Theorem isspthonpth 29822

Description: A pair of functions is a simple path between two given vertices iff it is a simple path starting and ending at the two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.) (Revised by AV, 17-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
isspthonpth.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isspthonpth	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))

Proof of Theorem isspthonpth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isspthonpth.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	isspthson 29816	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
3	1	istrlson 29778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
5		spthispth 29797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
6		pthistrl 29796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
9	8	biantrud 531	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
10		spthiswlk 29799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
12	1	iswlkon 29729	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
13		3anass 1094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
14	12, 13	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵))))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵))))
16	11, 15	mpbirand 707	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
17	4, 9, 16	3bitr2d 307	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
18	17	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵))))
19	18	pm5.32rd 578	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → ((𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) ↔ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
20		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
21		ancom 460	. . . 4 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
22	20, 21	bitr2i 276	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵))
23	19, 22	bitrdi 287	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → ((𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
24	2, 23	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  ♯chash 14253  Vtxcvtx 29069  Walkscwlks 29670  WalksOncwlkson 29671  Trailsctrls 29762  TrailsOnctrlson 29763  Pathscpths 29783  SPathscspths 29784  SPathsOncspthson 29786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-wlks 29673  df-wlkson 29674  df-trls 29764  df-trlson 29765  df-pths 29787  df-spths 29788  df-spthson 29790

This theorem is referenced by:  uhgrwkspth  29828  usgr2wlkspth  29832  wspthsnwspthsnon  29989  elwspths2spth  30043