MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smoword Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smoword 8393
Description: A strictly monotone ordinal function preserves weak ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smoword (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)))

Proof of Theorem smoword
StepHypRef Expression
1 smoord 8392 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷𝐴𝐶𝐴)) → (𝐷𝐶 ↔ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
21notbid 317 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷𝐴𝐶𝐴)) → (¬ 𝐷𝐶 ↔ ¬ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
32ancom2s 648 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (¬ 𝐷𝐶 ↔ ¬ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
4 smodm2 8382 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
5 simprl 769 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐶𝐴)
6 ordelord 6396 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐶𝐴) → Ord 𝐶)
74, 5, 6syl2an2r 683 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord 𝐶)
8 simprr 771 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐷𝐴)
9 ordelord 6396 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐷𝐴) → Ord 𝐷)
104, 8, 9syl2an2r 683 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord 𝐷)
11 ordtri1 6407 . . 3 ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷𝐶))
127, 10, 11syl2anc 582 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷𝐶))
13 simplr 767 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Smo 𝐹)
14 smofvon2 8383 . . . 4 (Smo 𝐹 → (𝐹𝐶) ∈ On)
15 eloni 6384 . . . 4 ((𝐹𝐶) ∈ On → Ord (𝐹𝐶))
1613, 14, 153syl 18 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord (𝐹𝐶))
17 smofvon2 8383 . . . 4 (Smo 𝐹 → (𝐹𝐷) ∈ On)
18 eloni 6384 . . . 4 ((𝐹𝐷) ∈ On → Ord (𝐹𝐷))
1913, 17, 183syl 18 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord (𝐹𝐷))
20 ordtri1 6407 . . 3 ((Ord (𝐹𝐶) ∧ Ord (𝐹𝐷)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ ¬ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
2116, 19, 20syl2anc 582 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ ¬ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
223, 12, 213bitr4d 310 1 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098  wss 3949  Ord word 6373  Oncon0 6374   Fn wfn 6548  cfv 6553  Smo wsmo 8372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-ord 6377  df-on 6378  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-smo 8373
This theorem is referenced by:  cfcoflem  10303  coftr  10304
  Copyright terms: Public domain W3C validator