Theorem smoord 8379

Description: A strictly monotone ordinal function preserves strict ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smoord	⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))

Proof of Theorem smoord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smodm2 8369	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
2		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		ordelord 6374	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
4	1, 2, 3	syl2an2r 685	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord 𝐶)
5		simprr 772	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝐴)
6		ordelord 6374	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → Ord 𝐷)
7	1, 5, 6	syl2an2r 685	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord 𝐷)
8		ordtri3or 6384	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶 ∈ 𝐷 ∨ 𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 ∈ 𝐶))
9		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐷)
10		smoel2 8377	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)) → (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))
11	10	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
12	11	adantrl 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
13	12	3impia 1117	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))
14	9, 13	2thd 265	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
15	14	3expia 1121	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
16		ordirr 6370	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐶 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐶)
17	4, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐶)
18	17	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐶)
19		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐶 = 𝐷)
20	18, 19	neleqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
21		smofvon2 8370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Smo 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ On)
22	21	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝐶) ∈ On)
23		eloni 6362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐶) ∈ On → Ord (𝐹‘𝐶))
24		ordirr 6370	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord (𝐹‘𝐶) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐶))
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐶))
26	25	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐶))
27	19	fveq2d 6880	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
28	26, 27	neleqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))
29	20, 28	2falsed 376	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
30	29	3expia 1121	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 = 𝐷 → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
31	7	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → Ord 𝐷)
32		ordn2lp 6372	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐷 → ¬ (𝐷 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐷 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷))
34		pm3.2 469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐶 → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐷 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)))
35	34	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐷 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)))
36	33, 35	mtod 198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
37	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord (𝐹‘𝐶))
38	37	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → Ord (𝐹‘𝐶))
39		ordn2lp 6372	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord (𝐹‘𝐶) → ¬ ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) ∧ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) ∧ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
41		smoel2 8377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))
42	41	adantrlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))
43	42	3impb 1114	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))
44		pm3.21 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶) → ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) → ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) ∧ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) → ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) ∧ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))))
46	40, 45	mtod 198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))
47	36, 46	2falsed 376	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
48	47	3expia 1121	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐷 ∈ 𝐶 → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
49	15, 30, 48	3jaod 1431	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐶 ∈ 𝐷 ∨ 𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
50	8, 49	syl5 34	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
51	4, 7, 50	mp2and 699	1 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Ord word 6351  Oncon0 6352   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  Smo wsmo 8359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-ord 6355  df-on 6356  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-smo 8360

This theorem is referenced by:  smoword  8380  smoiso2  8383