Theorem usgr2trlspth 29450

Description: In a simple graph, any trail of length 2 is a simple path. (Contributed by AV, 5-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2trlspth	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem usgr2trlspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgr2trlncl 29449	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
2	1	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
3		trliswlk 29386	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		wlkonwlk 29351	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃)
5		simpll 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → 𝐺 ∈ USGraph)
6		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (♯‘𝐹) = 2)
7		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘2))
8	7	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘2) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
9	8	neeq2d 3000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
10	9	biimpd 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
12	11	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
13		usgr2wlkspth 29448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 ↔ 𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃))
14	5, 6, 12, 13	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 ↔ 𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃))
15		spthonisspth 29439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
16	14, 15	syl6bi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
17	16	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
18	17	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
19	3, 4, 18	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
20	19	impcom 407	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
21	2, 20	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
22	21	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
23		spthispth 29415	. . 3 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
24		pthistrl 29414	. . 3 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
25	23, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
26	22, 25	impbid1 224	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  2c2 12274  ♯chash 14297  USGraphcusgr 28841  Walkscwlks 29285  WalksOncwlkson 29286  Trailsctrls 29379  Pathscpths 29401  SPathscspths 29402  SPathsOncspthson 29404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-hash 14298  df-word 14472  df-concat 14528  df-s1 14553  df-s2 14806  df-s3 14807  df-edg 28740  df-uhgr 28750  df-upgr 28774  df-umgr 28775  df-uspgr 28842  df-usgr 28843  df-wlks 29288  df-wlkson 29289  df-trls 29381  df-trlson 29382  df-pths 29405  df-spths 29406  df-pthson 29407  df-spthson 29408

This theorem is referenced by:  usgr2pthspth  29451