MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spthonpthon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spthonpthon 27869
Description: A simple path between two vertices is a path between these vertices. (Contributed by AV, 24-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
spthonpthon (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)

Proof of Theorem spthonpthon
StepHypRef Expression
1 eqid 2739 . . 3 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21spthonprop 27863 . 2 (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
3 3simpc 1152 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
433anim1i 1154 . 2 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
5 spthispth 27844 . . . . 5 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
65anim2i 620 . . . 4 ((𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃))
763ad2ant3 1137 . . 3 (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃))
81ispthson 27860 . . . 4 (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
983adant3 1134 . . 3 (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)) → (𝐹(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
107, 9mpbird 260 . 2 (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)) → 𝐹(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
112, 4, 103syl 18 1 (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089  wcel 2112  Vcvv 3423   class class class wbr 5069  cfv 6400  (class class class)co 7234  Vtxcvtx 27118  TrailsOnctrlson 27810  Pathscpths 27830  SPathscspths 27831  PathsOncpthson 27832  SPathsOncspthson 27833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5195  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10814  ax-resscn 10815  ax-1cn 10816  ax-icn 10817  ax-addcl 10818  ax-addrcl 10819  ax-mulcl 10820  ax-mulrcl 10821  ax-mulcom 10822  ax-addass 10823  ax-mulass 10824  ax-distr 10825  ax-i2m1 10826  ax-1ne0 10827  ax-1rid 10828  ax-rnegex 10829  ax-rrecex 10830  ax-cnre 10831  ax-pre-lttri 10832  ax-pre-lttrn 10833  ax-pre-ltadd 10834  ax-pre-mulgt0 10835
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-ifp 1064  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-int 4876  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-om 7666  df-1st 7782  df-2nd 7783  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-1o 8225  df-er 8414  df-map 8533  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-fin 8653  df-card 9584  df-pnf 10898  df-mnf 10899  df-xr 10900  df-ltxr 10901  df-le 10902  df-sub 11093  df-neg 11094  df-nn 11860  df-n0 12120  df-z 12206  df-uz 12468  df-fz 13125  df-fzo 13268  df-hash 13929  df-word 14102  df-wlks 27718  df-trls 27811  df-pths 27834  df-spths 27835  df-pthson 27836  df-spthson 27837
This theorem is referenced by:  uhgrwkspth  27873  usgr2wlkspth  27877  wspthneq1eq2  27975  frgrconngr  28408
  Copyright terms: Public domain W3C validator