MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smoord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smoord 8404
Description: A strictly monotone ordinal function preserves strict ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smoord (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))

Proof of Theorem smoord
StepHypRef Expression
1 smodm2 8394 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
2 simprl 771 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐶𝐴)
3 ordelord 6408 . . 3 ((Ord 𝐴𝐶𝐴) → Ord 𝐶)
41, 2, 3syl2an2r 685 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord 𝐶)
5 simprr 773 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐷𝐴)
6 ordelord 6408 . . 3 ((Ord 𝐴𝐷𝐴) → Ord 𝐷)
71, 5, 6syl2an2r 685 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord 𝐷)
8 ordtri3or 6418 . . 3 ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶𝐷𝐶 = 𝐷𝐷𝐶))
9 simp3 1137 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐶𝐷)
10 smoel2 8402 . . . . . . . . 9 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷𝐴𝐶𝐷)) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))
1110expr 456 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ 𝐷𝐴) → (𝐶𝐷 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
1211adantrl 716 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
13123impia 1116 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))
149, 132thd 265 . . . . 5 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
15143expia 1120 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))))
16 ordirr 6404 . . . . . . . . 9 (Ord 𝐶 → ¬ 𝐶𝐶)
174, 16syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ¬ 𝐶𝐶)
18173adant3 1131 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐶𝐶)
19 simp3 1137 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐶 = 𝐷)
2018, 19neleqtrd 2861 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐶𝐷)
21 smofvon2 8395 . . . . . . . . . 10 (Smo 𝐹 → (𝐹𝐶) ∈ On)
2221ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐹𝐶) ∈ On)
23 eloni 6396 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐶) ∈ On → Ord (𝐹𝐶))
24 ordirr 6404 . . . . . . . . 9 (Ord (𝐹𝐶) → ¬ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐶))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ¬ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐶))
26253adant3 1131 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐶))
2719fveq2d 6911 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐷))
2826, 27neleqtrd 2861 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))
2920, 282falsed 376 . . . . 5 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
30293expia 1120 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶 = 𝐷 → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))))
3173adant3 1131 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → Ord 𝐷)
32 ordn2lp 6406 . . . . . . . 8 (Ord 𝐷 → ¬ (𝐷𝐶𝐶𝐷))
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → ¬ (𝐷𝐶𝐶𝐷))
34 pm3.2 469 . . . . . . . 8 (𝐷𝐶 → (𝐶𝐷 → (𝐷𝐶𝐶𝐷)))
35343ad2ant3 1134 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → (𝐶𝐷 → (𝐷𝐶𝐶𝐷)))
3633, 35mtod 198 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → ¬ 𝐶𝐷)
3722, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord (𝐹𝐶))
38373adant3 1131 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → Ord (𝐹𝐶))
39 ordn2lp 6406 . . . . . . . 8 (Ord (𝐹𝐶) → ¬ ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → ¬ ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
41 smoel2 8402 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐶)) → (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶))
4241adantrlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶)) → (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶))
43423impb 1114 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶))
44 pm3.21 471 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶))))
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶))))
4640, 45mtod 198 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → ¬ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))
4736, 462falsed 376 . . . . 5 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
48473expia 1120 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐷𝐶 → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))))
4915, 30, 483jaod 1428 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐶𝐷𝐶 = 𝐷𝐷𝐶) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))))
508, 49syl5 34 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))))
514, 7, 50mp2and 699 1 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Ord word 6385  Oncon0 6386   Fn wfn 6558  cfv 6563  Smo wsmo 8384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-ord 6389  df-on 6390  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-smo 8385
This theorem is referenced by:  smoword  8405  smoiso2  8408
  Copyright terms: Public domain W3C validator