Theorem usgr2trlspth 29783

Description: In a simple graph, any trail of length 2 is a simple path. (Contributed by AV, 5-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2trlspth	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem usgr2trlspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgr2trlncl 29782	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
2	1	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
3		trliswlk 29718	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		wlkonwlk 29683	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃)
5		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → 𝐺 ∈ USGraph)
6		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (♯‘𝐹) = 2)
7		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘2))
8	7	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘2) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
9	8	neeq2d 2990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
10	9	biimpd 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
12	11	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
13		usgr2wlkspth 29781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 ↔ 𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃))
14	5, 6, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 ↔ 𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃))
15		spthonisspth 29772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
16	14, 15	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
17	16	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
18	17	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
19	3, 4, 18	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
20	19	impcom 407	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
21	2, 20	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
22	21	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
23		spthispth 29746	. . 3 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
24		pthistrl 29745	. . 3 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
25	23, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
26	22, 25	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  2c2 12198  ♯chash 14251  USGraphcusgr 29171  Walkscwlks 29619  WalksOncwlkson 29620  Trailsctrls 29711  Pathscpths 29732  SPathscspths 29733  SPathsOncspthson 29735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-hash 14252  df-word 14435  df-concat 14492  df-s1 14518  df-s2 14769  df-s3 14770  df-edg 29070  df-uhgr 29080  df-upgr 29104  df-umgr 29105  df-uspgr 29172  df-usgr 29173  df-wlks 29622  df-wlkson 29623  df-trls 29713  df-trlson 29714  df-pths 29736  df-spths 29737  df-pthson 29738  df-spthson 29739

This theorem is referenced by:  usgr2pthspth  29784