MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sshaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sshaus 21508
Description: A topology finer than a Hausdorff topology is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t1sep.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
sshaus ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽𝐾) → 𝐾 ∈ Haus)

Proof of Theorem sshaus
StepHypRef Expression
1 t1sep.1 . 2 𝑋 = 𝐽
2 haustop 21464 . 2 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
3 cnhaus 21487 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ ( I ↾ 𝑋):𝑋1-1𝑋 ∧ ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ Haus)
41, 2, 3sshauslem 21505 1 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽𝐾) → 𝐾 ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wss 3769   cuni 4628   I cid 5219  cres 5314  cfv 6101  TopOnctopon 21043  Hauscha 21441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-map 8097  df-top 21027  df-topon 21044  df-cn 21360  df-haus 21448
This theorem is referenced by:  kgenhaus  21676
  Copyright terms: Public domain W3C validator