Theorem smoord 8299

Description: A strictly monotone ordinal function preserves strict ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smoord	⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))

Proof of Theorem smoord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smodm2 8289	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
2		simprl 777	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		ordelord 6336	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
4	1, 2, 3	syl2an2r 692	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord 𝐶)
5		simprr 779	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝐴)
6		ordelord 6336	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → Ord 𝐷)
7	1, 5, 6	syl2an2r 692	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord 𝐷)
8		ordtri3or 6346	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶 ∈ 𝐷 ∨ 𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 ∈ 𝐶))
9		simp3 1145	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐷)
10		smoel2 8297	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)) → (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))
11	10	expr 458	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
12	11	adantrl 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
13	12	3impia 1124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))
14	9, 13	2thd 267	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
15	14	3expia 1128	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
16		ordirr 6332	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐶 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐶)
17	4, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐶)
18	17	3adant3 1139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐶)
19		simp3 1145	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐶 = 𝐷)
20	18, 19	neleqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
21		smofvon2 8290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Smo 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ On)
22	21	ad2antlr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝐶) ∈ On)
23		eloni 6324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐶) ∈ On → Ord (𝐹‘𝐶))
24		ordirr 6332	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord (𝐹‘𝐶) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐶))
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐶))
26	25	3adant3 1139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐶))
27	19	fveq2d 6835	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
28	26, 27	neleqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))
29	20, 28	2falsed 378	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
30	29	3expia 1128	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 = 𝐷 → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
31	7	3adant3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → Ord 𝐷)
32		ordn2lp 6334	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐷 → ¬ (𝐷 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐷 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷))
34		pm3.2 471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐶 → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐷 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)))
35	34	3ad2ant3 1142	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐷 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)))
36	33, 35	mtod 200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
37	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord (𝐹‘𝐶))
38	37	3adant3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → Ord (𝐹‘𝐶))
39		ordn2lp 6334	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord (𝐹‘𝐶) → ¬ ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) ∧ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) ∧ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
41		smoel2 8297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))
42	41	adantrlr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))
43	42	3impb 1121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))
44		pm3.21 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶) → ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) → ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) ∧ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) → ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) ∧ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))))
46	40, 45	mtod 200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))
47	36, 46	2falsed 378	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
48	47	3expia 1128	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐷 ∈ 𝐶 → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
49	15, 30, 48	3jaod 1438	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐶 ∈ 𝐷 ∨ 𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
50	8, 49	syl5 34	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
51	4, 7, 50	mp2and 706	1 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∨ w3o 1092   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Ord word 6313  Oncon0 6314   Fn wfn 6484  ‘cfv 6489  Smo wsmo 8279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-ord 6317  df-on 6318  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-smo 8280

This theorem is referenced by:  smoword  8300  smoiso2  8303