Theorem smoword 8299

Description: A strictly monotone ordinal function preserves weak ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smoword	⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ⊆ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ⊆ (𝐹‘𝐷)))

Proof of Theorem smoword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smoord 8298	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐷 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
2	1	notbid 320	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝐷 ∈ 𝐶 ↔ ¬ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
3	2	ancom2s 657	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝐷 ∈ 𝐶 ↔ ¬ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
4		smodm2 8288	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
5		simprl 777	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝐴)
6		ordelord 6335	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
7	4, 5, 6	syl2an2r 692	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord 𝐶)
8		simprr 779	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝐴)
9		ordelord 6335	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → Ord 𝐷)
10	4, 8, 9	syl2an2r 692	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord 𝐷)
11		ordtri1 6346	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶 ⊆ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ∈ 𝐶))
12	7, 10, 11	syl2anc 591	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ⊆ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ∈ 𝐶))
13		simplr 775	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Smo 𝐹)
14		smofvon2 8289	. . . 4 ⊢ (Smo 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ On)
15		eloni 6323	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐶) ∈ On → Ord (𝐹‘𝐶))
16	13, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord (𝐹‘𝐶))
17		smofvon2 8289	. . . 4 ⊢ (Smo 𝐹 → (𝐹‘𝐷) ∈ On)
18		eloni 6323	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐷) ∈ On → Ord (𝐹‘𝐷))
19	13, 17, 18	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord (𝐹‘𝐷))
20		ordtri1 6346	. . 3 ⊢ ((Ord (𝐹‘𝐶) ∧ Ord (𝐹‘𝐷)) → ((𝐹‘𝐶) ⊆ (𝐹‘𝐷) ↔ ¬ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
21	16, 19, 20	syl2anc 591	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) ⊆ (𝐹‘𝐷) ↔ ¬ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
22	3, 12, 21	3bitr4d 313	1 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ⊆ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ⊆ (𝐹‘𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3884  Ord word 6312  Oncon0 6313   Fn wfn 6483  ‘cfv 6488  Smo wsmo 8278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-ord 6316  df-on 6317  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-fv 6496  df-smo 8279

This theorem is referenced by:  cfcoflem  10190  coftr  10191