MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr2trlspth Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem usgr2trlspth 29282
Description: In a simple graph, any trail of length 2 is a simple path. (Contributed by AV, 5-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
usgr2trlspth ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2) β†’ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ↔ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃))
Proof of Theorem usgr2trlspth
StepHypRef Expression
1 usgr2trlncl 29281 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2) β†’ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)))
21imp 406 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2) ∧ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2))
3 trliswlk 29218 . . . . . 6 (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
4 wlkonwlk 29183 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹((π‘ƒβ€˜0)(WalksOnβ€˜πΊ)(π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))𝑃)
5 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
6 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) β†’ (β™―β€˜πΉ) = 2)
7 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜πΉ) = 2 β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (π‘ƒβ€˜2))
87eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜πΉ) = 2 β†’ (π‘ƒβ€˜2) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
98neeq2d 3000 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΉ) = 2 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
109biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) = 2 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
1110adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
1211imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
13 usgr2wlkspth 29280 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹((π‘ƒβ€˜0)(WalksOnβ€˜πΊ)(π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))𝑃 ↔ 𝐹((π‘ƒβ€˜0)(SPathsOnβ€˜πΊ)(π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))𝑃))
145, 6, 12, 13syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) β†’ (𝐹((π‘ƒβ€˜0)(WalksOnβ€˜πΊ)(π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))𝑃 ↔ 𝐹((π‘ƒβ€˜0)(SPathsOnβ€˜πΊ)(π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))𝑃))
15 spthonisspth 29271 . . . . . . . . 9 (𝐹((π‘ƒβ€˜0)(SPathsOnβ€˜πΊ)(π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))𝑃 β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
1614, 15syl6bi 252 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) β†’ (𝐹((π‘ƒβ€˜0)(WalksOnβ€˜πΊ)(π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))𝑃 β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃))
1716expcom 413 . . . . . . 7 ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) β†’ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2) β†’ (𝐹((π‘ƒβ€˜0)(WalksOnβ€˜πΊ)(π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))𝑃 β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)))
1817com13 88 . . . . . 6 (𝐹((π‘ƒβ€˜0)(WalksOnβ€˜πΊ)(π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))𝑃 β†’ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)))
193, 4, 183syl 18 . . . . 5 (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)))
2019impcom 407 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2) ∧ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃))
212, 20mpd 15 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2) ∧ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
2221ex 412 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2) β†’ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃))
23 spthispth 29247 . . 3 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
24 pthistrl 29246 . . 3 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
2523, 24syl 17 . 2 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
2622, 25impbid1 224 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2) β†’ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ↔ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113  2c2 12272  β™―chash 14295  USGraphcusgr 28673  Walkscwlks 29117  WalksOncwlkson 29118  Trailsctrls 29211  Pathscpths 29233  SPathscspths 29234  SPathsOncspthson 29236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-s3 14805  df-edg 28572  df-uhgr 28582  df-upgr 28606  df-umgr 28607  df-uspgr 28674  df-usgr 28675  df-wlks 29120  df-wlkson 29121  df-trls 29213  df-trlson 29214  df-pths 29237  df-spths 29238  df-pthson 29239  df-spthson 29240
This theorem is referenced by:  usgr2pthspth  29283
  Copyright terms: Public domain W3C validator