MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr2trlspth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr2trlspth 27548
Description: In a simple graph, any trail of length 2 is a simple path. (Contributed by AV, 5-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
usgr2trlspth ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem usgr2trlspth
StepHypRef Expression
1 usgr2trlncl 27547 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
21imp 410 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
3 trliswlk 27485 . . . . . 6 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4 wlkonwlk 27450 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃)
5 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → 𝐺 ∈ USGraph)
6 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (♯‘𝐹) = 2)
7 fveq2 6659 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘2))
87eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘2) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
98neeq2d 3074 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
109biimpd 232 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
1110adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
1211imp 410 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
13 usgr2wlkspth 27546 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃))
145, 6, 12, 13syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃))
15 spthonisspth 27537 . . . . . . . . 9 (𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
1614, 15syl6bi 256 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
1716expcom 417 . . . . . . 7 ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
1817com13 88 . . . . . 6 (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
193, 4, 183syl 18 . . . . 5 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
2019impcom 411 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
212, 20mpd 15 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
2221ex 416 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
23 spthispth 27513 . . 3 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
24 pthistrl 27512 . . 3 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2523, 24syl 17 . 2 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2622, 25impbid1 228 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7146  0cc0 10531  2c2 11687  chash 13693  USGraphcusgr 26940  Walkscwlks 27384  WalksOncwlkson 27385  Trailsctrls 27478  Pathscpths 27499  SPathscspths 27500  SPathsOncspthson 27502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9323  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-xnn0 11963  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13921  df-s1 13948  df-s2 14208  df-s3 14209  df-edg 26839  df-uhgr 26849  df-upgr 26873  df-umgr 26874  df-uspgr 26941  df-usgr 26942  df-wlks 27387  df-wlkson 27388  df-trls 27480  df-trlson 27481  df-pths 27503  df-spths 27504  df-pthson 27505  df-spthson 27506
This theorem is referenced by:  usgr2pthspth  27549
  Copyright terms: Public domain W3C validator