Theorem sshaus 23311

Description: A topology finer than a Hausdorff topology is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
t1sep.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
sshaus	⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) → 𝐾 ∈ Haus)

Proof of Theorem sshaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1sep.1	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		haustop 23267	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
3		cnhaus 23290	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ ( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1→𝑋 ∧ ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ Haus)
4	1, 2, 3	sshauslem 23308	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) → 𝐾 ∈ Haus)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  ∪ cuni 4883   I cid 5547   ↾ cres 5656  ‘cfv 6530  TopOnctopon 22846  Hauscha 23244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-map 8840  df-top 22830  df-topon 22847  df-cn 23163  df-haus 23251

This theorem is referenced by:  kgenhaus  23480