Theorem usgr2trlspth 29850

Description: In a simple graph, any trail of length 2 is a simple path. (Contributed by AV, 5-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2trlspth	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem usgr2trlspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgr2trlncl 29849	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
2	1	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
3		trliswlk 29785	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		wlkonwlk 29750	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃)
5		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → 𝐺 ∈ USGraph)
6		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (♯‘𝐹) = 2)
7		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘2))
8	7	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘2) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
9	8	neeq2d 2993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
10	9	biimpd 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
12	11	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
13		usgr2wlkspth 29848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 ↔ 𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃))
14	5, 6, 12, 13	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 ↔ 𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃))
15		spthonisspth 29839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
16	14, 15	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
17	16	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
18	17	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
19	3, 4, 18	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
20	19	impcom 407	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
21	2, 20	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
22	21	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
23		spthispth 29813	. . 3 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
24		pthistrl 29812	. . 3 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
25	23, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
26	22, 25	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  2c2 12212  ♯chash 14265  USGraphcusgr 29238  Walkscwlks 29686  WalksOncwlkson 29687  Trailsctrls 29778  Pathscpths 29799  SPathscspths 29800  SPathsOncspthson 29802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532  df-s2 14783  df-s3 14784  df-edg 29137  df-uhgr 29147  df-upgr 29171  df-umgr 29172  df-uspgr 29239  df-usgr 29240  df-wlks 29689  df-wlkson 29690  df-trls 29780  df-trlson 29781  df-pths 29803  df-spths 29804  df-pthson 29805  df-spthson 29806

This theorem is referenced by:  usgr2pthspth  29851