Theorem spthonisspth 29275

Description: A simple path between to vertices is a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.) (Revised by AV, 18-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
spthonisspth	⊢ (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem spthonisspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	spthonprop 29270	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
3		simp3r 1201	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Vtxcvtx 28524  TrailsOnctrlson 29216  SPathscspths 29238  SPathsOncspthson 29240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-spthson 29244

This theorem is referenced by:  usgr2trlspth  29286  wspthsnonn0vne  29439