Theorem spthonprop 28982

Description: Properties of a simple path between two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
pthsonfval.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
spthonprop	⊢ (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))

Proof of Theorem spthonprop

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthsonfval.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	isspthson 28980	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
3	2	3adantl1 1167	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
4		df-spthson 28956	. 2 ⊢ SPathsOn = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝑔), 𝑏 ∈ (Vtx‘𝑔) ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑎(TrailsOn‘𝑔)𝑏)𝑝 ∧ 𝑓(SPaths‘𝑔)𝑝)}))
5	1, 3, 4	wksonproplem 28941	1 ⊢ (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Vtxcvtx 28236  TrailsOnctrlson 28928  SPathscspths 28950  SPathsOncspthson 28952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-spthson 28956

This theorem is referenced by:  spthonisspth  28987  spthonpthon  28988  spthonepeq  28989