Theorem smoword 8388

Description: A strictly monotone ordinal function preserves weak ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smoword	⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ⊆ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ⊆ (𝐹‘𝐷)))

Proof of Theorem smoword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smoord 8387	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐷 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
2	1	notbid 318	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝐷 ∈ 𝐶 ↔ ¬ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
3	2	ancom2s 650	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝐷 ∈ 𝐶 ↔ ¬ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
4		smodm2 8377	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
5		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝐴)
6		ordelord 6385	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
7	4, 5, 6	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord 𝐶)
8		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝐴)
9		ordelord 6385	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → Ord 𝐷)
10	4, 8, 9	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord 𝐷)
11		ordtri1 6396	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶 ⊆ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ∈ 𝐶))
12	7, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ⊆ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ∈ 𝐶))
13		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Smo 𝐹)
14		smofvon2 8378	. . . 4 ⊢ (Smo 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ On)
15		eloni 6373	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐶) ∈ On → Ord (𝐹‘𝐶))
16	13, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord (𝐹‘𝐶))
17		smofvon2 8378	. . . 4 ⊢ (Smo 𝐹 → (𝐹‘𝐷) ∈ On)
18		eloni 6373	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐷) ∈ On → Ord (𝐹‘𝐷))
19	13, 17, 18	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord (𝐹‘𝐷))
20		ordtri1 6396	. . 3 ⊢ ((Ord (𝐹‘𝐶) ∧ Ord (𝐹‘𝐷)) → ((𝐹‘𝐶) ⊆ (𝐹‘𝐷) ↔ ¬ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
21	16, 19, 20	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) ⊆ (𝐹‘𝐷) ↔ ¬ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
22	3, 12, 21	3bitr4d 311	1 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ⊆ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ⊆ (𝐹‘𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931  Ord word 6362  Oncon0 6363   Fn wfn 6536  ‘cfv 6541  Smo wsmo 8367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-ord 6366  df-on 6367  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fv 6549  df-smo 8368

This theorem is referenced by:  cfcoflem  10294  coftr  10295