Theorem smoord 8080

Description: A strictly monotone ordinal function preserves strict ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smoord	⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))

Proof of Theorem smoord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smodm2 8070	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
2		simprl 771	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		ordelord 6213	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
4	1, 2, 3	syl2an2r 685	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord 𝐶)
5		simprr 773	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝐴)
6		ordelord 6213	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → Ord 𝐷)
7	1, 5, 6	syl2an2r 685	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord 𝐷)
8		ordtri3or 6223	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶 ∈ 𝐷 ∨ 𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 ∈ 𝐶))
9		simp3 1140	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐷)
10		smoel2 8078	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)) → (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))
11	10	expr 460	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
12	11	adantrl 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
13	12	3impia 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))
14	9, 13	2thd 268	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
15	14	3expia 1123	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
16		ordirr 6209	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐶 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐶)
17	4, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐶)
18	17	3adant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐶)
19		simp3 1140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐶 = 𝐷)
20	18, 19	neleqtrd 2852	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
21		smofvon2 8071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Smo 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ On)
22	21	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝐶) ∈ On)
23		eloni 6201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐶) ∈ On → Ord (𝐹‘𝐶))
24		ordirr 6209	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord (𝐹‘𝐶) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐶))
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐶))
26	25	3adant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐶))
27	19	fveq2d 6699	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
28	26, 27	neleqtrd 2852	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))
29	20, 28	2falsed 380	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
30	29	3expia 1123	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 = 𝐷 → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
31	7	3adant3 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → Ord 𝐷)
32		ordn2lp 6211	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐷 → ¬ (𝐷 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐷 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷))
34		pm3.2 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐶 → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐷 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)))
35	34	3ad2ant3 1137	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐷 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)))
36	33, 35	mtod 201	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
37	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → Ord (𝐹‘𝐶))
38	37	3adant3 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → Ord (𝐹‘𝐶))
39		ordn2lp 6211	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord (𝐹‘𝐶) → ¬ ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) ∧ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) ∧ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶)))
41		smoel2 8078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))
42	41	adantrlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))
43	42	3impb 1117	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))
44		pm3.21 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶) → ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) → ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) ∧ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) → ((𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷) ∧ (𝐹‘𝐷) ∈ (𝐹‘𝐶))))
46	40, 45	mtod 201	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))
47	36, 46	2falsed 380	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))
48	47	3expia 1123	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐷 ∈ 𝐶 → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
49	15, 30, 48	3jaod 1430	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐶 ∈ 𝐷 ∨ 𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
50	8, 49	syl5 34	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷))))
51	4, 7, 50	mp2and 699	1 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ∈ (𝐹‘𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ w3o 1088   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Ord word 6190  Oncon0 6191   Fn wfn 6353  ‘cfv 6358  Smo wsmo 8060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-ord 6194  df-on 6195  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-fv 6366  df-smo 8061

This theorem is referenced by:  smoword  8081  smoiso2  8084