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Theorem cfcoflem 9682
Description: Lemma for cfcof 9684, showing subset relation in one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cfcoflem ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ (cf‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥,𝑦   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem cfcoflem
Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cff1 9668 . . 3 (𝐵 ∈ On → ∃𝑔(𝑔:(cf‘𝐵)–1-1𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)))
2 f1f 6568 . . . . . 6 (𝑔:(cf‘𝐵)–1-1𝐵𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵)
3 fco 6524 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐵𝐴𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑓𝑔):(cf‘𝐵)⟶𝐴)
43adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑓𝑔):(cf‘𝐵)⟶𝐴)
5 r19.29 3251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ ∃𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃𝑦𝐵 (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)))
6 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑔𝑧) ∈ 𝐵)
7 ffn 6507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑓:𝐵𝐴𝑓 Fn 𝐵)
8 smoword 7992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑓 Fn 𝐵 ∧ Smo 𝑓) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑔𝑧) ∈ 𝐵)) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ↔ (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
98biimpd 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑓 Fn 𝐵 ∧ Smo 𝑓) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑔𝑧) ∈ 𝐵)) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
109exp32 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑓 Fn 𝐵 ∧ Smo 𝑓) → (𝑦𝐵 → ((𝑔𝑧) ∈ 𝐵 → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))))
117, 10sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) → (𝑦𝐵 → ((𝑔𝑧) ∈ 𝐵 → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))))
126, 11syl7 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) → (𝑦𝐵 → ((𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))))
1312com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) → ((𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑦𝐵 → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))))
1413expdimp 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) → (𝑦𝐵 → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))))
15143imp2 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ⊆ (𝑔𝑧))) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧)))
16 sstr2 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → ((𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧)) → 𝑥 ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
1715, 16syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ⊆ (𝑔𝑧))) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → 𝑥 ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
18 fvco3 6753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → ((𝑓𝑔)‘𝑧) = (𝑓‘(𝑔𝑧)))
1918sseq2d 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧) ↔ 𝑥 ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
2019adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧) ↔ 𝑥 ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
21203ad2antr1 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ⊆ (𝑔𝑧))) → (𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧) ↔ 𝑥 ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
2217, 21sylibrd 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ⊆ (𝑔𝑧))) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
2322expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)) → (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))))
24233expia 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))))
2524com4t 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → ((𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))))
2625imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ((𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))))
2726expcomd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (𝑦𝐵 → (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))))
2827imp31 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
2928reximdva 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) ∧ 𝑦𝐵) → (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
3029exp31 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → (𝑦𝐵 → (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))))
3130com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑦𝐵 → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))))
3231impcomd 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → ((∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (𝑦𝐵 → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))))
3332com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑦𝐵 → ((∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))))
3433rexlimdv 3280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (∃𝑦𝐵 (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
355, 34syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → ((∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ ∃𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
3635expdimp 453 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)) → (∃𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
3736ralimdv 3175 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
3837impr 455 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦))) → ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))
39 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑓 ∈ V
40 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑔 ∈ V
4139, 40coex 7624 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓𝑔) ∈ V
42 feq1 6488 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = (𝑓𝑔) → (:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ↔ (𝑓𝑔):(cf‘𝐵)⟶𝐴))
43 fveq1 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = (𝑓𝑔) → (𝑧) = ((𝑓𝑔)‘𝑧))
4443sseq2d 3996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( = (𝑓𝑔) → (𝑥 ⊆ (𝑧) ↔ 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
4544rexbidv 3294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = (𝑓𝑔) → (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
4645ralbidv 3194 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = (𝑓𝑔) → (∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
4742, 46anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 ( = (𝑓𝑔) → ((:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)) ↔ ((𝑓𝑔):(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))))
4841, 47spcev 3604 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑔):(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))
494, 38, 48syl2an2r 681 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦))) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))
5049exp43 437 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) → (𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵 → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧))))))
5150com24 95 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵 → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧))))))
52513impia 1109 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵 → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))))
5352exlimiv 1922 . . . . . . 7 (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵 → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))))
5453com13 88 . . . . . 6 (𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵 → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))))
552, 54syl 17 . . . . 5 (𝑔:(cf‘𝐵)–1-1𝐵 → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))))
5655imp 407 . . . 4 ((𝑔:(cf‘𝐵)–1-1𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧))))
5756exlimiv 1922 . . 3 (∃𝑔(𝑔:(cf‘𝐵)–1-1𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧))))
581, 57syl 17 . 2 (𝐵 ∈ On → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧))))
59 cfon 9665 . . 3 (cf‘𝐵) ∈ On
60 cfflb 9669 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ (cf‘𝐵) ∈ On) → (∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)) → (cf‘𝐴) ⊆ (cf‘𝐵)))
6159, 60mpan2 687 . 2 (𝐴 ∈ On → (∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)) → (cf‘𝐴) ⊆ (cf‘𝐵)))
6258, 61sylan9r 509 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ (cf‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  wss 3933  ccom 5552  Oncon0 6184   Fn wfn 6343  wf 6344  1-1wf1 6345  cfv 6348  Smo wsmo 7971  cfccf 9354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-smo 7972  df-recs 7997  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-card 9356  df-cf 9358  df-acn 9359
This theorem is referenced by:  cfcof  9684  cfidm  9685
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