Theorem usgr2trlspth 29847

Description: In a simple graph, any trail of length 2 is a simple path. (Contributed by AV, 5-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2trlspth	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem usgr2trlspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgr2trlncl 29846	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
2	1	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
3		trliswlk 29782	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		wlkonwlk 29747	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃)
5		simpll 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → 𝐺 ∈ USGraph)
6		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (♯‘𝐹) = 2)
7		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘2))
8	7	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘2) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
9	8	neeq2d 2994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
10	9	biimpd 230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
12	11	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
13		usgr2wlkspth 29845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 ↔ 𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃))
14	5, 6, 12, 13	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 ↔ 𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃))
15		spthonisspth 29836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
16	14, 15	biimtrdi 254	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
17	16	expcom 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
18	17	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
19	3, 4, 18	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
20	19	impcom 408	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
21	2, 20	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
22	21	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
23		spthispth 29810	. . 3 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
24		pthistrl 29809	. . 3 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
25	23, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
26	22, 25	impbid1 226	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  2c2 12227  ♯chash 14283  USGraphcusgr 29236  Walkscwlks 29683  WalksOncwlkson 29684  Trailsctrls 29775  Pathscpths 29796  SPathscspths 29797  SPathsOncspthson 29799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-ifp 1069  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-s3 14802  df-edg 29135  df-uhgr 29145  df-upgr 29169  df-umgr 29170  df-uspgr 29237  df-usgr 29238  df-wlks 29686  df-wlkson 29687  df-trls 29777  df-trlson 29778  df-pths 29800  df-spths 29801  df-pthson 29802  df-spthson 29803

This theorem is referenced by:  usgr2pthspth  29848