Theorem smoord 8401

Description: A strictly monotone ordinal function preserves strict ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smoord	⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))

Proof of Theorem smoord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smodm2 8391	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
2		simprl 783	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		ordelord 6402	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
4	1, 2, 3	syl2an2r 698	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord 𝐶)
5		simprr 785	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝐴)
6		ordelord 6402	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → Ord 𝐷)
7	1, 5, 6	syl2an2r 698	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord 𝐷)
8		ordtri3or 6413	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶 ∈ 𝐷 ∨ 𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 ∈ 𝐶))
9		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐷)
10		smoel2 8399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)) → (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))
11	10	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
12	11	adantrl 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
13	12	3impia 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))
14	9, 13	2thd 268	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
15	14	3expia 1139	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
16		ordirr 6398	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐶 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐶)
17	4, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐶)
18	17	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐶)
19		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐶 = 𝐷)
20	18, 19	neleqtrd 2886	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
21		smofvon2 8392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Smo 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ On)
22	21	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝐶) ∈ On)
23		eloni 6390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐶) ∈ On → Ord (𝐹‘𝐶))
24		ordirr 6398	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord (𝐹‘𝐶) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐶))
25	22, 23, 24	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐶))
26	25	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐶))
27	19	fveq2d 6912	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
28	26, 27	neleqtrd 2886	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))
29	20, 28	2falsed 379	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
30	29	3expia 1139	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 = 𝐷 → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
31	7	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → Ord 𝐷)
32		ordn2lp 6400	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐷 → ¬ (𝐷 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷))
33	31, 32	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐷 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷))
34		pm3.2 475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐶 → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐷 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)))
35	34	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐷 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)))
36	33, 35	mtod 201	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
37	22, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord (𝐹‘𝐶))
38	37	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → Ord (𝐹‘𝐶))
39		ordn2lp 6400	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord (𝐹‘𝐶) → ¬ ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) ∧ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
40	38, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) ∧ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
41		smoel2 8399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))
42	41	adantrlr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))
43	42	3impb 1132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))
44		pm3.21 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶) → ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) → ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) ∧ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))))
45	43, 44	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) → ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) ∧ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))))
46	40, 45	mtod 201	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))
47	36, 46	2falsed 379	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
48	47	3expia 1139	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐷 ∈ 𝐶 → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
49	15, 30, 48	3jaod 1457	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐶 ∈ 𝐷 ∨ 𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
50	8, 49	syl5 35	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
51	4, 7, 50	mp2and 712	1 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Ord word 6379  Oncon0 6380   Fn wfn 6553  ‘cfv 6558  Smo wsmo 8381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-ord 6383  df-on 6384  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-smo 8382

This theorem is used by:  smoword  8402  smoiso2  8405