MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isspthonpth Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isspthonpth 29274
Description: A pair of functions is a simple path between two given vertices iff it is a simple path starting and ending at the two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.) (Revised by AV, 17-Jan-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
isspthonpth.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
isspthonpth (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) β†’ (𝐹(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ↔ (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)))
Proof of Theorem isspthonpth
StepHypRef Expression
1 isspthonpth.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
21isspthson 29268 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) β†’ (𝐹(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)))
31istrlson 29232 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) β†’ (𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)))
43adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)))
5 spthispth 29251 . . . . . . . . 9 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
6 pthistrl 29250 . . . . . . . . 9 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
87adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
98biantrud 531 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (𝐹(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)))
10 spthiswlk 29253 . . . . . . . 8 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
1110adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
121iswlkon 29182 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) β†’ (𝐹(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ↔ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)))
13 3anass 1094 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) ↔ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)))
1412, 13bitrdi 287 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) β†’ (𝐹(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ↔ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡))))
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (𝐹(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ↔ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡))))
1611, 15mpbirand 704 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (𝐹(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ↔ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)))
174, 9, 163bitr2d 307 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ↔ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)))
1817ex 412 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) β†’ (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ↔ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡))))
1918pm5.32rd 577 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) β†’ ((𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) ↔ (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)))
20 3anass 1094 . . . 4 ((𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) ↔ (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)))
21 ancom 460 . . . 4 ((𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) ↔ (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃))
2220, 21bitr2i 276 . . 3 ((((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) ↔ (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡))
2319, 22bitrdi 287 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) β†’ ((𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) ↔ (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)))
242, 23bitrd 279 1 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) β†’ (𝐹(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ↔ (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11114  β™―chash 14295  Vtxcvtx 28524  Walkscwlks 29121  WalksOncwlkson 29122  Trailsctrls 29215  TrailsOnctrlson 29216  Pathscpths 29237  SPathscspths 29238  SPathsOncspthson 29240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-wlks 29124  df-wlkson 29125  df-trls 29217  df-trlson 29218  df-pths 29241  df-spths 29242  df-spthson 29244
This theorem is referenced by:  uhgrwkspth  29280  usgr2wlkspth  29284  wspthsnwspthsnon  29438  elwspths2spth  29489
  Copyright terms: Public domain W3C validator