Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smoord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smoord 7989
 Description: A strictly monotone ordinal function preserves strict ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smoord (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))

Proof of Theorem smoord
StepHypRef Expression
1 smodm2 7979 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
2 simprl 770 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐶𝐴)
3 ordelord 6185 . . 3 ((Ord 𝐴𝐶𝐴) → Ord 𝐶)
41, 2, 3syl2an2r 684 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord 𝐶)
5 simprr 772 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐷𝐴)
6 ordelord 6185 . . 3 ((Ord 𝐴𝐷𝐴) → Ord 𝐷)
71, 5, 6syl2an2r 684 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord 𝐷)
8 ordtri3or 6195 . . 3 ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶𝐷𝐶 = 𝐷𝐷𝐶))
9 simp3 1135 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐶𝐷)
10 smoel2 7987 . . . . . . . . 9 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷𝐴𝐶𝐷)) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))
1110expr 460 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ 𝐷𝐴) → (𝐶𝐷 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
1211adantrl 715 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
13123impia 1114 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))
149, 132thd 268 . . . . 5 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
15143expia 1118 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))))
16 ordirr 6181 . . . . . . . . 9 (Ord 𝐶 → ¬ 𝐶𝐶)
174, 16syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ¬ 𝐶𝐶)
18173adant3 1129 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐶𝐶)
19 simp3 1135 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐶 = 𝐷)
2018, 19neleqtrd 2914 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐶𝐷)
21 smofvon2 7980 . . . . . . . . . 10 (Smo 𝐹 → (𝐹𝐶) ∈ On)
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐹𝐶) ∈ On)
23 eloni 6173 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐶) ∈ On → Ord (𝐹𝐶))
24 ordirr 6181 . . . . . . . . 9 (Ord (𝐹𝐶) → ¬ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐶))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ¬ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐶))
26253adant3 1129 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐶))
2719fveq2d 6653 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐷))
2826, 27neleqtrd 2914 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))
2920, 282falsed 380 . . . . 5 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
30293expia 1118 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶 = 𝐷 → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))))
3173adant3 1129 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → Ord 𝐷)
32 ordn2lp 6183 . . . . . . . 8 (Ord 𝐷 → ¬ (𝐷𝐶𝐶𝐷))
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → ¬ (𝐷𝐶𝐶𝐷))
34 pm3.2 473 . . . . . . . 8 (𝐷𝐶 → (𝐶𝐷 → (𝐷𝐶𝐶𝐷)))
35343ad2ant3 1132 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → (𝐶𝐷 → (𝐷𝐶𝐶𝐷)))
3633, 35mtod 201 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → ¬ 𝐶𝐷)
3722, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord (𝐹𝐶))
38373adant3 1129 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → Ord (𝐹𝐶))
39 ordn2lp 6183 . . . . . . . 8 (Ord (𝐹𝐶) → ¬ ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → ¬ ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
41 smoel2 7987 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐶)) → (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶))
4241adantrlr 722 . . . . . . . . 9 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶)) → (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶))
43423impb 1112 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶))
44 pm3.21 475 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶))))
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶))))
4640, 45mtod 201 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → ¬ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))
4736, 462falsed 380 . . . . 5 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
48473expia 1118 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐷𝐶 → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))))
4915, 30, 483jaod 1425 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐶𝐷𝐶 = 𝐷𝐷𝐶) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))))
508, 49syl5 34 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))))
514, 7, 50mp2and 698 1 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Ord word 6162  Oncon0 6163   Fn wfn 6323  ‘cfv 6328  Smo wsmo 7969 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-ord 6166  df-on 6167  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-fv 6336  df-smo 7970 This theorem is referenced by:  smoword  7990  smoiso2  7993
 Copyright terms: Public domain W3C validator