Theorem sshaus 23708

Description: A topology finer than a Hausdorff topology is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
t1sep.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
sshaus	⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) → 𝐾 ∈ Haus)

Proof of Theorem sshaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1sep.1	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		haustop 23664	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
3		cnhaus 23687	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ ( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1→𝑋 ∧ ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ Haus)
4	1, 2, 3	sshauslem 23705	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) → 𝐾 ∈ Haus)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4870   I cid 5549   ↾ cres 5657  ‘cfv 6547  TopOnctopon 23243  Hauscha 23641

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-map 8863  df-top 23227  df-topon 23244  df-cn 23560  df-haus 23648

This theorem is used by:  kgenhaus  23878