Theorem isspthonpth 30098

Description: A pair of functions is a simple path between two given vertices iff it is a simple path starting and ending at the two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.) (Revised by AV, 17-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
isspthonpth.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isspthonpth	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))

Proof of Theorem isspthonpth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isspthonpth.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	isspthson 30092	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
3	1	istrlson 30054	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
4	3	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
5		spthispth 30073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
6		pthistrl 30072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
8	7	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
9	8	biantrud 540	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
10		spthiswlk 30075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
11	10	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
12	1	iswlkon 30005	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
13		3anass 1111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
14	12, 13	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵))))
15	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵))))
16	11, 15	mpbirand 719	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
17	4, 9, 16	3bitr2d 310	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
18	17	ex 417	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵))))
19	18	pm5.32rd 588	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → ((𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) ↔ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
20		3anass 1111	. . . 4 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
21		ancom 465	. . . 4 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
22	20, 21	bitr2i 279	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵))
23	19, 22	bitrdi 290	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → ((𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
24	2, 23	bitrd 282	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  ♯chash 14362  Vtxcvtx 29346  Walkscwlks 29946  WalksOncwlkson 29947  Trailsctrls 30038  TrailsOnctrlson 30039  Pathscpths 30059  SPathscspths 30060  SPathsOncspthson 30062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-wlks 29949  df-wlkson 29950  df-trls 30040  df-trlson 30041  df-pths 30063  df-spths 30064  df-spthson 30066

This theorem is referenced by:  uhgrwkspth  30104  usgr2wlkspth  30108  wspthsnwspthsnon  30265  elwspths2spth  30319