MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smoword Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smoword 8313
Description: A strictly monotone ordinal function preserves weak ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smoword (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)))

Proof of Theorem smoword
StepHypRef Expression
1 smoord 8312 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷𝐴𝐶𝐴)) → (𝐷𝐶 ↔ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
21notbid 318 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷𝐴𝐶𝐴)) → (¬ 𝐷𝐶 ↔ ¬ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
32ancom2s 649 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (¬ 𝐷𝐶 ↔ ¬ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
4 smodm2 8302 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
5 simprl 770 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐶𝐴)
6 ordelord 6340 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐶𝐴) → Ord 𝐶)
74, 5, 6syl2an2r 684 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord 𝐶)
8 simprr 772 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐷𝐴)
9 ordelord 6340 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐷𝐴) → Ord 𝐷)
104, 8, 9syl2an2r 684 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord 𝐷)
11 ordtri1 6351 . . 3 ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷𝐶))
127, 10, 11syl2anc 585 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷𝐶))
13 simplr 768 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Smo 𝐹)
14 smofvon2 8303 . . . 4 (Smo 𝐹 → (𝐹𝐶) ∈ On)
15 eloni 6328 . . . 4 ((𝐹𝐶) ∈ On → Ord (𝐹𝐶))
1613, 14, 153syl 18 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord (𝐹𝐶))
17 smofvon2 8303 . . . 4 (Smo 𝐹 → (𝐹𝐷) ∈ On)
18 eloni 6328 . . . 4 ((𝐹𝐷) ∈ On → Ord (𝐹𝐷))
1913, 17, 183syl 18 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord (𝐹𝐷))
20 ordtri1 6351 . . 3 ((Ord (𝐹𝐶) ∧ Ord (𝐹𝐷)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ ¬ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
2116, 19, 20syl2anc 585 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ ¬ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
223, 12, 213bitr4d 311 1 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  wss 3911  Ord word 6317  Oncon0 6318   Fn wfn 6492  cfv 6497  Smo wsmo 8292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-ord 6321  df-on 6322  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-smo 8293
This theorem is referenced by:  cfcoflem  10213  coftr  10214
  Copyright terms: Public domain W3C validator