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Theorem cfcoflem 10213
Description: Lemma for cfcof 10215, showing subset relation in one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cfcoflem ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ (cf‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥,𝑦   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem cfcoflem
Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cff1 10199 . . 3 (𝐵 ∈ On → ∃𝑔(𝑔:(cf‘𝐵)–1-1𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)))
2 f1f 6739 . . . . . 6 (𝑔:(cf‘𝐵)–1-1𝐵𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵)
3 fco 6693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐵𝐴𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑓𝑔):(cf‘𝐵)⟶𝐴)
43adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑓𝑔):(cf‘𝐵)⟶𝐴)
5 r19.29 3114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ ∃𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃𝑦𝐵 (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)))
6 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑔𝑧) ∈ 𝐵)
7 ffn 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑓:𝐵𝐴𝑓 Fn 𝐵)
8 smoword 8313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑓 Fn 𝐵 ∧ Smo 𝑓) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑔𝑧) ∈ 𝐵)) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ↔ (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
98biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑓 Fn 𝐵 ∧ Smo 𝑓) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑔𝑧) ∈ 𝐵)) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
109exp32 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑓 Fn 𝐵 ∧ Smo 𝑓) → (𝑦𝐵 → ((𝑔𝑧) ∈ 𝐵 → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))))
117, 10sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) → (𝑦𝐵 → ((𝑔𝑧) ∈ 𝐵 → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))))
126, 11syl7 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) → (𝑦𝐵 → ((𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))))
1312com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) → ((𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑦𝐵 → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))))
1413expdimp 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) → (𝑦𝐵 → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))))
15143imp2 1350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ⊆ (𝑔𝑧))) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧)))
16 sstr2 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → ((𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧)) → 𝑥 ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
1715, 16syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ⊆ (𝑔𝑧))) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → 𝑥 ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
18 fvco3 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → ((𝑓𝑔)‘𝑧) = (𝑓‘(𝑔𝑧)))
1918sseq2d 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧) ↔ 𝑥 ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
2019adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧) ↔ 𝑥 ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
21203ad2antr1 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ⊆ (𝑔𝑧))) → (𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧) ↔ 𝑥 ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
2217, 21sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ⊆ (𝑔𝑧))) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
2322expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)) → (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))))
24233expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))))
2524com4t 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → ((𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))))
2625imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ((𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))))
2726expcomd 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (𝑦𝐵 → (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))))
2827imp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
2928reximdva 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) ∧ 𝑦𝐵) → (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
3029exp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → (𝑦𝐵 → (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))))
3130com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑦𝐵 → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))))
3231impcomd 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → ((∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (𝑦𝐵 → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))))
3332com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑦𝐵 → ((∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))))
3433rexlimdv 3147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (∃𝑦𝐵 (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
355, 34syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → ((∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ ∃𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
3635expdimp 454 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)) → (∃𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
3736ralimdv 3163 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
3837impr 456 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦))) → ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))
39 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑓 ∈ V
40 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑔 ∈ V
4139, 40coex 7868 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓𝑔) ∈ V
42 feq1 6650 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = (𝑓𝑔) → (:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ↔ (𝑓𝑔):(cf‘𝐵)⟶𝐴))
43 fveq1 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = (𝑓𝑔) → (𝑧) = ((𝑓𝑔)‘𝑧))
4443sseq2d 3977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( = (𝑓𝑔) → (𝑥 ⊆ (𝑧) ↔ 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
4544rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = (𝑓𝑔) → (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
4645ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = (𝑓𝑔) → (∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
4742, 46anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 ( = (𝑓𝑔) → ((:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)) ↔ ((𝑓𝑔):(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))))
4841, 47spcev 3564 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑔):(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))
494, 38, 48syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦))) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))
5049exp43 438 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) → (𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵 → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧))))))
5150com24 95 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵 → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧))))))
52513impia 1118 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵 → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))))
5352exlimiv 1934 . . . . . . 7 (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵 → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))))
5453com13 88 . . . . . 6 (𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵 → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))))
552, 54syl 17 . . . . 5 (𝑔:(cf‘𝐵)–1-1𝐵 → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))))
5655imp 408 . . . 4 ((𝑔:(cf‘𝐵)–1-1𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧))))
5756exlimiv 1934 . . 3 (∃𝑔(𝑔:(cf‘𝐵)–1-1𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧))))
581, 57syl 17 . 2 (𝐵 ∈ On → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧))))
59 cfon 10196 . . 3 (cf‘𝐵) ∈ On
60 cfflb 10200 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ (cf‘𝐵) ∈ On) → (∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)) → (cf‘𝐴) ⊆ (cf‘𝐵)))
6159, 60mpan2 690 . 2 (𝐴 ∈ On → (∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)) → (cf‘𝐴) ⊆ (cf‘𝐵)))
6258, 61sylan9r 510 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ (cf‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  wss 3911  ccom 5638  Oncon0 6318   Fn wfn 6492  wf 6493  1-1wf1 6494  cfv 6497  Smo wsmo 8292  cfccf 9878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-smo 8293  df-recs 8318  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-card 9880  df-cf 9882  df-acn 9883
This theorem is referenced by:  cfcof  10215  cfidm  10216
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