐴) → Ord 𝐶)
74, 5, 6syl2an2r 683 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord 𝐶)
8 simprr 771 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐷𝐴)
9 ordelord 6390 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐷𝐴) → Ord 𝐷)
104, 8, 9syl2an2r 683 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord 𝐷)
11 ordtri1 6401 . . 3 ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷𝐶))
127, 10, 11syl2anc 582 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷𝐶))
13 simplr 767 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Smo 𝐹)
14 smofvon2 8378 . . . 4 (Smo 𝐹 → (𝐹𝐶) ∈ On)
15 eloni 6378 . . . 4 ((𝐹𝐶) ∈ On → Ord (𝐹𝐶))
1613, 14, 153syl 18 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord (𝐹𝐶))
17 smofvon2 8378 . . . 4 (Smo 𝐹 → (𝐹𝐷) ∈ On)
18 eloni 6378 . . . 4 ((𝐹𝐷) ∈ On → Ord (𝐹𝐷))
1913, 17, 183syl 18 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord (𝐹𝐷))
20 ordtri1 6401 . . 3 ((Ord (𝐹𝐶) ∧ Ord (𝐹𝐷)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ ¬ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
2116, 19, 20syl2anc 582 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ ¬ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
223, 12, 213bitr4d 310 1 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2099  wss 3946  Ord word 6367  Oncon0 6368   Fn wfn 6541  cfv 6546  Smo wsmo 8367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-ord 6371  df-on 6372  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-fv 6554  df-smo 8368
This theorem is referenced by:  cfcoflem  10306  coftr  10307
  Copyright terms: Public domain W3C validator