Theorem smoword 8339

Description: A strictly monotone ordinal function preserves weak ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smoword	⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ⊆ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ⊆ (𝐹‘𝐷)))

Proof of Theorem smoword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smoord 8338	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐷 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
2	1	notbid 320	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝐷 ∈ 𝐶 ↔ ¬ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
3	2	ancom2s 660	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝐷 ∈ 𝐶 ↔ ¬ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
4		smodm2 8328	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
5		simprl 780	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝐴)
6		ordelord 6370	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
7	4, 5, 6	syl2an2r 695	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord 𝐶)
8		simprr 782	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝐴)
9		ordelord 6370	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → Ord 𝐷)
10	4, 8, 9	syl2an2r 695	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord 𝐷)
11		ordtri1 6381	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶 ⊆ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ∈ 𝐶))
12	7, 10, 11	syl2anc 593	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ⊆ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ∈ 𝐶))
13		simplr 778	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Smo 𝐹)
14		smofvon2 8329	. . . 4 ⊢ (Smo 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ On)
15		eloni 6358	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐶) ∈ On → Ord (𝐹‘𝐶))
16	13, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord (𝐹‘𝐶))
17		smofvon2 8329	. . . 4 ⊢ (Smo 𝐹 → (𝐹‘𝐷) ∈ On)
18		eloni 6358	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐷) ∈ On → Ord (𝐹‘𝐷))
19	13, 17, 18	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord (𝐹‘𝐷))
20		ordtri1 6381	. . 3 ⊢ ((Ord (𝐹‘𝐶) ∧ Ord (𝐹‘𝐷)) → ((𝐹‘𝐶) ⊆ (𝐹‘𝐷) ↔ ¬ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
21	16, 19, 20	syl2anc 593	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) ⊆ (𝐹‘𝐷) ↔ ¬ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
22	3, 12, 21	3bitr4d 313	1 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ⊆ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ⊆ (𝐹‘𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3906  Ord word 6347  Oncon0 6348   Fn wfn 6518  ‘cfv 6523  Smo wsmo 8318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-ord 6351  df-on 6352  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-fv 6531  df-smo 8319

This theorem is referenced by:  cfcoflem  10231  coftr  10232